Uneigentliches Integral < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{dx}{\wurzel[3]{x}-1}} [/mm] |
Hallo allerseits!
Das uneigenliche Integral selbst stellt eigentlich nicht mein Problem dar. Vielmehr ist es die Stammfunktion...![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Ich habe es mit einer Substitution [mm] x=u^3 [/mm] versucht um die Wurzel im Nenner irgendwie wegzubekommen. Doch dann sieht es nicht leichter aus:
[mm] 3\integral{\bruch{u^2du}{u-1}}
[/mm]
Habe weiter mit partieller Integration versucht:
[mm] v'=\bruch{1}{u-1}
[/mm]
[mm] u=u^2
[/mm]
Doch so steht im übriggebliebenen Integral immer noch [mm] \integral{ln(u-1)*udu}, [/mm] was mir auch nicht unbedingt weiterhilft.
Könnte mir bitte jemand einen kleinen Tipp geben!
Vielen Dank!
Gruß
Angelika
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:20 Di 22.07.2008 | | Autor: | fred97 |
Substituiere
u = [mm] \wurzel[3]{{x}}-1
[/mm]
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Danke für den Tipp!
Ich hoffe meine Stf. [mm] 3*\bruch{(\wurzel[3]{x}-1)^2}{2}+C [/mm] stimmt.
Gruß
Angelika
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:30 Di 22.07.2008 | | Autor: | fred97 |
Die stimmt aber nicht. Zeige mal Deine Rechnung.
FRED
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Hallo!
Du hast glaub ich die 1. Version der Mitteilung gelesen(habe mich verschrieben).
Wenn nicht, das ist mein Weg:
[mm] u'=\bruch{1}{3*\wurzel[3]{x^2}}
[/mm]
[mm] dx=3*\wurzel[3]{x^2}du
[/mm]
[mm] 3*\integral{\bruch{u^2}{u}du}
[/mm]
[mm] =3*\bruch{(\wurzel[3]{x}-1)^2}{2}
[/mm]
Gruß
Angelika
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:51 Di 22.07.2008 | | Autor: | fred97 |
Stimmt trotzdem nicht.
Es ist
$ [mm] dx=3\cdot{}\wurzel[3]{x^2}du [/mm] $ = [mm] 3(u+1)^2 [/mm] du
FRED
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Hallo!
Danke für die beiden interessaten Lösungsideen!
Ich bin jetzt auf das Ergebniss gekommen!
Gruß
Angelika
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> [mm]\integral_{0}^{1}{\bruch{dx}{\wurzel[3]{x}-1}}[/mm]
> Hallo allerseits!
>
> Das uneigenliche Integral selbst stellt eigentlich nicht
> mein Problem dar. Vielmehr ist es die
> Stammfunktion...
> Ich habe es mit einer Substitution [mm]x=u^3[/mm] versucht um die
> Wurzel im Nenner irgendwie wegzubekommen. Doch dann sieht
> es nicht leichter aus:
>
> [mm]3\integral{\bruch{u^2du}{u-1}}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") und das sieht sogar sehr gut aus, denn es ist
[mm]\integral{\bruch{u^2du}{u-1}}=\int\left(u+1+\frac{1}{u-1}\right)\; du=\frac{1}{2}u^2+u+\ln|u-1|+C[/mm]
Natürlich musst Du den Faktor 3 vor dem Integral noch berücksichtigen, den ich hier weggelassen habe, und dann wieder [mm] $\sqrt[3]{x}$ [/mm] für $u$ einsetzen.
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