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| Aufgabe | Zeigen sie mit Hilfe des Cauchy-Produkts von Reihen die Formel
2 C(x)² = C(2x) + 1
Mit C(x) := [mm] \summe_{n=0}^{unendlich} \bruch{(-1)^{n}}{(2n)!} x^{2n}
[/mm]
Hinweis: Hinweis: Zeigen Sie zuerst für alle nat¨urlichen Zahlen n [mm] \ge [/mm] 1 mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes:
[mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{2n \\ 2k} [/mm] = [mm] 2^{2n-1} [/mm] |
Hallöchen Matheraum ^^
Ich bin hier bei diesere Aufgabe schon recht weit gekommen, mir fehlt jedoch eine abschließende Idee ^^
Ich zeige erst einmal wie weit ich gekommen bin.
So wie in der Aufgabenstellung habe ich das Cauchy-Produkt für unendliche Reihen benutzt. Und zwar auf die Linke Seite.
Dann steht dort
2 [mm] \summe_{k=0}^{n} \bruch{(-1)^{k}}{(2k)!} x^{2k} \bruch{(-1)^{n-k}}{(2n-2k)!} x^{2n-2k} [/mm]
dies weiter umgeformt per Potenzregeln und erweiterung durch [mm] \bruch{(2n)!}{(2n)!} [/mm] steht dann folgendes da.
2 [mm] \summe_{k=0}^{n} \bruch{(-1)^{n} *(2n)!}{(2n)! (2k)! (2n-2k)!} x^{2n} [/mm] = 2 [mm] \summe_{k=0}^{n} \bruch{(-1)^{n} }{(2n)!} x^{2n} \vektor{2n \\ 2k} [/mm] =( [mm] \summe_{k=0}^{n} \bruch{(-1)^{n} }{(2n)!} x^{2n} [/mm] ) *2 * [mm] 2^{2n-1}
[/mm]
Da nun alle n von der Summe fest sind bleibt zum Schluss stehen.
[mm] \bruch{(-1)^{n} }{(2n)!} x^{2n} [/mm] * [mm] 2^{2n} [/mm] = [mm] \bruch{(-1)^{n} }{(2n)!} (2x)^{2n} [/mm]
Dies ist ja nun fast das was unter der Unendlichen Summe der rechten Seite steht. Wir zeige ich nun das das Gleich ist ?
Ich hatte mir gedacht zu zeigen das es Gerade der Grenzwert der Unendlichen Summe sein muss. Aber geht das auch einfacher?
Ich danke schon einmal im Vorraus :)
Mfg der Iwan
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Hallo Iwan,
> Zeigen sie mit Hilfe des Cauchy-Produkts von Reihen die
> Formel
>
> 2 C(x)² = C(2x) + 1
>
> Mit C(x) := [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}}{(2n)!} x^{2n}[/mm]
>
> Hinweis: Hinweis: Zeigen Sie zuerst für alle nat¨urlichen
> Zahlen n [mm]\ge[/mm] 1 mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{n} \vektor{2n \\
2k}[/mm] = [mm]2^{2n-1}[/mm]
> Hallöchen Matheraum ^^
>
> Ich bin hier bei diesere Aufgabe schon recht weit gekommen,
> mir fehlt jedoch eine abschließende Idee ^^
>
> Ich zeige erst einmal wie weit ich gekommen bin.
>
> So wie in der Aufgabenstellung habe ich das Cauchy-Produkt
> für unendliche Reihen benutzt. Und zwar auf die Linke
> Seite.
>
> Dann steht dort
>
> 2 [mm]\summe_{k=0}^{n} \bruch{(-1)^{k}}{(2k)!} x^{2k} \bruch{(-1)^{n-k}}{(2n-2k)!} x^{2n-2k}[/mm]
Da steht doch im Cauchyprodukt eine Doppelsumme!
Also [mm]2\red{\sum\limits_{n=0}^{\infty}}\summe_{k=0}^{n} \bruch{(-1)^{k}}{(2k)!} x^{2k} \bruch{(-1)^{n-k}}{(2n-2k)!} x^{2n-2k}[/mm]
>
> dies weiter umgeformt per Potenzregeln und erweiterung
> durch [mm]\bruch{(2n)!}{(2n)!}[/mm]
Gute Idee!
> steht dann folgendes da.
>
> [mm]2\red{\sum\limits_{n=0}^{\infty}}[/mm] [mm]\summe_{k=0}^{n} \bruch{(-1)^{n} *(2n)!}{(2n)! (2k)! (2n-2k)!} x^{2n}[/mm]
> = [mm]2\red{\sum\limits_{n=0}^{\infty}}[/mm] [mm]\summe_{k=0}^{n} \bruch{(-1)^{n} }{(2n)!} x^{2n} \vektor{2n \\
2k}[/mm]
[mm]=2\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}\blue{\sum\limits_{k=0}^n{\vektor{2n\\
2k}}}[/mm]
[mm]=2\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}\cdot{}\blue{2^{2n-1}}[/mm]
[mm]\vdots[/mm]
> =( [mm]\summe_{k=0}^{n} \bruch{(-1)^{n} }{(2n)!} x^{2n}[/mm] ) *2 * [mm]2^{2n-1}[/mm]
> Da nun alle n von der Summe fest sind bleibt zum Schluss
> stehen.
>
> [mm]\bruch{(-1)^{n} }{(2n)!} x^{2n}[/mm] * [mm]2^{2n}[/mm] = [mm]\bruch{(-1)^{n} }{(2n)!} (2x)^{2n}[/mm]
>
> Dies ist ja nun fast das was unter der Unendlichen Summe
> der rechten Seite steht. Wir zeige ich nun das das Gleich
> ist ?
>
> Ich hatte mir gedacht zu zeigen das es Gerade der Grenzwert
> der Unendlichen Summe sein muss. Aber geht das auch
> einfacher?
Du hast im Cauchyprodukt eine Summe unterschlagen, deine Ideen sind ansonsten gut.
Gehe das nochmal durch. Ich komme da aber "nur" auf [mm]...=C(2x)[/mm] (ohne +1)
Möglicherweise habe ich mich irgendwo auch verkaspert ...
>
> Ich danke schon einmal im Vorraus :)
Ein "r" genügt vollkommen.
>
> Mfg der Iwan
Gruß
schachuzipus
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mmh ok danke soweit ^^
nun habe ich aber leider das Problem das ich die 1 ebenfalls nicht finde.
Das einzige was ich mir in der Richtung vorstellen könnte wäre das die +1 das erste Gliede der Unendlichen Summe ist.
Aber das würde die Summe ja völlig verfälschen da sie ja absolut konvergent ist -.- . Es muss auf jedenfall stimmen sonst wären die Cosinus- Rechenregeln für die katz ^^ .
Hat vielleicht noch irgendjemand ein Idee dazu oder kann mir sagen wo ich einen Rechenfehler gemacht habe.
Also noch einmal zusammenfassend:
Wie kommt man von [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{n} }{(2n)!} (2x)^{2n} [/mm] auf [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{n} }{(2n)!} (2x)^{2n} [/mm] + 1
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Ich werde meinen Lösungsweg nochmals vollständig und übersichtlich aufschreiben, da sie in der vorherigen sehr unübersichtlich wurde.
Ich fange mit der Linken Seite der Gleichung an und versuche auf die Rechte seite zu kommen
2 [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}}{(2n)!} x^{2n} [/mm]
Nach Cauchy-Produkt
2 [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \summe_{k=0}^{n} \bruch{(-1)^{k}}{(2k)!} x^{2k} \bruch{(-1)^{n-k}}{(2n-2k)!} x^{2n-2k} [/mm] = 2 [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \summe_{k=0}^{n} \bruch{(-1)^{n}}{(2k)!(2n-2k)!} x^{2n}
[/mm]
Erweitert mit [mm] \bruch{(2n)!}{(2n)!}
[/mm]
2 [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \summe_{k=0}^{n} \bruch{(-1)^{n} (2n)!}{(2n)!(2k)!(2n-2k)!} x^{2n} [/mm] =2 [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \summe_{k=0}^{n} \bruch{(-1)^{n}}{(2n)!} \vektor{2n \\ 2k} x^{2n} [/mm] = 2 [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \summe_{k=0}^{n} \bruch{(-1)^{n}}{(2n)!} 2^{2n-1} x^{2n} [/mm] = 2 [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}}{(2n)!} 2^{2n-1} x^{2n} [/mm]
Die 2 ist eine Konstante und kann sie deshalb problemlos in die Summe ziehen
= [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}}{(2n)!} 2^{2n} x^{2n} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}}{(2n)!} (2x)^{2n}
[/mm]
Jetzt wäre ich eigentlich fertig. Jedoch fehlt mir die +1 nach der Summe ...
Ich hoffe das der Weg so übersichtlich ist und ihr den Fehler entdecken könnt. Ich danke schon einmal im Voraus :)
mfg der Iwan
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:30 Mo 06.06.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo Iwan!
> Ich werde meinen Lösungsweg nochmals vollständig und
> übersichtlich aufschreiben, da sie in der vorherigen sehr
> unübersichtlich wurde.
>
> Ich fange mit der Linken Seite der Gleichung an und
> versuche auf die Rechte seite zu kommen
>
> 2 [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}}{(2n)!} x^{2n}[/mm]
>
> Nach Cauchy-Produkt
>
>
> 2 [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \summe_{k=0}^{n} \bruch{(-1)^{k}}{(2k)!} x^{2k} \bruch{(-1)^{n-k}}{(2n-2k)!} x^{2n-2k}[/mm]
> = 2 [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \summe_{k=0}^{n} \bruch{(-1)^{n}}{(2k)!(2n-2k)!} x^{2n}[/mm]
>
> Erweitert mit [mm]\bruch{(2n)!}{(2n)!}[/mm]
>
> 2 [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \summe_{k=0}^{n} \bruch{(-1)^{n} (2n)!}{(2n)!(2k)!(2n-2k)!} x^{2n}[/mm]
> =2 [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \summe_{k=0}^{n} \bruch{(-1)^{n}}{(2n)!} \vektor{2n \\ 2k} x^{2n}[/mm]
> = 2 [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \summe_{k=0}^{n} \bruch{(-1)^{n}}{(2n)!} 2^{2n-1} x^{2n}[/mm]
Hier ist der Fehler: die Identität
[mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{2n \\ 2k} = 2^{2n-1} [/mm]
gilt nicht für $n=0$, denn dann ist die rechte Seite 1.
Viele Grüße
Rainer
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Ach natürlich gekonnt überlesen ...
Ich danke sehr für die Mithilfe ;D
mfg der Iwan
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