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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:14 Mi 03.08.2011 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | | Sei [mm] $a_{n}:= \prod_{k=2}^{n} (1-\frac{1}{k^{2}})$. [/mm] Man berechne [mm] $lim_{n\rightarrow \infty} a_{n}$ [/mm] |
Hallo,
also einige produkte sind:
[mm] $a_{2} [/mm] = [mm] \frac{3}{4}; a_{3}= \frac{3}{4}\frac{8}{9} [/mm] = [mm] \frac{24}{36} [/mm] = [mm] \frac{2}{3} [/mm] = [mm] \frac{4}{6}; a_{4}= \frac{3}{4}\frac{8}{9}\frac{15}{16} [/mm] = [mm] \frac{5}{8}; a_{5}= \frac{6}{10}; a_{6}=\frac{7}{12}$
[/mm]
dann sieht man:
[mm] $a_{n}=\frac{n+1}{2n} \Rightarrow a_{n}\rightarrow \frac{1}{2}$ [/mm] für $ n [mm] \rightarrow \infty$ [/mm]
ist das so richtig?
Danke für jegliche Hilfestellung.
Gruss
kushkush
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> Sei [mm]a_{n}:= \prod_{k=2}^{n} (1-\frac{1}{k^{2}})[/mm]. Man
> berechne [mm]lim_{n\rightarrow \infty} a_{n}[/mm]
> Hallo,
>
> also einige produkte sind:
>
> [mm]a_{2} = \frac{3}{4};
\qquad a_{3}= \frac{3}{4}*\frac{8}{9} = \frac{24}{36} = \frac{2}{3} = \frac{4}{6};
\qquad a_{4}= \frac{3}{4}*\frac{8}{9}*\frac{15}{16} = \frac{5}{8};
\qquad a_{5}= \frac{6}{10};\qquad a_{6}=\frac{7}{12}[/mm]
>
> dann sieht man:
>
> [mm]a_{n}=\frac{n+1}{2n} \Rightarrow a_{n}\rightarrow \frac{1}{2}[/mm]
> für [mm]n \rightarrow \infty[/mm]
>
> ist das so richtig?
> Gruss
> kushkush
Die Vermutung sieht plausibel aus.
Beweise sie mit vollständiger Induktion !
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:37 Mi 03.08.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo Al-Chwarizmi,
Behauptung (*): [mm] $\prod_{k=2}^{n}(1-\frac{1}{k^{2}})=\frac{n+1}{2n}$
[/mm]
Anfang: mit n=2 [mm] $\rightarrow \frac{3}{4}= \frac{3}{4}$ [/mm]
Schritt [mm] $n\rightarrow [/mm] n+1$: [mm] $\prod_{k=2}^{n+1}(1-\frac{1}{k^{2}}) [/mm] = [mm] (1-\frac{1}{(n+1)^{2}}) \prod_{k=2}^{n}(1-\frac{1}{k^{2}}) [/mm] = [mm] (1-\frac{1}{(n+1)^{2}})$(*) [/mm] $= [mm] (\frac{n+1}{2n} [/mm] - [mm] \frac{1}{2n(n+1)} [/mm] ) = [mm] \frac{n^{2}+2n+1}{2n(n+1)}- \frac{1}{2n(n+1)} [/mm] = [mm] \frac{n(n+2)}{2n(n+1)} [/mm] = [mm] \frac{(n+2)}{2(n+1)}= \frac{(n+1)+1}{2(n+1)} [/mm] $
So OK?
Danke!
Gruss
kushkush
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:33 Mi 03.08.2011 | | Autor: | barsch |
Hi,
> Behauptung (*): [mm]\prod_{k=2}^{n}(1-\frac{1}{k^{2}})=\frac{n+1}{2n}[/mm]
> Anfang: mit n=2 [mm]\rightarrow \frac{3}{4}= \frac{3}{4}[/mm]
> Schritt [mm]n\rightarrow n+1[/mm]:
> [mm]\prod_{k=2}^{n+1}(1-\frac{1}{k^{2}}) = (1-\frac{1}{(n+1)^{2}}) \prod_{k=2}^{n}(1-\frac{1}{k^{2}}) = (1-\frac{1}{(n+1)^{2}})[/mm](*)[mm]= (\frac{n+1}{2n} - \frac{1}{2n(n+1)} ) = \frac{n^{2}+2n+1}{2n(n+1)}- \frac{1}{2n(n+1)} = \frac{n(n+2)}{2n(n+1)} = \frac{(n+2)}{2(n+1)}= \frac{(n+1)+1}{2(n+1)}[/mm]
> So OK?
sieht gut aus, ja.
Jetzt fehlt nur noch die Limes-Betrachtung.
> Danke!
>
>
> Gruss
> kushkush
Gruß
barsch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:38 Mi 03.08.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo barsch,
> limes betrachtung
mit [mm] $a_{n}:= \prod_{k=2}^{n} (1-1/k^{2} [/mm] ) = [mm] \frac{n+1}{2n}$
[/mm]
ist [mm] $\frac{1}{2} \leftarrow \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{n/n + 1/n}{2n/n} [/mm] = [mm] \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n+1}{2n} [/mm] = [mm] \lim _{n\rightarrow \infty} a_{n} [/mm] $
> GruB barsch
Danke
Gruss
kushkush
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:37 Mi 03.08.2011 | | Autor: | barsch |
Hallo,
eine weitere Idee in Ergänzung zu der von Al-Chwarizmi:
[mm] a_{n}:= \prod_{k=2}^{n} (1-\frac{1}{k^{2}})=\prod_{k=2}^{n} \frac{k^2-1}{k^{2}}=\prod_{k=2}^{n} \frac{(k-1)}{k}\cdot{\frac{(k+1)}{k}}[/mm].
Jetzt schreibe dir die ersten Faktoren einmal hin und du wirst sehen, mit deiner Vermutung [mm] lim_{n\rightarrow \infty} a_{n}=\frac{1}{2} [/mm] liegst du richtig.
Gruß
barsch
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