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Unendlichkeit der Primzahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:35 Mo 01.06.2009
Autor: absolutkeinplan

Hallo zusammen,

ich beschäftige mich gerade mit dem Buch der Beweise um genauer zu sein mit der Unendlichkeit der Primzahlen. Jetzt sind einige kleinere Fragen aufgekommen, die ich bei dem Beweis nicht ganz verstehe. Es handelt sich um folgenden Beweis von Euler:
[]http://www.beweise.mathematic.de/primenumbers-euler2.html

Ich verstehe nicht ganz, warum in der zweiten Zeile
[mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] 1/i [mm] \le \summe_{}^{} [/mm] 1/m sein soll, wäre toll wenn mir das jemand verdeutlichen könnte :-)

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Der zweite Punkt wäre, warum ist
[mm] \summe_{}^{} [/mm] 1/m = [mm] \produkt_{p\le x}^{} (\summe_{k\ge0}^{} 1/p^k) [/mm] , ich hab das mal ausgeschrieben und wollte mir das klar machen, hab es aber irgendwie nicht so richtig hinbekommen :-(

Ihr seht schon, sehr viel Unwissenheit auf einmal :-)
Ich hoffe ihr könnt mir bei meinen Fragen etwas weiterhelfen.
Vielen Dank für eure Hilfe !!!

        
Bezug
Unendlichkeit der Primzahlen: Plausibel machen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:05 Mo 01.06.2009
Autor: weightgainer

Hallo,

zu dem ersten Teil der Frage:

Auf der linken Seite durchläuft der Laufindex alle Zahlen von 1 bis n, auf der rechten Seite werden alle die [mm] \bruch{1}{m} [/mm] addiert, wo in m ein Primfaktor auftaucht, der kleiner als x ist (was ja wiederum zwischen n und n+1 liegen soll). Also ein Beispiel: x = 5,5, dann ist n = 5:
Linke Seite: 1 + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{3} [/mm] + [mm] \bruch{1}{4} [/mm] + [mm] \bruch{1}{5} [/mm]
Rechte Seite: 1 + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{3} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2^2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{5} [/mm] + [mm] \bruch{1}{3^2} [/mm] + ... + [mm] \bruch{1}{2^2*3^1*5^4} [/mm] + ....

Es werden rechts also viel mehr Zahlen addiert als links.

Der zweite Schritt erscheint mir auch etwas zu schnell. Klar ist: jedes m kannst du wie oben schreiben, also im Beispiel [mm] m=2^{k_1}*3^{k_2}*5^{k_3}[/mm]. Diese [mm]k_i[/mm] können jetzt von 0 bis beliebig laufen. Damit stehen in der rechten Summe:
[mm]\summe_{m}^{}\bruch{1}{m}=\summe_{k_1, k_2, k_3 \ge 0}^{}\bruch{1}{2^{k_1}*3^{k_2}*{5^{k_3}}[/mm] also praktisch eine dreifache Summe.
Wenn du jetzt den anderen Term aufschreibst, erhältst du:
[mm]\summe_{k \ge 0}^{}\bruch{1}{2^k}*\summe_{k \ge 0}^{}\bruch{1}{3^k}*\summe_{k \ge 0}^{}\bruch{1}{5^k}[/mm]
Oder mal nur einige aus diesen Summen:
[mm](\bruch{1}{2^0}+\bruch{1}{2^1}+\bruch{1}{2^2}+ ...)*(\bruch{1}{3^0}+\bruch{1}{3^1}+\bruch{1}{3^2}+ ...)*(\bruch{1}{5^0}+\bruch{1}{5^1}+\bruch{1}{5^2}+ ...)[/mm]
Wenn du das jetzt ausmultiplizierst, siehst du, dass du damit genau alle Varianten von [mm]2^{irgendwas}*3^{irgendwas}*5^{irgendwas}[/mm] im Nenner heraus bekommst. Und das ist ja genau die Summe, die du umschreiben willst.

So kannst du es dir zumindest plausibel machen - ein sauberer Beweis ist es natürlich noch nicht. Und man sieht es auch nicht auf den ersten Blick würde ich sagen.

Gruß,
weightgainer

Bezug
                
Bezug
Unendlichkeit der Primzahlen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:47 Mo 01.06.2009
Autor: absolutkeinplan

Jetzt leuchtet es mir ein.
Vielen Dank, du hast mir sehr geholfen.

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