Ungerade Ziffern, min. eine 0? < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:11 Do 10.01.2013 | | Autor: | bandchef |
| Aufgabe | a) Wie viele 6-stellige Zahlen gibt es, in denen nur ungerade Ziffern vorkommen?
b) Wie viele 6-stellige Zahlen gibt es, in denen mindestens eine 0 vorkommt? |
Hi Leute!
Und weiter gehts:
a)
Also: An der ersten Stelle darf keine 0 sein, weil's sonst keine 6-stellige Zahl mehr ist. Da nur ungerade Zahlen interessant sind, würde die 0 eh nicht relevant sein, weil die ja als gerade zählt. Es bleiben also nur noch 1,3,5,7 über. Da ich 6-stellige Zahlen gefragt, sind jetzt alle möglichen Anordnungsreihenfolgen mit zurücklegen gefragt. Somit würde ich auf die Variation tippen. So komm ich zu [mm] 5^6 [/mm] = 15625 Möglichkeiten. Richtig?
b)
Bei b) sieht's jetzt so aus, dass an der ersten Stelle jedenfalls keine 0 stehen darf, weil's ja sonst keine 6-stellige Zahl mehr wäre.
Also hat die erste Stelle nur eine Auswahl von 9 Zahlen. Wie gehts da aber jetzt weiter?
$m=9 [mm] \cdot [/mm] ...$
Wie modelliere ich das mindestens eine 0?
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Hallo,
> a) Wie viele 6-stellige Zahlen gibt es, in denen nur
> ungerade Ziffern vorkommen?
>
> b) Wie viele 6-stellige Zahlen gibt es, in denen mindestens
> eine 0 vorkommt?
> Hi Leute!
>
> Und weiter gehts:
> a)
> Also: An der ersten Stelle darf keine 0 sein, weil's sonst
> keine 6-stellige Zahl mehr ist.
Mit der 0 muss man sich hier nicht auseinandersetzen, da sie gerade ist...
> Da nur ungerade Zahlen
> interessant sind, würde die 0 eh nicht relevant sein, weil
> die ja als gerade zählt. Es bleiben also nur noch 1,3,5,7
> über. Da ich 6-stellige Zahlen gefragt, sind jetzt alle
> möglichen Anordnungsreihenfolgen mit zurücklegen gefragt.
> Somit würde ich auf die Variation tippen. So komm ich zu
> [mm]5^6[/mm] = 15625 Möglichkeiten. Richtig?
Das ist richtig, oben hast du in deiner Aufzählung aber die 9 unterschlagen.
> b)
> Bei b) sieht's jetzt so aus, dass an der ersten Stelle
> jedenfalls keine 0 stehen darf, weil's ja sonst keine
> 6-stellige Zahl mehr wäre.
> Also hat die erste Stelle nur eine Auswahl von 9 Zahlen.
> Wie gehts da aber jetzt weiter?
>
> [mm]m=9 \cdot ...[/mm]
>
> Wie modelliere ich das mindestens eine 0?
Knetwachs? 
Spaß beiseite (aber du musst zugeben, dass du eine Steilvorlage geliefert hast): für die erste Ziffer gibt es 9 Möglichkeiten. Den Rest würde ich jetzt folgendermaßen angehen. Vier Ziffern sind beliebig, die kann man als Variationen von 10 Elementen der Ordnung 4 ansehen. Eine Ziffer ist die Null, und die hat 5 Möglichkeiten, wo sie stehen kann.
Hilft dir das weiter?
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:51 Do 10.01.2013 | | Autor: | bandchef |
> Das ist richtig, oben hast du in deiner Aufzählung aber die 9 unterschlagen.
Die 9 hab ich nur hier im Forum unterschlagen. Bei mir auf'm Zettel passts.
> für die erste Ziffer gibt es 9 Möglichkeiten.
Gut, das sehe ich genauso.
> Den Rest würde ich jetzt folgendermaßen angehen. Vier Ziffern sind beliebig, die kann man als
> Variationen von 10 Elementen der Ordnung 4 ansehen. Eine Ziffer ist die Null, und die hat 5
> Möglichkeiten, wo sie stehen kann.
$m = 9 [mm] \cdot 10^{4} \cdot 1^5 [/mm] = 90000$
- 9 weil die erste Ziffer keine 0 sein darf
- 4 Stellen an denen die 10 Ziffern 0-9 stehen dürfen
- 5 Stellen an denen die 1 Ziffer 0 stehen kann
Anfangs hatte ich die Modellierung so gemacht: $m = 9 [mm] \cdot 4^{10} \cdot 5^1 [/mm] = 47185920$. Genau das ist jetzt auch das Problem. Die Anordnun der Variationen macht für mich so von der Überlegung viel mehr Sinn. Das Ergebnis kann aber definitiv nicht stimmen, da Weil es mehr Möglichkeiten gäbe, wie es überhaupt 6-stellige Zahlen (900000) geschweige denn 6-stellige Zahlen mit so einer geforderten 0er Kombination!
Klär mich doch bitte weiter auf 
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Hallo,
> > für die erste Ziffer gibt es 9 Möglichkeiten.
>
> Gut, das sehe ich genauso.
>
>
> > Den Rest würde ich jetzt folgendermaßen angehen. Vier
> Ziffern sind beliebig, die kann man als
> > Variationen von 10 Elementen der Ordnung 4 ansehen. Eine
> Ziffer ist die Null, und die hat 5
> > Möglichkeiten, wo sie stehen kann.
>
> [mm]m = 9 \cdot 10^{4} \cdot 1^5 = 90000[/mm]
>
> - 9 weil die erste Ziffer keine 0 sein darf
> - 4 Stellen an denen die 10 Ziffern 0-9 stehen dürfen
> - 5 Stellen an denen die 1 Ziffer 0 stehen kann
>
Hier muss es 5 an Stelle von [mm] 1^5 [/mm] heißen, ansonsten passt es.
>
> Anfangs hatte ich die Modellierung so gemacht: [mm]m = 9 \cdot 4^{10} \cdot 5^1 = 47185920[/mm].
> Genau das ist jetzt auch das Problem. Die Anordnun der
> Variationen macht für mich so von der Überlegung viel
> mehr Sinn. Das Ergebnis kann aber definitiv nicht stimmen,
> da Weil es mehr Möglichkeiten gäbe, wie es überhaupt
> 6-stellige Zahlen (900000) geschweige denn 6-stellige
> Zahlen mit so einer geforderten 0er Kombination!
>
> Klär mich doch bitte weiter auf
Na ja, da ist ein Zahlendreher: 4^10 ist ein ganz klein wenig größer als [mm] 10^4.
[/mm]
Beachte auch unbedingt noch reverends Antwort, da steht für die b) noch ein wesentlich eleganterer Ansatz!
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:40 Do 10.01.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo, Ihr beiden!
Da stimmt noch etwas nicht.
Mit Eurem Ansatz würde man zwischen 100 und 199 (um mal etwas kleiner anzufangen) 20 Zahlen bestimmen, die mindestens eine Null beinhalten: die erste Stelle ist sicher eine 1, dann braucht man eine Null auf einer der beiden anderen Stellen und ist für die letzte verbleibende frei, eine Ziffer von 0-9 zu wählen, daher 1*2*10=20 Möglichkeiten.
Tatsächlich gibt es aber nur 19: 100-109 (10 Zahlen) und 110-190 in Zehnerschritten (9 Zahlen). Das liegt daran, dass Ihr die 100 doppelt zählt.
Bei mehr Stellen wird das noch komplizierter. Auf den 5 Stellen, wo eine Null stehen kann, wird eine gesetzt. Kommt nun eine zweite hinzu, wird diese Zahl doppelt gezählt. Kommen zwei hinzu (insges. 3 Nullen), werden diese Zahlen dreifach gezählt usw.
Euer Ergebnis ist darum zu hoch.
Man kann auch mit diesem Ansatz das richtige Ergebnis bekommen, aber es ist viel mühsamer zu erreichen, weil man letztlich doch bestimmen muss, wieviele Zahlen mit genau einer Null es gibt, wieviele mit zwei Nullen, mit drei etc.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:37 Fr 11.01.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo reverend,
> Hallo, Ihr beiden!
>
> Da stimmt noch etwas nicht.
>
> Mit Eurem Ansatz würde man zwischen 100 und 199 (um mal
> etwas kleiner anzufangen) 20 Zahlen bestimmen, die
> mindestens eine Null beinhalten: die erste Stelle ist
> sicher eine 1, dann braucht man eine Null auf einer der
> beiden anderen Stellen und ist für die letzte verbleibende
> frei, eine Ziffer von 0-9 zu wählen, daher 1*2*10=20
> Möglichkeiten.
>
> Tatsächlich gibt es aber nur 19: 100-109 (10 Zahlen) und
> 110-190 in Zehnerschritten (9 Zahlen). Das liegt daran,
> dass Ihr die 100 doppelt zählt.
>
> Bei mehr Stellen wird das noch komplizierter. Auf den 5
> Stellen, wo eine Null stehen kann, wird eine gesetzt. Kommt
> nun eine zweite hinzu, wird diese Zahl doppelt gezählt.
> Kommen zwei hinzu (insges. 3 Nullen), werden diese Zahlen
> dreifach gezählt usw.
> Euer Ergebnis ist darum zu hoch.
das ist natürlich richtig, ich habe mich da gestern Abend völlig vertan. Danke fürs Aufpassen!
Gruß, Diophant
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:59 Do 10.01.2013 | | Autor: | abakus |
> > Das ist richtig, oben hast du in deiner Aufzählung aber
> die 9 unterschlagen.
>
> Die 9 hab ich nur hier im Forum unterschlagen. Bei mir
> auf'm Zettel passts.
>
>
>
> > für die erste Ziffer gibt es 9 Möglichkeiten.
>
> Gut, das sehe ich genauso.
>
>
> > Den Rest würde ich jetzt folgendermaßen angehen. Vier
> Ziffern sind beliebig, die kann man als
> > Variationen von 10 Elementen der Ordnung 4 ansehen. Eine
> Ziffer ist die Null, und die hat 5
> > Möglichkeiten, wo sie stehen kann.
>
> [mm]m = 9 \cdot 10^{4} \cdot 1^5 = 90000[/mm]
>
> - 9 weil die erste Ziffer keine 0 sein darf
> - 4 Stellen an denen die 10 Ziffern 0-9 stehen dürfen
> - 5 Stellen an denen die 1 Ziffer 0 stehen kann
>
>
>
>
> Anfangs hatte ich die Modellierung so gemacht: [mm]m = 9 \cdot 4^{10} \cdot 5^1 = 47185920[/mm].
> Genau das ist jetzt auch das Problem. Die Anordnun der
> Variationen macht für mich so von der Überlegung viel
> mehr Sinn. Das Ergebnis kann aber definitiv nicht stimmen,
> da Weil es mehr Möglichkeiten gäbe, wie es überhaupt
> 6-stellige Zahlen (900000) geschweige denn 6-stellige
> Zahlen mit so einer geforderten 0er Kombination!
>
> Klär mich doch bitte weiter auf
Hallo miteinander,
hier sollte man aber wirklich über das Gegenereignis gehen:
Anzahl aller 6-stelligen Zahlen minus (Anzahl aller 6-stelligen Zahlen, die KEINE Null enthalten).
Gruß Abakus
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Hallo bandchef,
Aufgabe a) ist richtig gelöst, wie Dir Diophant schon bestätigt hat.
Bei Aufgabe b) würde ich anders vorgehen:
> b) Wie viele 6-stellige Zahlen gibt es, in denen mindestens
> eine 0 vorkommt?
>
> b)
> Bei b) sieht's jetzt so aus, dass an der ersten Stelle
> jedenfalls keine 0 stehen darf, weil's ja sonst keine
> 6-stellige Zahl mehr wäre.
> Also hat die erste Stelle nur eine Auswahl von 9 Zahlen.
> Wie gehts da aber jetzt weiter?
>
> [mm]m=9 \cdot ...[/mm]
>
> Wie modelliere ich das mindestens eine 0?
Am einfachsten über die Gegenwahrscheinlichkeit.
Das spart hier viel Arbeit. Immerhin sind ja Zahlen mit einer, zwei, drei, vier oder fünf Nullen möglich. Die willst Du nicht alle einzeln bestimmen.
Bestimme die Zahl aller 6-stelligen Zahlen.
Bestimme die Zahl aller 6-stelligen Zahlen, die keine Null enthalten.
Die Differenz ist dann die Zahl aller 6-stelligen Zahlen, die mindestens eine Null enthalten.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:46 Fr 11.01.2013 | | Autor: | bandchef |
> Bestimme die Zahl aller 6-stelligen Zahlen.
Das sollte ja recht einfach sein: $9 [mm] \cdot 10^5 [/mm] = 900000$
> Bestimme die Zahl aller 6-stelligen Zahlen, die keine Null enthalten.
Da wird's dann schon schwieriger. Aber ich denke, dass [mm] $9^6 [/mm] = 531441 das richtige Ergebnis sein sollt
> Die Differenz ist dann die Zahl aller 6-stelligen Zahlen, die mindestens eine Null enthalten.
$m=9 [mm] \cdot 10^5 [/mm] - [mm] 9^6 [/mm] = 368559$
Stimmt mein Ergebnis nun?
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Hallo bandchef,
> > Bestimme die Zahl aller 6-stelligen Zahlen.
>
> Das sollte ja recht einfach sein: [mm]9 \cdot 10^5 = 900000[/mm]
>
>
>
> > Bestimme die Zahl aller 6-stelligen Zahlen, die keine Null
> enthalten.
>
> Da wird's dann schon schwieriger. Aber ich denke, dass [mm]$9^6[/mm]
> = 531441 das richtige Ergebnis sein sollt
>
>
>
> > Die Differenz ist dann die Zahl aller 6-stelligen Zahlen,
> die mindestens eine Null enthalten.
>
> [mm]m=9 \cdot 10^5 - 9^6 = 368559[/mm]
>
>
>
> Stimmt mein Ergebnis nun?
Ja, das stimmt. ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Grüße
reverend
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