Ungleichung < Sonstiges < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:28 Sa 01.11.2008 | | Autor: | splin |
| Aufgabe | Für reelle Zahlen a, b > 0 ist das arithmetische, geometrische und harmonische Mittel
defeniert durch
A(a; b) [mm] :=\bruch{a + b}{2} [/mm] ; G(a; b) := [mm] \wurzel{ab} [/mm] ; H(a; b) [mm] :=\bruch{2}{\bruch{1}{a}+\bruch{1}{b}}
[/mm]
Zeigen Sie das dieses stimmt:H(a; b) [mm] \le [/mm] G(a; b) [mm] \le [/mm] A(a; b)
|
Erlich gesagt, ich habe keine Ahnung wie ich mit dieser Afgabe anfangen soll.
Ich hoffe das ihr mir helfen könnt.
Vielen Dank
Splin.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:59 Sa 01.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Für reelle Zahlen a, b > 0 ist das arithmetische,
> geometrische und harmonische Mittel
> defeniert durch
> A(a; b) [mm]:=\bruch{a + b}{2}[/mm] ; G(a; b) :=[mm]\wurzel{ab}[/mm] ;
> H(a; b) [mm]:=\bruch{2}{\bruch{1}{a}+\bruch{1}{b}}[/mm]
> Zeigen Sie das dieses stimmt:H(a; b) [mm]\le[/mm] G(a; b) [mm]\le[/mm] A(a; b)
na, da sind doch schöne Voraussetzungen gegeben. Mit anderen Worten:
Forme solange äquivalent um, bis eine offensichtlich ware Aussage da steht. Ein analoges Beispiel:
Zeigen Sie für $a > 0$, dass [mm] $\frac{1}{a}+a \ge [/mm] 2$ gilt.
Da setzt man nun erstmal so an:
[mm] $\frac{1}{a}+a \ge [/mm] 2$
[mm] $\underset{\text{wegen }a > 0}{\gdw}$ [/mm]
[mm] $1+a^2 \ge [/mm] 2a$
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm] $1+a^2-2a \ge [/mm] 0$
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm] $(1-a)^2 \ge 0\,.$
[/mm]
So, und der gewiefte Mathematiker weiß natürlich, dass der eigentliche Beweis dort oben drin enthalten ist, und man gar nicht alles braucht. Man muss nur aus einer (offensichtlich) wahren Aussage die Behauptung folgern. Also geht der gewiefte Mathematiker hin und macht nun folgendes: Er liest den Beweis von unten nach oben und benutzt dabei nur die [mm] $\Leftarrow$, [/mm] weil er diese hier ja auch nur braucht. (Selbstverständlich sollte man sich bei der obigen Rechnung davon überzeugen, dass man auch überall [mm] $\gdw$ [/mm] schreiben darf. Die Rechnung würde "problematisch", wenn man irgendwann nur ein [mm] $\Rightarrow$ [/mm] anstatt eines [mm] $\gdw$ [/mm] schreiben dürfte, weil wir ja eigenlich vor allem die [mm] $\Leftarrow$ [/mm] im Beweis benötigen.)
Es sei $a > 0$. Dann ist jedenfalls [mm] $(1-a)^2 \ge [/mm] 0$, weil Quadratzahlen (einer reellen Zahl) stets [mm] $\ge [/mm] 0$ sind. Also:
[mm] $(1-a)^2 \ge [/mm] 0$
[mm] $\Rightarrow$
[/mm]
[mm] $1^2-2a+a^2 \ge [/mm] 0$
[mm] $\Rightarrow$
[/mm]
[mm] $1+a^2 \ge [/mm] 2a$
[mm] $\underset{\text{Multiplikation mit }\frac{1}{a} > 0}{\Rightarrow}$
[/mm]
[mm] $\frac{1}{a}+a \ge 2\,.$
[/mm]
Damit ist die Behauptung bewiesen. [mm] $\blacksquare$
[/mm]
Nun mal konkret zu Deiner Aufgabe:
Du hast $H(a; b) [mm] \le [/mm] G(a; b) [mm] \le [/mm] A(a; b)$ für alle $a,b > 0$ zu zeigen. Also zwei Dinge:
Erstens: Zu zeigen ist:
Für alle $a,b > 0$ gilt $H(a; b) [mm] \le [/mm] G(a; b)$. Du sollst nun also zeigen:
Für alle $a,b > 0$ gilt:
[mm] $$\bruch{2}{\bruch{1}{a}+\bruch{1}{b}} \le \sqrt{ab}\,.$$
[/mm]
Zweitens:
Für alle $a,b > 0$ gilt [mm] $\underbrace{\sqrt{ab}}_{=G(a;b)} \le \underbrace{\frac{a+b}{2}}_{=A(a;b)}\,.$
[/mm]
Zeige also Erstens und Zweitens, denn die beiden zusammen liefern dann die Behauptung (Stichwort: Transitivität von [mm] $\le$).
[/mm]
P.S.:
Zweitens folgt, wobei man beachte, dass wegen $a,b > 0$ jeweils [mm] $\sqrt{a}$ [/mm] und [mm] $\sqrt{b}$ [/mm] existieren, aus der Tatsache
[mm] $$(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2 \ge 0\,.$$
[/mm]
Ich erkenne das sofort. Wenn Du das Beweisprinzip des Beispiels verstanden hast (was natürlich nicht immer geht, aber manchmal hilft es auch, die Behauptung zu einer äquivalenten Behauptung umzuformen), solte Dir nun auch klar sein, wie alles andere abläuft.
P.P.S.:
Bitte beachte bei Deinen Rechnungen, dass für $r,s [mm] \ge [/mm] 0$ gilt:
$$r [mm] \le [/mm] s [mm] \gdw r^2 \le s^2\,.$$
[/mm]
Mit anderen Worten:
Wenn man sich bei einer Ungleichung davon überzeugt, dass beide Seiten der Ungleichungen nichtnegativ sind, dann ist das Quadrieren eine Äquivalenzumformung.
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
