Ungleichung < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:59 Do 01.01.2009 | | Autor: | Takeela |
| Aufgabe | Sei f : [a,b] [mm] \to \IR [/mm] eine differenzierbare Funktion. Es existiere ein c [mm] \in \IR, [/mm] so dass f'(x) [mm] \le [/mm] c · f(x)
für alle x [mm] \in [/mm] [a,b]. Zeige, dass f(x) [mm] \le [/mm] f(a) · exp(c(x − a)) für alle x [mm] \in [/mm] [a,b] gilt. |
Hallo miteinander!
Erstmal wünsche ich euch allen natürlich von Herzen ein gutes und gesundes neues Jahr 2009!
So, und nun zu oben stehender Aufgabe... Ich komme beim besten Willen nicht auf den richtigen Weg... Vermutlich gehe ich das Problem von der falschen Seite an, weswegen ich mich entschlossen habe, es hier zu posten. Was ich schon versucht habe: Verallgemeinerter Mittelwertsatz der Differenzialrechnung, wobei ich eine Hilfsfunktion [mm] g(x)=e^{c*x} [/mm] definiert habe - erfolglos, das gewünschte Ergebnis blieb aus. Weiter habe ich versucht, durch umformen des Differenzenquotienten die Richtigkeit der zu beweisenden Ungleichung zu zeigen - auch ohne Erfolg...
Ich würde mir gern einen Tipp wünschen... Denn ich tappe arg im Dunkeln :(
Dafür danke ich euch schon jetzt!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:20 Do 01.01.2009 | | Autor: | uliweil |
Hallo Takeela,
gleichfalls ein frohes neues Jahr, um diese Tageszeit an Neujahr ist man dann ja wieder in der Lage, solche Aufgaben anzugehen.
Wenn man die Voraussetzung in [mm] \bruch{f'(x)}{f(x)} \le [/mm] c umformt (natürlich zunächst unter zusätzlichen Auflagen an f(x)), dann kommt einem die linke Seite bekannt vor: man nennt sie logarithmische Ableitung von f (siehe dazu beispielsweise Wikipedia unter genau diesem Begriff). Mit anderen Worten: betrachte die Funktion ln(f(x)) und lass das Instrumentarium des Mittelwertsatzes darauf los ...
Gruß
Uli
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:49 Fr 02.01.2009 | | Autor: | Takeela |
Hallo Uli,
danke dir herzlich, für deinen "heißen" Tipp - es hat wunderbar funktioniert! Ich bin nur etwas unsicher, ob ich das alles so zulässig ausgeführt habe, deshalb möchte ich hier meine Gedankengänge noch gern zur Korrektur posten:
Beweis:
[mm] \forall [/mm] f(x) [mm] \not= [/mm] 0 gilt nach Voraussetzung: [mm] \bruch{f'(x)}{f(x)} \le [/mm] c. Wir definieren also eine Funktion g(x):=ln[f(x)], mit [mm] g'(x)=\bruch{f'(x)}{f(x)} \le [/mm] c. Weiter sei g(x) auf [a,b] gemäß der Definition von ln differenzierbar und stetig. Nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung existiert also ein Punkt x [mm] \in [/mm] [a,b] mit [mm] g'(x)=\bruch{f'(x)}{f(x)}=\bruch{ln[f(x)]-ln[f(a)]}{x-a}=\bruch{ln[\bruch{f(x)}{f(a)}]}{x-a} \le [/mm] c. Umstellen dieser Ungleichung liefert: [mm] ln[\bruch{f(x)}{f(a)}] \le [/mm] c*(x-a), bzw. [mm] \bruch{f(x)}{f(a)} \le [/mm] exp[c*(x-a)] [mm] \Rightarrow [/mm] f(x) [mm] \le [/mm] f(a)*exp[c*(x-a)] [mm] \Rightarrow [/mm] Beh.!
Hm... ich bin mit den ganzen Formalismen noch nicht so gut vertraut und würde mich deshalb über eine Korrektur - bzw. Verbesserungsvorschläge sehr freuen!
Danke euch sehr dafür!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:36 Fr 02.01.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Uli,
>
> danke dir herzlich, für deinen "heißen" Tipp - es hat
> wunderbar funktioniert! Ich bin nur etwas unsicher, ob ich
> das alles so zulässig ausgeführt habe, deshalb möchte ich
> hier meine Gedankengänge noch gern zur Korrektur posten:
>
> Beweis:
> [mm]\forall[/mm] f(x) [mm]\not=[/mm] 0 gilt nach Voraussetzung:
> [mm]\bruch{f'(x)}{f(x)} \le[/mm] c. Wir definieren also eine
> Funktion g(x):=ln[f(x)], mit [mm]g'(x)=\bruch{f'(x)}{f(x)} \le[/mm]
> c. Weiter sei
> g(x) auf [a,b] gemäß der Definition von ln
> differenzierbar und stetig.
das ist keine Forderung. Denn wenn $f(x) > 0$ auf $[a,b]$ gilt (später werde ich noch etwas dazu sagen!), dann ist $g$ auf $[a,b]$ definiert und ist als Verknüpfung differenzierbarer Funktionen dort wieder differenzierbar. Ich nehme an, dass bei Euch "auf $[a,b]$" diff'bar insbesondere beinhaltet, dass $f$ an $a$ rechtsseitig diff'bar und an $b$ linksseitig diff'bar ist. Da jeder Punkt, wo eine Funktion diff'bar ist, insbesondere ein Stetigkeitspunkt ist, ist dann auch klar, dass $g$ insbesondere auf $[a,b]$ stetig ist!
> Nach dem Mittelwertsatz der
> Differentialrechnung existiert also ein Punkt x [mm]\in[/mm] [a,b]
> mit
> [mm]g'(x)=\bruch{f'(x)}{f(x)}=\bruch{ln[f(x)]-ln[f(a)]}{x-a}=\bruch{ln[\bruch{f(x)}{f(a)}]}{x-a} \le[/mm]
> c. Umstellen dieser Ungleichung liefert:
> [mm]ln[\bruch{f(x)}{f(a)}] \le[/mm] c*(x-a), bzw.
> [mm]\bruch{f(x)}{f(a)} \le[/mm] exp[c*(x-a)] [mm]\Rightarrow[/mm] f(x) [mm]\le[/mm]
> f(a)*exp[c*(x-a)] [mm]\Rightarrow[/mm] Beh.!
>
> Hm... ich bin mit den ganzen Formalismen noch nicht so gut
> vertraut und würde mich deshalb über eine Korrektur - bzw.
> Verbesserungsvorschläge sehr freuen!
>
> Danke euch sehr dafür!!
Also abgesehen davon, dass man etwas, was man begründen sollte, nicht als Forderung formulieren sollte (s.o.), generell ein paar Dinge, die zu überdenken sind:
[mm] $\bullet$ [/mm] Wäre es vll. nicht besser, [mm] $g(x):=\ln(|f(x)|)$ [/mm] zu setzen?
Grund: Es kann sicher durchaus Sinn machen, folgende Fälle zu untersuchen:
[mm] $\bullet$ [/mm] $f$ hat keine Nullstellen in $[a,b]$ (dann gilt entweder $f(x) > 0$ auf $[a,b]$ oder $f(x) < 0$ auf $[a,b]$ (Wieso? Tipp: Andernfalls bekäme man einen Widerspruch mit dem ZWS!). Und wenn $f(x) <0$ auf $[a,b]$ gelten würde, wäre Deine Funktion $g$ etwas ungünstig, nämlich gar nicht, definiert...)
[mm] $\bullet$ [/mm] $f$ hat Nullstellen in $[a,b]$ (Vll. ist $f$ ja sogar stückweise konstant $0$)... und hier hat man Probleme mit [mm] $g(x)=\ln(|f(x)|)$ [/mm] an allen Stellen $x$, wo $f(x)=0$ gilt.
Ich bin leider in Eile, sonst würde ich mir vll. auch noch selbst weitere Gedanken dazu machen. Aber das sind definitiv Punkte, die im Beweis irgendwie abgehandelt werden müssen. Und sei es auch nur kurz (falls möglich)...
Vielleicht ist der ein oder andere Fall auch nicht möglich, aber dann sollte man auch begründen, warum er nicht eintreten kann.
Fass es also bitte nur als mögliche Kritikpunkte auf.
Gruß,
Marcel
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:46 Fr 02.01.2009 | | Autor: | Takeela |
Hallo Marcel,
vielen herzlichen Dank für deine Einwände - ich hätte all dies nicht bedacht (und ärgere mich über meine schnellen Schlüsse!) Okay... ich habe das alles nochmal überdacht und bin zu folgenden Erkenntnissen gekommen:
Für den Fall f(x)=0 bekomme ich etwas komisches raus: Nach Vorraussetzung gilt also dann [mm] f'(x)\le0. [/mm] Nun ist ja [mm] f'(x)=\bruch{f(a)-f(x)}{a-x}=\bruch{f(a)}{a-x}\le0, [/mm] andererseits ist aber [mm] f'(x)=\bruch{f(a)-f(x)}{a-x}=\bruch{-1*[f(a)-f(x)]}{-1*[a-x]}=\bruch{f(x)-f(a)}{x-a}=\bruch{-f(a)}{x-a}\le0. [/mm] Nein, Moment. Komisch ist das nicht. Da ja [mm] x\in[a,b] [/mm] ist also [mm] a-x\le0, [/mm] bzw. [mm] x-a\ge0 [/mm] und es folgt, dass [mm] f(a)\ge0 [/mm] sein muss, richtig? Damit ist die Ungleichung ja für diesen Fall abgehandelt, weil [mm] 0\le f(a)\le [/mm] f(a) exp[c(x-a)]. Stimmt?
Für den Fall f(x)<0 muss nach Voraussetzung auch f'(x)<0 sein. Deshalb kürzt sich doch das Vorzeichen raus? Hm... das überzeugt mich jetzt noch nicht...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Di 06.01.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Hallo Takeela,
dies hier sollte erst eine Fehleranzeige werden, aber ganz nebenbei fällt dann doch die Lösung ab, die Du eigentlich selbst gefunden hast.
> Beweis:
> [mm]\forall[/mm] f(x) [mm]\not=[/mm] 0 gilt nach Voraussetzung:
> [mm]\bruch{f'(x)}{f(x)} \le[/mm] c. Wir definieren also eine
> Funktion g(x):=ln[f(x)], mit [mm]g'(x)=\bruch{f'(x)}{f(x)} \le[/mm]
> c. Weiter sei g(x) auf [a,b] gemäß der Definition von ln
> differenzierbar und stetig.
Das ist (wie Marcel schon angemerkt hat), verschiedentlich problematisch. Insbesondere wirst Du noch prüfen müssen, was passiert, wenn [mm] f(x)\le0 [/mm] ist.
Ab hier pflücke ich mal ein bisschen auseinander:
> Nach dem Mittelwertsatz der
> Differentialrechnung existiert also mindestens ein Punkt [mm] x_{\red{0}}[/mm] [mm]\in[/mm] [a,b]
> mit
> [mm][mm] g'(x_{\red{0}})=\bruch{f'(x_{\red{0}})}{f(x_{\red{0}})}=\bruch{ln[f(\blue{x})]-ln[f(a)]}{\blue{x}-a}=\bruch{ln[\bruch{f(\blue{x})}{f(a)}]}{\blue{x}-a}
[/mm]
Deine Behauptung (ohne den roten Index 0) ist nicht die Aussage des Mittelwertsatzes. Außerdem könnte das "mindestens" noch für die Untersuchung von [mm] f(x)\le0 [/mm] wichtig werden, wer weiß.
Jedenfalls darfst Du [mm] x=x_0 [/mm] nicht voraussetzen.
> [mm] g'(x_0)=\bruch{f'(x_0)}{f(x_0)}=... \le \a{}c
[/mm]
...was ja im ganzen Intervall gelten soll. Es bleibt:
> [mm] \bruch{ln[\bruch{f(x)}{f(a)}]}{x-a} \le \a{}c. [/mm]
Und schwupps, ist das [mm] x_0 [/mm] schon wieder verschwunden. Es war nur nötig, um das [mm] \le \a{}c [/mm] ins Spiel zu bringen.
> Umstellen dieser Ungleichung liefert:
> [mm] \ln{\left(\bruch{f(x)}{f(a)}\right)} \le \a{}c*(x-a) [/mm] , bzw.
> [mm] \bruch{f(x)}{f(a)} \le e^{c(x-a)} \Rightarrow f(x)\le f(a)*e^{c(x-a)} \Rightarrow [/mm] Beh.!
Diese Umstellung hast du gut gesehen.
Jetzt bleibt dir "nur" noch [mm] f(x)\le0 [/mm] zu betrachten. Für [mm] \a{}f(x)=0 [/mm] würde genügen zu zeigen, dass [mm] f(a)\ge0 [/mm] ist, aber ich sehe noch nicht einmal, wie das geht, geschweige denn der Fall [mm] \a{}f(x)<0.
[/mm]
Liebe Grüße,
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:28 Mo 05.01.2009 | | Autor: | Takeela |
Hallo reverend!
Vielen, vielen Dank für deine Mühen... :)
Ist es empfehlenswert, auch das c zu unterscheiden? Also, die Fälle c<0, c>0, c=0? Ich habe das nämlich versucht und bemerkt, dass es für den Fall c<0 offensichtlich nicht einfach ist, die Ungleichung zu zeigen...
Viele Grüße,
Takeela
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Hallo Takeela,
das c schien mir bisher noch gar nicht problematisch. Fallunterscheidungen sollte man nur machen, wenn einer (oder mehr) der unterschiedenen Fälle eine andere Vorgehensweise erfordert. Diese Notwendigkeit sehe ich im Moment noch nicht.
Nötig ist aber die Untersuchung von [mm] f(x)\le0, [/mm] da ja [mm] \ln(f(x)) [/mm] dann nicht definiert ist.
Vielleicht lässt sich aber auch zeigen, dass für [mm] f(x)\le0 [/mm] die Vorgabe [mm] f'(x)\le \a{}c*f(x) [/mm] nicht zu erfüllen ist. Hier mag die Fallunterscheidung zu c doch noch nötig werden.
Im Moment denke ich aber kaum darüber nach, mein Arbeitgeber findet gerade, dass er auch ab und zu Anspruch auf meine Zeit hat. 
lg,
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:06 Mo 05.01.2009 | | Autor: | Takeela |
Natürlich, ich will niemanden in ärgerliche Situationen bringen :)
Also, ich führe das für [mm] f(x_{o})<0 [/mm] nun aus:
Für [mm] f(x_{o)}<0 [/mm] und c [mm] \ge [/mm] 0 gilt nach Voraussetzung:
[mm] f'(x_{o})=\bruch{f(a)-f(x)}{a-x} \le c*f(x_{o}) \le [/mm] 0 [mm] \rightarrow f'(x_{o}) \le [/mm] 0. Da nun x [mm] \ge [/mm] a, folgt, dass a-x [mm] \le [/mm] 0. Nach den Anordnungsaxiomen ist nun f(a) [mm] \ge [/mm] f(x). Die Exponentialfunktion ist für positive Argumente stets [mm] \ge [/mm] 1, sodass f(a) exp[c*(x-a)] [mm] \ge [/mm] f(a) [mm] \ge [/mm] f(x) [mm] \rightarrow [/mm] Behauptung!
Für [mm] f(x_{o)}<0 [/mm] und c < 0 gilt nach Voraussetzung:
Nach den Anordungsaxiom ist [mm] c*f(x_{o}) [/mm] > 0. Es gilt: 0 < [mm] \bruch{1}{c*f(x_{o})} \le \bruch{1}{f'(x_{o})} \rightarrow f'(x_{o}) [/mm] > 0 ( hier treten nun Probleme auf... ) Da ja a-x [mm] \le [/mm] 0, folgt, dass auch f(a)-f(x) < 0 ist. [mm] \rigtharrow [/mm] f(a) < f(x)... [mm] \rightarrow [/mm] ??? Wie kann ich nun mit diesem Fall umgehen?
Viele Grüße,
Takeela
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Hallo Takeela,
seit gestern Nachmittag denke ich immer wieder auf Deiner Aufgabe herum. Endlich mit Erfolg, denke ich. Wie Du nachsehen kannst (klick auf "einzelner Artikel", wenn Dir der Text mal begegnet), haben viele die Aufgabe gelesen, offenbar mehrmals, durchschnittlich mehr als dreimal.
Wir sind bis hier scheinbar weit gekommen, nur die letzte Fallunterscheidung fehlt wohl noch. Darum erst eine kurze Reaktion auf Deinen letzten Vorschlag:
> Natürlich, ich will niemanden in ärgerliche Situationen
> bringen :)
Danke. Merci. Grazie. Thank you. Dankjewel. Kiitos. Obrigado. Gracias. Weitere Sprachen auf Nachfrage und Mitteilung der möglichen Codierung (Unicode? Oder Umschriften wie efcharisto, arigato, nan(d)ri, spasiwo, toda etc.?).
> Also, ich führe das für [mm]f(x_{o})<0[/mm] nun aus:
>
> Für [mm]f(x_{o)}<0[/mm] und c [mm]\ge[/mm] 0 gilt nach Voraussetzung:
> [mm]f'(x_{o})=\bruch{f(a)-f(x)}{a-x} \le c*f(x_{o}) \le[/mm] 0
> [mm]\rightarrow f'(x_{o}) \le[/mm] 0. Da nun x [mm]\ge[/mm] a, folgt, dass
> a-x [mm]\le[/mm] 0. Nach den Anordnungsaxiomen ist nun f(a) [mm]\ge[/mm]
> f(x). Die Exponentialfunktion ist für positive Argumente
> stets [mm]\ge[/mm] 1, sodass f(a) exp[c*(x-a)] [mm]\ge[/mm] f(a) [mm]\ge[/mm] f(x)
> [mm]\rightarrow[/mm] Behauptung!
Liest sich gut. Auch wenn ich weiß, was Du meinst, klingt das Wort "Anordnungsaxiome" hier nicht richtig, aber ich habe keinen sinnvollen Gegenvorschlag.
> Für [mm]f(x_{o)}<0[/mm] und c < 0 gilt nach Voraussetzung:
> Nach den Anordungsaxiom ist [mm]c*f(x_{o})[/mm] > 0. Es gilt: 0 <
> [mm]\bruch{1}{c*f(x_{o})} \le \bruch{1}{f'(x_{o})} \rightarrow f'(x_{o})[/mm]
> > 0 ( hier treten nun Probleme auf... ) Da ja a-x [mm]\le[/mm] 0,
> folgt, dass auch f(a)-f(x) < 0 ist. [mm]\rigtharrow[/mm] f(a) <
> f(x)... [mm]\rightarrow[/mm] ??? Wie kann ich nun mit diesem Fall
> umgehen?
Ja, das wüsste ich auch gern.
> Viele Grüße,
>
> Takeela
Dann schreib ich mal noch eine andere Antwort.
Liebe Grüße,
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:16 Sa 03.01.2009 | | Autor: | Takeela |
Okay... ich glaube, ich habe mir alle Fälle reiflich überlegt und ausgearbeitet... Nun habe ich aber noch eine dringende Frage zur Notation:
Mir ist gar nicht aufgefallen, dass ich f'(x) folgendem Quotienten gleichgesetzt habe: [mm] \bruch{f(a)-f(x)}{a-x} [/mm] Ist das so überhaupt richtig? Denn wir haben die Ableitung an der Stelle [mm] x_{o} [/mm] wie folgt definiert: [mm] f'(x_{o})=\limes_{x\rightarrow x_{o}} \bruch{f(x)-f(x_{o})}{x-x_{o}}. [/mm] Demnach wären all meine Ausführungen falsch... Hmm...
Oder rettet mich der Mittelwertsatz? Entschuldigt, ich seh den Wald vor lauter Bäumen nicht...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:57 So 04.01.2009 | | Autor: | uliweil |
Hallo Takeela,
ich denke [mm] \bruch{f(a) - f(x)}{a-x} [/mm] = [mm] \bruch{f(x)-f(a)}{x-a}, [/mm] deshalb ist es egal, dass die 1. Ableitung als [mm] f'(x_{o})=\limes_{x\rightarrow x_{o}} \bruch{f(x)-f(x_{o})}{x-x_{o}} [/mm] definiert ist; [mm] f'(x_{o})=\limes_{x\rightarrow x_{o}} \bruch{f(x_{0})-f(x)}{x_{o}-x} [/mm] wäre genauso richtig, der Limes ist ja beidseitig.
Gruß
Uli
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:18 So 04.01.2009 | | Autor: | Takeela |
Hallo Uli,
vielen Dank, für deine Antwort.
Ich vermute, ich habe mich missverständlich ausgedrückt: Ich habe folgendes gemeint:
Die Ableitung an der Stelle [mm] x_{o} [/mm] haben wir in der Vorlesung als eben diesen Grenzwert [mm]f'(x_{o})=\limes_{x\rightarrow x_{o}} \bruch{f(x)-f(x_{o})}{x-x_{o}}[/mm] definiert. Ich habe bei meinen Ausführungen jedoch [mm] f'(x)=\bruch{f(a)-f(x)}{a-x} [/mm] verwendet. Nach unserer Definition entspräche das aber nicht der tatsächlichen Ableitung an der Stelle x. Ist dies dennoch richtig? Oder muss ich den Grenzwert verwenden?
Vielen Dank!
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Du musst den Grenzwert verwenden.
Er macht den Unterschied von Differenzenquotient und Differentialquotient aus, und nur letzterer bestimmt die Ableitung der Funktion an der gegebenen Stelle.
lg,
reverend
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:17 Mo 05.01.2009 | | Autor: | Takeela |
Hallo Reverend,
danke erstmal für deine Antwort.
Nun gut, ich stehe damit wieder am Anfang.
Ich kann mir beim besten Willen keine Methode ausdenken, den gewünschten Ausdruck für den Fall, z.B. f(x) > 0 herzuleiten... Ich habe den Grenzwert stehen, aber wie bekomme ich das a ins Spiel?
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Hallo Takeela,
das ist echt eine Aufgabe, bei der man sich leicht verrennen kann. Dabei hast Du die Lösung eigentlich schon selbst gefunden. Ich schreibe mal eine Reaktion an der passenden Stelle, sozusagen weiter oben. Dauert aber ein bisschen.
Liebe Grüße,
reverend
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Hallo Takeela,
der Horror des Aufgabenstellers ist ja: der Beweis ist nicht zu führen, und irgendein Idiot findet auch noch ein Gegenbeispiel.
> Sei [mm] \a{}f: \a{}[a,b] \to \IR [/mm] eine differenzierbare Funktion. Es
> existiere ein [mm] c\in \IR, [/mm] so dass [mm] f'(x)\le \a{}c*f(x) [/mm] für alle [mm] x\in \a{}[a,b].
[/mm]
> Zeige, dass [mm] f(x)\le f(a)*e^{c(x-a)} [/mm] für alle [mm] x\in \a{}[a,b] [/mm] gilt.
1) Zur Voraussetzung [mm] \a{}f: \a{}[a,b] \to \IR [/mm] :
Die Funktion kann in [mm] \a{}[a,b] [/mm] nur dann ganz [mm] \IR [/mm] als Bildmenge haben,
a) wenn sie mindestens eine ungerade Polstelle enthält;
b) wenn sie an mindestens einer Intervallgrenze den Funktionswert
[mm] \pm\infty [/mm] annimmt sowie mindestens eine gerade Polstelle [mm] \mp\infty [/mm] enthält;
c) wenn sie an einer Intervallgrenze den Funktionswert [mm] \pm\infty [/mm] und an
der anderen den Funktionswert [mm] \mp\infty [/mm] annimmt.
In all diesen Fällen ist sie nicht in ganz [mm] \a{}[a,b] [/mm] differenzierbar.
Offenbar genügt es, dass [mm] \a{}[a,b] [/mm] auf einen Teil von [mm] \IR [/mm] abgebildet wird.
2) Sei [mm] f(x)=x^{10}-\bruch{1}{25}, \a{}[a,b]=[-0.7,+0.7] [/mm] und [mm] c=-100\in \IR.
[/mm]
Es ist nun [mm] f'(x)=10x^9 \le -100*(x^{10}-\bruch{1}{25}) [/mm] in ganz [mm] \a{}[a,b].
[/mm]
Zugleich ist [mm] f(x)\red{\ge} f(a)*e^{c(x-a)} [/mm] für alle [mm] x\in \a{}[a,b].
[/mm]
Grüße an den Aufgabensteller bzw. die Aufgabenstellerin,
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:36 Mi 07.01.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo reverend,
> 1) Zur Voraussetzung [mm]\a{}f: \a{}[a,b] \to \IR[/mm] :
> Die Funktion kann in [mm]\a{}[a,b][/mm] nur dann ganz [mm]\IR[/mm] als
> Bildmenge haben,
> a) wenn sie mindestens eine ungerade Polstelle enthält;
> b) wenn sie an mindestens einer Intervallgrenze den
> Funktionswert
> [mm]\pm\infty[/mm] annimmt sowie mindestens eine gerade
> Polstelle [mm]\mp\infty[/mm] enthält;
> c) wenn sie an einer Intervallgrenze den Funktionswert
> [mm]\pm\infty[/mm] und an
> der anderen den Funktionswert [mm]\mp\infty[/mm] annimmt.
> In all diesen Fällen ist sie nicht in ganz [mm]\a{}[a,b][/mm]
> differenzierbar.
wozu das ganze eigentlich? Dass $f: [a,b] [mm] \to \IR$ [/mm] bedeutet nichts anderes, als dass $f([a,b]) [mm] \subset \IR\,.$ [/mm] Dort steht doch nichts darüber, dass $f$ evtl. surjektiv sein sollte/könnte. Die Überlegung ist zwar nicht falsch, aber irgendwie erscheint sie mir unnötig.
Zumal man sich auch einfacher überlegen kann, dass eine differenzierbrae Funktion $f: [a,b] [mm] \to \IR$ [/mm] niemals surjektiv sein kann:
$f$ ist als auf [mm] $[a,b]\,$ [/mm] diff'bare Funktion insbesondere stetig auf [mm] $[a,b]\,$ [/mm] und daher ist [mm] $f([a,b])\,$ [/mm] kompakt (Bilder kompakter Mengen unter stetigen Funktionen sind kompakt), insbesondere also beschränkt (und abgeschlossen). Daher gilt mit Sicherheit hier, dass unter den gegebenen Voraussetzungen an [mm] $\,f$ [/mm] dann [mm] $f([a,b])\,$ [/mm] eine echte Teilmenge von [mm] $\IR$ [/mm] sein wird.
> Offenbar genügt es, dass [mm]\a{}[a,b][/mm] auf einen Teil von [mm]\IR[/mm]
> abgebildet wird.
S.o.
> 2) Sei [mm]f(x)=x^{10}-\bruch{1}{25}, \a{}[a,b]=[-0.7,+0.7][/mm] und
> [mm]c=-100\in \IR.[/mm]
>
> Es ist nun [mm]f'(x)=10x^9 \le -100*(x^{10}-\bruch{1}{25})[/mm] in
> ganz [mm]\a{}[a,b].[/mm]
>
> Zugleich ist [mm]f(x)\red{\ge} f(a)*e^{c(x-a)}[/mm] für alle [mm]x\in \a{}[a,b].[/mm]
Da bin ich nun zu faul, mir das genauer anzugucken. Vll. kann das ganze ja mal jemand auch einfach plotten und nochmal selber testen, ob das so stimmt. Vll. fehlt auch einfach irgendeine Voraussetzung in der Aufgabe (ich vermute sogar, dass es mehr als eine ist  ).
P.S.:
@ Takeela:
Ich bin auch bisher nicht wirklich dazu gekommen, mich weiter mit der Aufgabe auseinanderzusetzen. Wenn man den oben vorgeschlagenen Lösungsweg begutachtet, hat es durchaus den Anschein, dass hier einfach gewisse Voraussetzungen "unterschlagen worden sind" (vll. sollte man so etwas fordern wie, dass [mm] $\,f\,$ [/mm] generell nullstellenfrei sei...).
Nehmen wir mal an, es wäre $f > 0$ auf $[a,b]$ und es existiere ein $c [mm] \in \IR$ [/mm] mit...:
Dann setzt man [mm] $g(x):=\ln(f(x))$ [/mm] und es ist $g'(z)=f'(z)/f(z) [mm] \le [/mm] c$ für alle $z [mm] \in [a,b]\,.$ [/mm] Für jedes $x [mm] \in [/mm] (a,b]$ existiert dann (mindestens) ein [mm] $\xi=\xi_{x} \in [/mm] (a,x)$ mit
[mm] $$g'(\xi)=\frac{g(x)-g(a)}{x-a}=\bruch{\ln(f(x))-\ln(f(a))}{x-a}=\bruch{\ln\left(\bruch{f(x)}{f(a)}\right)}{x-a} \le [/mm] c.$$
So sollte dann in diesem Fall die Beh. folgen...
(Ob die Aufgabe für $f < 0$, $f [mm] \le [/mm] 0$ bzw. $f [mm] \ge [/mm] 0$ auf $[a,b]$ überhaupt lösbar ist: Vll. sollte man nochmal Rücksprache mit dem Aufgabensteller halten. Zumal Reverend anscheinend oben ein Gegenbeispiel dafür angegeben hat, wenn f sowohl Werte [mm] $\ge [/mm] 0$ als auch Werte [mm] $\le [/mm] 0$ auf $[a,b]$ annimmt...)
(Edit: Du hattest bei Dir beim MWS irgendwie das $x$ an falschen Stellen stehen. Ich habe gerade auch gesehen, dass reverend das ganze aber auch oben schon geklärt hatte. Naja, macht ja nix, doppelt genäht hält besser oder so ähnlich... .)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:26 Mi 07.01.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo Marcel, hallo Takeela,
hier ein Plot folgender Funktionen im Bereich [mm] -0,71\le x\le+0,71:
[/mm]
rot : [mm] y=-100*(x^{10}-\bruch{1}{25})
[/mm]
grün: [mm] y=10*x^9
[/mm]
blau: [mm] y=((-0.7)^{10}-\bruch{1}{25})*e^{-100*(x+0.7)}
[/mm]
Die grüne und die blaue Kurve liegen so nah beieinander und an der x-Achse, dass sie nicht gut zu unterscheiden sind. Darauf kommt es bei der Aufgabe aber auch nicht an.
[Dateianhang nicht öffentlich]
lg,
reverend
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:03 Do 08.01.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo reverend,
sieht gut aus
Nebenbei:
Befehle für größere Klammern:
[mm] [nomm]$\left(\frac{a}{b}\right)^c$[/nomm] [/mm] liefert [mm] $\left(\frac{a}{b}\right)^c$.
[/mm]
Daneben gibt es auch Befehle mit big(g), Big(g), das liefert bspw.
[mm] [nomm]$\big(\frac{a}{b}\big)^c$[/nomm] $\rightarrow$ $\big(\frac{a}{b}\big)^c$,
[/mm]
[mm] [nomm]$\bigg(\frac{a}{b}\bigg)^c$[/nomm] $\rightarrow$ $\bigg(\frac{a}{b}\bigg)^c$,
[/mm]
[mm] [nomm]$\Big(\frac{a}{b}\Big)^c$[/nomm] $\rightarrow$ $\Big(\frac{a}{b}\Big)^c$,
[/mm]
[mm] [nomm]$\Bigg(\frac{a}{b}\Bigg)^c$[/nomm] $\rightarrow$ $\Bigg(\frac{a}{b}\Bigg)^c$.
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:14 Do 08.01.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo Marcel,
danke für den Tipp zu Klammern. Meistens bin ich für [mm] \left( \right) [/mm] etc. zu faul, aber Du hast Recht: es sieht besser aus.
Die bigBigBiggs kannte ich in der Tat noch gar nicht.
Und noch besser ist nomm/nomm...
[mm] \Bigg( [/mm] [mm] \Bigg)
[/mm]
lg,
rev
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:42 Mi 07.01.2009 | | Autor: | Takeela |
Ihr seid ja wirklich spitzenklasse!! ;) Ich hätte ja nie gedacht, dass aus dieser Aufgabe eine solche Diskussion entsteht, obwohl dies zum Verständnis der Aufgabe für mich immens beigetragen hat! Ich danke euch also von ganzem Herzen für euer Engagement und eure Geduld!
Liebe Grüße, Takeela
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