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Forum "Uni-Analysis-Sonstiges" - Ungleichung
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Ungleichung: Aufgabe 3
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:28 Do 01.01.2009
Autor: anjali251

Aufgabe
Für welche reellen Zahlen  a,b gilt die Ungleichung?

[mm] \bruch{1}{\left( a+\bruch{1}{b} \right) \left( b+\bruch{1}{a} \right) }\le\bruch{1}{4} [/mm]

Also, ich habe zuerst damit angefangen die Ungleichung umzustellen, da ich ja konkrete Werte für a,b herausbekommen soll:

[mm] \bruch{1}{\left( a+\bruch{1}{b} \right) \left( b+\bruch{1}{a} \right) } \le\bruch{1}{4} |\times \left( a+\bruch{1}{b} \right) [/mm]   [mm] \left( b+\bruch{1}{a} \right) [/mm]

[mm] 1\ge\bruch{1}{4} \times \left( a+\bruch{1}{b} \right) [/mm]   [mm] \left( b+\bruch{1}{a} \right) [/mm]

An der Stelle weiß ich jetzt nicht weiter, ich habe zwei Variablen und die rechte Seit muss kleiner sein als 1. Wie mache ich weiter?

Wenn ich das ganze ausmultipliziere käme ich auf:

1> [mm] \bruch{1}{4} \times \left( ab+2+\bruch{1}{ab} \right) [/mm]  

Das Problem ist, dass die Aufgabe dadurch nicht wirklich vereinfacht wurde, mit ab kann ich nicht wirklich was anfangen. Wie kann ich eine Variable loswerden?

        
Bezug
Ungleichung: Umformungen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:42 Do 01.01.2009
Autor: Loddar

Hallo anjali!


Bei Deiner Umformung übersiehst Du, dass Du bei der Multiplikation mit dem Nenner eigentlich eine Fallunterscheidung machen musst (wegen evtl. Umdrehen des Ungleichheitszeichens).

Gehen wie wie folgt vor ...

1. Schritt: Der Bruch auf der linken Seite wird mit $a*b_$ erweitert:

[mm] $$\bruch{1}{\left( a+\bruch{1}{b} \right) *\left( b+\bruch{1}{a} \right) } [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ [mm] \bruch{1}{4}$$ [/mm]
[mm] $$\bruch{a*b}{\left( a+\bruch{1}{b} \right) *b*a*\left( b+\bruch{1}{a} \right) } [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ [mm] \bruch{1}{4}$$ [/mm]
[mm] $$\bruch{a*b}{( ab+1) *( ab+1) } [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ [mm] \bruch{1}{4}$$ [/mm]
[mm] $$\bruch{a*b}{( ab+1 )^2 } [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ [mm] \bruch{1}{4}$$ [/mm]

2. Schritt: Nun kann man die Gleichung gefahrlos mit [mm] $4*(ab+1)^2$ [/mm] multiplizieren, da dies immer positiv ist:
$$4*ab \ [mm] \le [/mm] \ [mm] (ab+1)^2$$ [/mm]

3. Schritt: Klammer auf der rechten Seite ausmultiplizieren und anschließend $4*ab_$ nach rechts bringen. Dann ergibt sich wiederum eine binomische Formel.


Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
Ungleichung: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:29 Do 01.01.2009
Autor: anjali251

[mm] 4ab\le (ab+1)^{2} [/mm]
[mm] 4ab\le ab^{2}+2ab+1 [/mm]

-4ab

[mm] 0\le ab^{2}+2ab+1-4ab [/mm]
[mm] 0\le ab^{2}-2ab+1 [/mm]      

dritte binomische Formel

[mm] 0\le(ab-1)(ab+1) [/mm]

Die Ungleichung gilt für alle positiven reellen Zahlen einschließlich der 0.

Ich hoffe das stimmt so, und vielen vielen Dank für die Hilfe

Bezug
                        
Bezug
Ungleichung: 2. binomische Formel
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:31 Do 01.01.2009
Autor: Loddar

Hallo anjali!


> [mm]0\le ab^{2}+2ab+1-4ab[/mm]
>  [mm]0\le ab^{2}-2ab+1[/mm]  

[ok] Bis hierher stimmt alles   !


> dritte binomische Formel

[eek] Nein, das ist eindeutig die 2. binomische Formel, welche man hier anwenden kann.

  

> [mm]0\le(ab-1)(ab+1)[/mm]

[notok] siehe oben!


Gruß
Loddar


Bezug
                                
Bezug
Ungleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:36 Do 01.01.2009
Autor: anjali251

Jetzt seh ich es auch.

[mm] 0\le(ab-1)^{2} [/mm]

Heißt die Ungleichung gilt für alle reellen Zahlen.

Bezug
                                        
Bezug
Ungleichung: richtig
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:39 Do 01.01.2009
Autor: Loddar

Hallo anjali!


[ok] So stimmt es ... ausgeschlossen sind lediglich $a \ = \ 0$ , $b \ = \ 0$ sowie $a*b \ = \ -1$ , da diese Werte nicht im Definitionsbereich der Ausgangsungleichung mit dem Doppelbruch enthalten sind.


Gruß
Loddar


Bezug
                                                
Bezug
Ungleichung: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:47 Do 01.01.2009
Autor: anjali251

Vielen Dank für die geduldige Hilfe ;)

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