Ungleichung < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:21 Di 06.01.2009 | | Autor: | Palonina |
| Aufgabe | [mm] \forall [/mm] $x,y [mm] \in \IR$ [/mm] mit [mm] $0\leq [/mm] x < y$ und für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] mit $n [mm] \geq [/mm] 2$ gilt
$n [mm] x^{n-1}(y-x) \leq y^n-x^n \leq [/mm] n [mm] y^{n-1}(y-2)$.
[/mm]
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Hallo zusammen,
ich stelle diese Aufgabe hier unter Differentiation, da dies unser aktuelles Thema ist und die anderen Aufgaben des Übungszettels ebenfalls aus diesem Gebiet sind.
Nur habe ich leider keinen Ansatz, wie ich diese Ungleichung beweisen soll. Kann mir jemand helfen und einen Hinweis geben?
Viielen Dank, Gruß,
Palonina
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:00 Di 06.01.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]\forall[/mm] [mm]x,y \in \IR[/mm] mit [mm]0\leq x < y[/mm] und für alle [mm]n \in \IN[/mm]
> mit [mm]n \geq 2[/mm] gilt
>
> [mm]n x^{n-1}(y-x) \leq y^n-x^n \leq n y^{n-1}(y-2)[/mm].
>
> Hallo zusammen,
>
> ich stelle diese Aufgabe hier unter Differentiation, da
> dies unser aktuelles Thema ist und die anderen Aufgaben des
> Übungszettels ebenfalls aus diesem Gebiet sind.
>
> Nur habe ich leider keinen Ansatz, wie ich diese
> Ungleichung beweisen soll. Kann mir jemand helfen und einen
> Hinweis geben?
wenn ich mir die erste Ungleichung angucke, so ist sie wegen $y-x [mm] \,>\, [/mm] 0$ äquivalent zu
[mm] $$\frac{y^n-x^n}{y-x} \ge n*x^{n-1}\,.$$
[/mm]
Betrachte [mm] $f(r)\,:=\,r^n$ [/mm] auf dem Intervall $[x,y]$. Nun wende den Mittelwertsatz an und beachte, dass für alle [mm] $\xi \in [/mm] [x,y]$ auch [mm] $f'(\xi) \ge [/mm] f'(x)$ ist, weil $f'$ dort monoton wachsend ist (insbesondere beachte, dass nach Vorraussetzung $x [mm] \ge [/mm] 0$ gilt). Damit erhälst Du die erste Ungleichung.
Ob Dir das bei der zweiten Ungleichung hilft, weiß ich nicht, aber es gilt jedenfalls
[mm] $$y^n-x^n=(y-x)\sum_{k=1}^{n} y^{k-1}x^{n-k}\,.$$
[/mm]
Vielleicht kannst Du so auch wieder die Differentialrechnung ins Spiel bringen (wieder mittels Division durch [mm] $y\,-\,x$). [/mm] Und wenn alle Stricke reißen, kann man notfalls auch mal testen, ob sich die zweite Ungleichung mittels Induktion beweisen läßt...
Gruß,
Marcel
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Hallo,
vielen Dank für deine Erklärung und bin wieder verblüfft, wie ihr den Ansatz findet. Damit habe ich oft Probleme und wenn das kein ÜZ zur Differenziation gewesen wäre, hätte ich ihn bestimmt nicht hier, sondern allgemein unter Analysis gepostet. Den Zusammenhang zum MWS hätte ich nie gesehen.
Eigentlich dachte ich, dass die zweite Ungleichung analog geht, aber dort steht ein $y-2$ und nicht $y-x$. Das scheint ein Druckfehler zu sein, denn als ich eine Vollständige Induktion versucht habe mit IA n=2, versuchte ich mir über die Ungleichung ein Bild zu machen und habe mal x=0,1 und y=0,3 (da [mm] $0\leq [/mm] x<y$) eingesetzt und erhielt
0,08 < -0,51.
Was meint ihr, wie soll ich die Aufgabe abgeben? Entweder beweise ich die erste und widerlege die zweite Ungleichung, oder ich nehme an, dass in der zweiten eigentlich y-x stehen müsste.
Dann erhielte ich analog zu Marcels obigen Beweis , dass
$ [mm] f'(\xi) \le [/mm] f'(y) $ für $ [mm] \xi \in [/mm] [x,y] $, da f(x) auf dem Intervall monoton wachsend ist.
Gruß,
Palonina
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:31 Di 06.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Palonina!
Beim Lesen Deiner Fragestellung drängte sich mir ebenfalls der Verdacht eines Druckfehlers auf.
Hast Du denn nicht (mehr) die Chance, entsprechend beim Prof / Übungsleiter nachzufragen?
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 04:01 Mi 07.01.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo Palonina,
> vielen Dank für deine Erklärung und bin wieder verblüfft,
> wie ihr den Ansatz findet. Damit habe ich oft Probleme und
> wenn das kein ÜZ zur Differenziation gewesen wäre, hätte
> ich ihn bestimmt nicht hier, sondern allgemein unter
> Analysis gepostet. Den Zusammenhang zum MWS hätte ich nie
> gesehen.
nach ein paar Übungsaufgaben wirst Du das sicher auch "im Kopf abgespeichert" haben:
Irgendwie liegt es generell nahe, sobald ein Differenzenquotient (oder auch Ableitungen, also Differentialquotienten) ins Spiel kommen, an den MWS zu denken. Manchmal auch an den 2en MWS.
Die Verblüffung schwindet, wenn man mit ein paar Übungsaufgaben selbst mal gesehen hat, wann das "naheliegend" ist. Manchmal ist es nicht so banal wie hier, sondern man erkennt erst nach einigen Zwischenschritten, dass man den MWS benutzen kann.
Also wie gesagt: Irgendwann wirst Du vll. sogar eher verblüfft sein, dass Du das an manchen Stellen früher nicht sofort gesehen hast  Übung macht den Meister
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:10 Mi 07.01.2009 | | Autor: | fred97 |
Merke:
bei der Differenz zweier Funktionswerte denke immer an den Mittelwertsatz.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Do 08.01.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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