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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:31 So 15.11.2009 | | Autor: | melisa1 |
| Aufgabe | Zeigen sie die Ungleichung
[mm] \wurzel{ab}\le\bruch{1}{2}(a+b) [/mm] für a,b [mm] \ge0
[/mm]
wobei Gleicheit nur für a=b gilt.
Hinweis Betrachten Sie [mm] x:=\bruch{a}{\wurzel{ab}} [/mm] |
Hallo;
muss ich hier mit der Bernoilli Ungleichung arbeiten?
Lg Melisa
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Hallo,
quadriere die Ungleichung und denke dann an die binomische Formeln. Wir wissen ja [mm] $(a-b)^2 \ge [/mm] 0$ für alle a,b.
Gruß Patrick
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:06 So 15.11.2009 | | Autor: | melisa1 |
Hallo;
$ [mm] \wurzel{ab}\le\bruch{1}{2}(a+b) [/mm] $ \ *2
[mm] \gdw 2\wurzel{ab}\le [/mm] a+b \ [mm] ()^2
[/mm]
[mm] \gdw 4ab\le (a+b)^2 [/mm]
[mm] \gdw [/mm] 4a*b [mm] \le a^2+2ab+b^2 [/mm] \ auf beiden Seiten 4a*b abziehen
[mm] \gdw 0\le a^2-2ab+b^2
[/mm]
[mm] \gdw 0\le (a-b)^2
[/mm]
da die letzte Ungleichung offentsichtlich allgemeingültig ist, ist auch die erste äquivalente Gleichung allgemeingültig
stimmt das so und reicht das so aus?
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Prinzipiell ist alles richtig.
Schöner ist es, wenn du das ganze von unten nach oben anfängt, also
[mm] $(a-b)^2\ge [/mm] 0 [mm] \Rightarrow [/mm] ... [mm] \Rightarrow [/mm] ... [mm] \Rightarrow$ [/mm] Behauptung.
Mit Äuqivalenzpfeilen solltes du beim Quadrieren und Wurzelziehen vorsichtig sein. (Hier ist es ok, weil a,b [mm] \ge [/mm] 0)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:53 So 15.11.2009 | | Autor: | melisa1 |
Hallo;
meinst du:
[mm] (a-b)^2 \ge [/mm] 0 = [mm] 0\ge a^2-2ab+b^2 \Rightarrow 4ab\le a^2+2ab+b^2= 4ab\le (a+b)^2\Rightarrow 2\wurzel{ab}\le [/mm] a+b [mm] \Rightarrow \wurzel{ab}\le \bruch{1}{2}(a+b)
[/mm]
ich glaub es stimmt nicht so ganz was ich gemacht habe :S
Lg Melisa
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Hallo melisa1,
> [mm](a-b)^2 \ge[/mm] 0 = [mm]0\ge a^2-2ab+b^2 \Rightarrow 4ab\le a^2+2ab+b^2\red{\Rightarrow} 4ab\le (a+b)^2\Rightarrow 2\wurzel{ab}\le[/mm]
> a+b [mm]\Rightarrow \wurzel{ab}\le \bruch{1}{2}(a+b)[/mm]
das ist so okay, nur an einer Stelle hätte ein Folgepfeil stehen müssen, aber das ist sicher nur ein Tippfehler.
Eventuell solltest du noch etwas genauer den Schritt
[mm] $4ab\le (a+b)^2\Rightarrow 2\wurzel{ab}\le [/mm] a+b$
begründen; also einfach hinschreiben, dass man hier die Wurzel ziehen darf und damit die rechte Ungleichung wirklich aus der linken folgt, weil beide Seiten größer gleich 0 sind (warum sind sie das ?).
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:34 So 15.11.2009 | | Autor: | melisa1 |
Hallo;
> begründen; also einfach hinschreiben, dass man hier die
> Wurzel ziehen darf und damit die rechte Ungleichung
> wirklich aus der linken folgt, weil beide Seiten größer
> gleich 0 sind (warum sind sie das ?).
>
weil [mm] a,b\ge [/mm] 0 sind?
Lg Melisa
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:35 So 15.11.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Melisa!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Genau.
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:12 Mo 16.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen sie die Ungleichung
>
> [mm]\wurzel{ab}\le\bruch{1}{2}(a+b)[/mm] für a,b [mm]\ge0[/mm]
>
> wobei Gleicheit nur für a=b gilt.
>
> Hinweis Betrachten Sie [mm]x:=\bruch{a}{\wurzel{ab}}[/mm]
> Hallo;
>
> muss ich hier mit der Bernoilli Ungleichung arbeiten?
>
>
> Lg Melisa
Quadrieren ist nicht nötig:
[mm]\wurzel{ab}\le\bruch{1}{2}(a+b)[/mm] [mm] \gdw (\wurzel{a}-\wurzel{b})^2 \ge [/mm] 0
FRED
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