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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:19 Do 25.08.2011 | | Autor: | Keywey |
| Aufgabe | | Löse die Ungleichung (x-1)*(x-2)*(x-3)>0 |
Guten Tag!
Ist schon eine Weile her mit der Schulmathematik, bzw. mit dem Lösen von Ungleichungen!
Wie gehe ich hierbei genau vor?
Ich hatte den Ansatz zu sagen, dass die Ungleichung erfüllt wird, wenn alle Faktoren positiv sind.
Das wäre bei x>3 der Fall!
Dann habe ich das festgehalten und gesagt, dass nun die verbleibenden Faktoren entweder beide positiv (oben schon enthalten) oder beide negativ sein müssen.
Also (x-1)*(x-2)<0 [mm] \wedge [/mm] x>3
Ich habe mir den Graphen zeichnen lassen und so die Lösung gesehen. Komme aber nicht drauf...
Wäre nett, wenn mir jemand kurz helfen könnte!
Grüße
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Hallo Keywey,
> Löse die Ungleichung (x-1)*(x-2)*(x-3)>0
> Guten Tag!
> Ist schon eine Weile her mit der Schulmathematik, bzw. mit
> dem Lösen von Ungleichungen!
> Wie gehe ich hierbei genau vor?
>
> Ich hatte den Ansatz zu sagen, dass die Ungleichung
> erfüllt wird, wenn alle Faktoren positiv sind.
Ja, aber nicht nur dann!
> Das wäre bei x>3 der Fall! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Dann habe ich das festgehalten und gesagt, dass nun die
> verbleibenden Faktoren entweder beide positiv (oben schon
> enthalten) oder beide negativ sein müssen.
> Also (x-1)*(x-2)<0 [mm]\wedge[/mm] x>3
Da muss doch [mm]\red{>}[/mm] stehen, ein Produkt zweier negativer Faktoren ist positiv!
Du hast die richtige Idee.
Neben der Möglichkeit, dass alle 3 Faktoren positiv sind, gibt's die Möglichkeit, dass einer positiv und die anderen beiden negativ sind.
Spiele alle Möglichkeiten durch:
zB. 1.Faktor positiv, 2. und 3. Faktor negativ, dh.
[mm]x>1\wedge x<2\wedge x<3[/mm]
Ist diese Konstellation möglich?
[mm]x[/mm] gleichzeitig größer als 1 und kleiner als 2 und kleiner als 3?
Ja, aus welchem Intervall muss x sein?
Welche Möglicheiten gibt es noch dafür, dass ein Faktor positiv und die beiden anderen negativ sind?
>
> Ich habe mir den Graphen zeichnen lassen und so die Lösung
> gesehen. Komme aber nicht drauf...
> Wäre nett, wenn mir jemand kurz helfen könnte!
> Grüße
Gruß
schachuzipus
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> Löse die Ungleichung (x-1)*(x-2)*(x-3)>0
> Guten Tag!
> Ist schon eine Weile her mit der Schulmathematik, bzw. mit
> dem Lösen von Ungleichungen!
> Wie gehe ich hierbei genau vor?
>
> Ich hatte den Ansatz zu sagen, dass die Ungleichung
> erfüllt wird, wenn alle Faktoren positiv sind.
> Das wäre bei x>3 der Fall!
> Dann habe ich das festgehalten und gesagt, dass nun die
> verbleibenden Faktoren entweder beide positiv (oben schon
> enthalten) oder beide negativ sein müssen.
> Also (x-1)*(x-2)<0 [mm]\wedge[/mm] x>3
>
> Ich habe mir den Graphen zeichnen lassen und so die Lösung
> gesehen. Komme aber nicht drauf...
> Wäre nett, wenn mir jemand kurz helfen könnte!
> Grüße
Hallo Keywey,
die Idee mit dem Graph scheint mir gut. Ich hätte die
Ungleichung direkt ausgehend von der Idee gelöst, dass
man den Graph von $\ [mm] f:x\mapsto [/mm] (x-1)*(x-2)*(x-3)$ betrachten kann
und dann praktisch ohne Rechnung zur Lösung kommen
kann. Dabei ist aber wichtig, dass man nicht einfach
ein Plotprogramm hernimmt und dann das Bildchen
anguckt. Man kann aber leicht eine rudimentäre Kurven-
diskussion (ohne Ableitungen !) vornehmen, die alles
Wichtige zeigt:
1.) f ist auf ganz [mm] \IR [/mm] definiert und stetig
2.) f hat die 3 Nullstellen 1, 2 und 3 und keine weiteren
3.) aus 1.) und 2.) folgt, dass f nur an den 3 Nullstellen
das Vorzeichen wechseln kann
4.) man kann auch leicht zeigen, dass f an diesen 3
Stellen das Vorzeichen wechseln muss
5.) Aus [mm] \limes_{x\to\infty}f(x)=+\infty [/mm] folgt in Verbindung mit den vorange-
henden Überlegungen, dass f(x)>0 für x>3
6.) Die übrigen Intervalle erhalten nun abwechselnde
Minus- und Pluszeichen für die Werte von f(x)
LG Al-Chw.
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