Ungleichung Beweisen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:18 Di 10.10.2006 | | Autor: | Vertex |
| Aufgabe | Zeige, dass für alle n [mm] \in \IN [/mm] gilt:
[mm] \summe_{k=1}^{n}k^{p}>\bruch{n^{p+1}}{p+1} [/mm] für alle p [mm] \in \IN [/mm] |
Hallo zusammen,
obige Aufgabe gilt es zu lösen. Es wurde nahegelegt die Vollständige Induktion zu nutzen.
Meine bisherigen Verusche:
Induktionsanfang mit n=1
[mm] \summe_{k=1}^{1}k^{p}=1^{p}=1>\bruch{1}{p+1}=\bruch{1^{p+1}}{p+1}
[/mm]
Induktionsschritt von n=1 auf n+1, es gelte die Induktionsannahme: [mm] \summe_{k=1}^{n}k^{p}>\bruch{n^{p+1}}{p+1}
[/mm]
[mm] \summe_{k=1}^{n+1}k^{p}=\summe_{k=1}^{n}k^{p}+(n+1)^{p}>\bruch{n^{p+1}}{p+1}+(n+1)^{p}
[/mm]
Wenn ich jetzt zeigen kann das
[mm] \bruch{n^{p+1}}{p+1}+(n+1)^{p}>\bruch{(n+1)^{p+1}}{p+1} [/mm] ,
dann gilt wegen a>b und b>c [mm] \Rightarrow [/mm] a>c
bzw. in unserem Fall
[mm] \summe_{k=1}^{n+1}k^{p}>\bruch{n^{p+1}}{p+1}+(n+1)^{p}>\bruch{(n+1)^{p+1}}{p+1} [/mm]
Damit wäre die Induktion abgeschlossen.
Leider laufen meine sämtlichen Versuche zu zeigen das
[mm] \bruch{n^{p+1}}{p+1}+(n+1)^{p}>\bruch{(n+1)^{p+1}}{p+1}
[/mm]
ins Leere.
Ein Hinweis in die richtige Richtung wäre toll.
Vielen Dank, Gruß,
Vertex
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:03 Di 10.10.2006 | | Autor: | M.Rex |
> Zeige, dass für alle n [mm]\in \IN[/mm] gilt:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n}k^{p}>\bruch{n^{p+1}}{p+1}[/mm] für alle p [mm]\in \IN[/mm]
>
> Hallo zusammen,
>
> obige Aufgabe gilt es zu lösen. Es wurde nahegelegt die
> Vollständige Induktion zu nutzen.
>
> Meine bisherigen Verusche:
> Induktionsanfang mit n=1
>
> [mm]\summe_{k=1}^{1}k^{p}=1^{p}=1>\bruch{1}{p+1}=\bruch{1^{p+1}}{p+1}[/mm]
>
> Induktionsschritt von n=1 auf n+1, es gelte die
> Induktionsannahme:
> [mm]\summe_{k=1}^{n}k^{p}>\bruch{n^{p+1}}{p+1}[/mm]
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n+1}k^{p}=\summe_{k=1}^{n}k^{p}+(n+1)^{p}>\bruch{n^{p+1}}{p+1}+(n+1)^{p}[/mm]
>
> Wenn ich jetzt zeigen kann das
>
> [mm]\bruch{n^{p+1}}{p+1}+(n+1)^{p}>\bruch{(n+1)^{p+1}}{p+1}[/mm] ,
>
> dann gilt wegen a>b und b>c [mm]\Rightarrow[/mm] a>c
> bzw. in unserem Fall
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n+1}k^{p}>\bruch{n^{p+1}}{p+1}+(n+1)^{p}>\bruch{(n+1)^{p+1}}{p+1}[/mm]
> Damit wäre die Induktion abgeschlossen.
>
> Leider laufen meine sämtlichen Versuche zu zeigen das
>
> [mm]\bruch{n^{p+1}}{p+1}+(n+1)^{p}>\bruch{(n+1)^{p+1}}{p+1}[/mm]
>
> ins Leere.
> Ein Hinweis in die richtige Richtung wäre toll.
> Vielen Dank, Gruß,
> Vertex
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
Hallo
Du willst zeigen, dass
[mm] \bruch{n^{p+1}}{p+1}+(n+1)^{p}>\bruch{(n+1)^{p+1}}{p+1}
[/mm]
Also:
[mm] \bruch{n^{p+1}}{p+1}+(n+1)^{p}>\bruch{(n+1)^{p+1}}{p+1}
[/mm]
[mm] \gdw (n+1)^{p}>\bruch{(n+1)^{p+1}-n^{p+1}}{p+1}>(n+1)^{p+1}-n^{p+1}
[/mm]
[mm] \gdw (n+1)^{p}>(n+1)^{p+1}-n^{p+1}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{n+1^{p}}{(n+1)^{p+1}}>1-\bruch{n^{p+1}}{(n-1)^{p+1}}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{1}{n+1}>1-(\bruch{n}{n+1})^{p+1}
[/mm]
Sorry,ich dachte, ich hätte eine Lösung, aber ich merke gerade, dass sie nicht passt.Ich lasse den Ansatz aber mal stehen, evtl. hilft er weiter.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:21 Di 10.10.2006 | | Autor: | Vertex |
Danke erstmal für deine Mühe Marius.
Ich glaube der Fehler in deiner Rechnung liegt bei
>
> [mm]\gdw (n+1)^{p}>\bruch{(n+1)^{p+1}-n^{p+1}}{p+1}>(n+1)^{p+1}-n^{p+1}[/mm]
>
[mm] \bruch{(n+1)^{p+1}-n^{p+1}}{p+1}>(n+1)^{p+1}-n^{p+1} [/mm] kann ja mit p [mm] \in \IN [/mm] und somit [mm] p+1>p\ge1 [/mm] nicht sein.
Ich habe auch schon einen Haufen Versuche gestartet. Sie alle hier darzustellen würde den Zeitrahmen sprengen aber zwei Ausdrücke die ich so gefunden habe auf meinen "Reisen" sind:
[mm] n-n(\bruch{n}{n+1})^{p}
oder
[mm] (\bruch{n+1}{p+1})^{p+1}-(\bruch{n+1}{p+1})^{p}<(\bruch{n}{p+1})^{p+1}
[/mm]
Leider gelingt es mir bei keinem dieser Ausdrücke irgendwei weiterzumachen.
Gruss,
Vertex
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:17 Mi 11.10.2006 | | Autor: | Sashman |
Moin Vertex!
nach Binomialentwicklung ist:
[mm] $(1+n)^p=1+\vektor{p\\1}n+\vektor{p\\2}n^2+\dots+\vektor{p\\p}n^p$\\
[/mm]
schauen wir dann mal was mit den Binomialkoeffizienten passiert wenn man sie mit (p+1) multipliziert:
[mm] $(p+1)\vektor{p\\1}=\frac{p!(p+1)}{1!(p-1)!}=\frac{(p+1)!}{1!(p-1)!}\ge\frac{(p+1)!}{1!p!}=\vektor{p+1\\1}$
[/mm]
[mm] $(p+1)\vektor{p\\2}=\frac{(p+1)!}{2!(p-2)!}\ge\frac{(p+1)!}{2!(p-1)!}=\vektor{p+1\\2}$
[/mm]
usw.
[mm] $(p+1)\vektor{p\\p}\ge\vektor{(p+1)\\p}$
[/mm]
dann ist:
[mm] (p+1)(n+1)^p&=&p+1+(p+1)\vektor{p\\1}n+(p+1)\vektor{p\\2}n^2+\dots+(p+1)\vektor{p\\p}n^p\ge p+1+\vektor{p+1\\1}n+\vektor{p+1\\2}n^2+\dots+\vektor{p+1\\p}n^p
[/mm]
also nun mit [mm] n^{p+1}=\vektor{p+1\\p+1}n^{p+1}
[/mm]
[mm] \sum_{k=1}^{n+1}k^p>\frac{n^{p+1}}{p+1}+(n+1)^p\ge\frac{p+1+\vektor{p+1\\1}n+\dots+\vektor{p+1\\p}n^p+\vektor{p+1\\p+1}n^{p+1}}{p+1}=\frac{p+(n+1)^{p+1}}{p+1}\ge\frac{(n+1)^{p+1}}{p+1}
[/mm]
ich hoffe das stimmt so und es ist nachvollziehbar
Gruß Sashman
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:18 Fr 13.10.2006 | | Autor: | Vertex |
Großartig Sashman!
Genau das ist es.
Nachdem ich zunächst skeptisch war, hat ein Tipp meines Profs. jedoch in genau diese Richtugn gedeutet.
Perfekte Lösung!
Vielen Dank, Gruß,
Vertex
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