Ungleichung Beweisen < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:14 So 27.11.2011 | | Autor: | Jack159 |
| Aufgabe | http://www.matheboard.de/attachment.php?attachmentid=22107
Frage wurde hier auch gestellt
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=474988 |
Hallo,
Die Aufgabe befindet sich im Anhang.
(Das ist meine erste Beweis-Aufgabe überhaupt).
Es sei:
a/b < c/d
Man zeige:
a/b < (a+c)/(b+d) < c/d
Wie geht man sowas an?
Mein erster Gedanke wäre die Ungleichungsregel:
a<b <=> a+c < a+b
Aber nur buchstabenmäßig komm ich nicht weiter.
Würde ein Beispiel als Beweis ausreichen? Zum Beispiel:
1/2 < 2/3
1/2 < (1+2)/(2+3) < 2/3
Dies wäre ja erfüllt. Aber dies wäre warscheinlich kein richtiger Beweis, oder?
Edit:
Habe vom anderem Forum als Tipp bekommen "Multipliziere aus. Verwende das Distributivgesetz.".
Linke Ungleichung:
a/b < c/d
Ausmultiplizieren:
a/b < c/d l*b *d
a*d < c*b
Distributivgesetz:
a*(b+c) = a*b+a*c
Ich weiß nicht, wie/wo ich das Distributivgesetz nach dem Ausmultiplizieren der linken Ungleichung verwenden soll
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:48 So 27.11.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> http://www.matheboard.de/attachment.php?attachmentid=22107
>
>
> Frage wurde hier auch gestellt
> http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=474988
> Hallo,
>
> Die Aufgabe befindet sich im Anhang.
> (Das ist meine erste Beweis-Aufgabe überhaupt).
Dann kann deine Profilangabe "Mathe-Lehrer Sek2" wohl kaum stimmen.
>
> Es sei:
> a/b < c/d
>
> Man zeige:
> a/b < (a+c)/(b+d) < c/d
>
>
> Wie geht man sowas an?
> Mein erster Gedanke wäre die Ungleichungsregel:
> a<b <=> a+c < a+b
>
> Aber nur buchstabenmäßig komm ich nicht weiter.
Da wirst du aber nicht drumherunkommen
> Würde ein Beispiel als Beweis ausreichen? Zum Beispiel:
> 1/2 < 2/3
> 1/2 < (1+2)/(2+3) < 2/3
> Dies wäre ja erfüllt. Aber dies wäre warscheinlich kein
> richtiger Beweis, oder?
Richtig, nur Aussagen widerlegen kannst du mit einem Gegenbeispiel.
>
> Edit:
> Habe vom anderem Forum als Tipp bekommen "Multipliziere
> aus. Verwende das Distributivgesetz.".
>
> Linke Ungleichung:
> a/b < c/d
>
> Ausmultiplizieren:
> a/b < c/d l*b *d
> a*d < c*b
>
>
> Distributivgesetz:
> a*(b+c) = a*b+a*c
>
> Ich weiß nicht, wie/wo ich das Distributivgesetz nach dem
> Ausmultiplizieren der linken Ungleichung verwenden soll
Es gilt:
[mm] \frac{a+c}{b+d}=\frac{a}{b+d}+\frac{c}{b+d}=\frac{1}{b+d}(a+c)
[/mm]
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:07 So 27.11.2011 | | Autor: | Jack159 |
Hallo,
Habe mein Profil jetzt mal auf Richtigkeit geändert ;)
Ich weiß absolut nicht, wie ich von
a/b < c/d
auf
a/b < (a+c)/(b+d) < c/d
kommen soll...
Auch dein Tipp bringt mich leider nicht weiter.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:26 So 27.11.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Hallo,
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> Habe mein Profil jetzt mal auf Richtigkeit geändert ;)
Besser ist  Dann bekommst du passendere Antworten.
>
> Ich weiß absolut nicht, wie ich von
> a/b < c/d
> auf
> a/b < (a+c)/(b+d) < c/d
> kommen soll...
> Auch dein Tipp bringt mich leider nicht weiter.
Es gilt:
[mm] \frac{a}{b}<\frac{c}{d}
[/mm]
Da b,d>0:
[mm] \frac{a}{b}<\frac{c}{d}
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow\frac{a}{b+d}<\frac{c}{d+b}
[/mm]
Also gilt schonmal a<c.
Versuche damit erstmal weiteruzukommen.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:41 So 27.11.2011 | | Autor: | Jack159 |
Danke für deine Tipps, aber ich hab echt keine ahnung....
Sorry...
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> Linke Ungleichung:
> a/b < c/d
> Ausmultiplizieren:
> a/b < c/d l*b *d
> a*d < c*b
Addiere beide Seiten mit a*b.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:05 So 27.11.2011 | | Autor: | Jack159 |
a*d < c*b
a*d+a*b < c*b+a*b
a*(b+d) < b*(a+c)
(b+d)/b < (a+c)/a
Weiter weiß ich nicht...
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> a*d < c*b
> a*d+a*b < c*b+a*b
> a*(b+d) < b*(a+c)
Jetzt
durch (b+d) und durch b teilen.
Das folgende ist falsch
> (b+d)/b < (a+c)/a
du darfst nicht durch a teilen, da sich eventuell die Relation ändern könnte. Nur b und d sind positiv.
>
> Weiter weiß ich nicht...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:54 So 27.11.2011 | | Autor: | Jack159 |
Dann haben wir dort stehen:
a/b < (a+c)/(b+d)
Fehlt noch das
< c/d
Wäre ich niemals drauf gekommen...
Wieso haben wir eigentlich beide Seiten mit a*b addiert? Wie kamst du darauf?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:33 So 27.11.2011 | | Autor: | abakus |
ad=bc
> Dann haben wir dort stehen:
> a/b < (a+c)/(b+d)
>
> Fehlt noch das
> < c/d
>
> Wäre ich niemals drauf gekommen...
> Wieso haben wir eigentlich beide Seiten mit a*b addiert?
> Wie kamst du darauf?
Hallo,
hier hat man auf etwas unglückliche Art versucht, dich schnell zu einer Lösung zu schieben.
Machen wir es mal anders herum. Du weißt zwar sicher, dass man einen Beweis nicht mit der Behauptung beginnt, aber wir tun es mal, um einen Weg von der Voraussetzung zur Behauptung zu finden.
Die (noch zu beweisende) Teilungleichung [mm]\bruch{a}{b}<\bruch{a+c}{b+d}[/mm] lässt sich durch beidseitige Multiplikation mit den Nennern b und (b+d) -die beide positiv sind- umformen zu
a(b+d)<b(a+c)
bzw.
ab+ad=ba+bc.
Der Summand a*b ist auf beiden Seiten vorhanden und kann wegsubtrahiert werden:
ad=bc.
Jetzt schielen wir mal zur gegebenen Verhältnisgleichung [mm]\bruch{a}{b}<\bruch{c}{d}[/mm] und stellen fest, dass wir sie aus ad=bc erhalten, wenn wir auf beiden Seiten durch bd teilen.
Somit haben wir einen Weg vom ersten Teil der Behauptung zur Voraussetzung gefunden. Diesen Weg kehren wir jetzt um.
Aus [mm]\bruch{a}{b}<\bruch{c}{d}[/mm] folg durch Multiplikation mit bd
ad<bc
Das vorhin wegsubtrahierte a*b fügen wir hinzu:
ad+ab<bc+ab
und Klammern gemeinsame Faktoren aus:
a(b+d)<b(a+c)
Division durch b und (b+d) führt zu
[mm]\bruch{a}{b}<\bruch{a+c}{b+d}[/mm]
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:44 So 27.11.2011 | | Autor: | Jack159 |
Ahh ok jetzt ist es klar ;)
Das ganze kann man dann natürlich auch mit:
(a+c)/(b+d) < c/d
machen.
Danke euch allen vielmals :)
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