Ungleichung Zeigen? - Cauchy < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei q element R mit 0<q<1. Weiter sei (an)n>=0 eine Folge mit
|an+1-an| <= q* |an-an-1| für n >= 1
Zeigen Sie:
[mm] a,|a_{n+1} -a_{n}|<=q^n|a_{1} [/mm] - [mm] a_{0}| [/mm] für n>=0
b, [mm] |a_{m}-a_{n}| [/mm] <= [mm] \bruch{1}{1-q} |a_{n+1} [/mm] - [mm] a_{n}| [/mm] für m>= n+1
c, die Folge (a(n)) ist eine Cauchy-Folge |
Na gut ich hab versucht an diese aufgabe mit mehreren möglichkeiten heranzugehen aber ehrlich gesagt ist mir die aufgabenstellung nicht 100%tig klar??
Wir haben gerade FOlgen und Cauchy Folgen durchgenommen und wie man diese auf Konvergenz untersucht.
Aber hier muss man anscheinend mirhilfe der gegebenen Folge auf die a und b schließen und dann zeigen dass (an) eine Cauchy folge ist.
Gut hab mir langsam aus verweiflung schon meherer aus der Luft gegeriffne ansätze überlegt - mit Induktion/dreiecksungelichun? mithilfe der Konvergenzeigenschaft?
Aber ich komm einfach auf keinen vernünftigen ansatz.
Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen :) - würde mich wirklich über jede kreative Idee freuen.
Mfg Mathe-Marta
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
so aus der "Luft gegriffen" sind Deine Ansätze nicht - Teil a) zeigst Du mit vollständiger Induktion; dann b).
Tip zu a): Ersetze in |an+1-an| <= q* |an-an-1| n durch n+1.
Mfg
zahlenspieler
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HI - vielen dank für die super schnelle antwort :) - aus der luft gegriffen insofern dass ich nicht auf die richtige lösung komme :/
also wenn ich bei a induktion ansätze und dies auch mit dem gegeben verifiziere ist mir klar dass:
die linke seite gleich ist - der Betrag der rechten seite für n = 1 auch gleich ist - und nur dass [mm] q^n [/mm] macht mir echte schweirigkeiten
es ist offensichtlich dass eine Zahl zwischen 0 und 1 quadriert immernoch in diesem bereich liegen muss - allerdings wie zeige/beweise ich dass sich dadurch meine ungliechung nicht verändert??
geg: mit ind: ... -> |an+2-an+1<= [mm] q^1|an+1-an| [/mm] - schön und gut - jetzt weiß ich dass der Betrag der rechten seite nach Annahme kleiner gleich q|an-an-1 ist - aber wie bau ich dass dann da ein? (hab ja keine folgenbildungsvorschrift an der ich a abschätzen kann?)
und wenn ich die ind bei a machen - ists für 0 erfüllt - und für n+1 ist ls gleich und rs: [mm] q^n+1|a1-a0| [/mm] - was sagt mir das jetzt - ich kenne eben a nicht also kann ich auch wenig über die differenz zwischen a1 und a0 aussagen? - und das [mm] q^n+1 [/mm] das macht mir auch kopfzerbrechen :>
Vielen dank schonmal an alle die sich das ganze bis hierher durchgelesen haben :D - nur ist eben schwierig andere auf den gleichen gedankengang zu führern den mal selbst hat und somit vllt die denkfehler zu finden
mit freundlichen Grüßen
mathe marta
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:58 Mo 06.11.2006 | | Autor: | Sashman |
Moin Mathe-mata!
> also wenn ich bei a induktion ansätze und dies auch mit dem
> gegeben verifiziere ist mir klar dass:
>
> die linke seite gleich ist - der Betrag der rechten seite
> für n = 1 auch gleich ist - und nur dass [mm]q^n[/mm] macht mir
> echte schweirigkeiten
>
> es ist offensichtlich dass eine Zahl zwischen 0 und 1
> quadriert immernoch in diesem bereich liegen muss -
> allerdings wie zeige/beweise ich dass sich dadurch meine
> ungliechung nicht verändert??
Versuch doch bitte dies in Gleichungen zu setzen, dann können wir leichter sehen wo das Problem liegt. Wir ham doch ne universelle Sprache, die wir hier alle lernen wollen.
zu der Aufgabe:
> geg: mit ind: ... -> |an+2-an+1<= [mm]q^1|an+1-an|[/mm] - schön und
> gut - jetzt weiß ich dass der Betrag der rechten seite nach
> Annahme kleiner gleich q|an-an-1 ist - aber wie bau ich
> dass dann da ein? (hab ja keine folgenbildungsvorschrift an
> der ich a abschätzen kann?)
Du hast die Definition deiner [mm] a_n [/mm] in der Aufgabenstellung:
Sei [mm] a_n [/mm] eine Folge in [mm] \IR. [/mm] und [mm] $q\in\IR$ [/mm] mit $0<q<1$. Weterhin gelte:
[mm] $|a_{n+1}-a_n|\le q*|a_n-a_{n-1}|$ [/mm] (Df)
was gilt den dann für [mm] $|a_{n+2}-a_{n+1}|$ [/mm] ??
[mm] \underline{Iduktionsvoraussetzung}
[/mm]
[mm] $|a_{n+1}-a_n|\le q^n*|a_1-a_0|$ [/mm] (IV)
[mm] \underline{Induktionsschritt}
[/mm]
[mm] $|a_{n+2}-a_{n+1}|\stackrel{(Df)}{\le}q*|a_{n+1}-a_n|\stackrel{(IV)}{<}q*q^n*|a_1-a_0|=q^{n+1}*|a_1-a_0|$
[/mm]
alles klar soweit?
> und wenn ich die ind bei a machen - ists für 0 erfüllt -
> und für n+1 ist ls gleich und rs: [mm]q^n+1|a1-a0|[/mm] - was sagt
> mir das jetzt - ich kenne eben a nicht also kann ich auch
> wenig über die differenz zwischen a1 und a0 aussagen? - und
> das [mm]q^n+1[/mm] das macht mir auch kopfzerbrechen :>
>
> Vielen dank schonmal an alle die sich das ganze bis hierher
> durchgelesen haben :D - nur ist eben schwierig andere auf
> den gleichen gedankengang zu führern den mal selbst hat und
> somit vllt die denkfehler zu finden
HUH jetz hab ich Knoten im Auge 
MfG
Sashman
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hii - super - ja die a hab ich jetzt auch vollkomen durchschaut - und heute vormittag auch soweit nachvollziehen können
wobei wie du die induktions vorraussetzung einsätzt das kleiner gleich stehen bleibt oder? - und nicht nur kleiner?(Tippfehler?)
die b und c sind jetzt noch etwas porblematisch
zu C: jede konvergierende Folge ist eine Cauchy Folge - d.h. beweis auf konvergenz def.: [mm] |a_{m} [/mm] - [mm] a_{n}| [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
gut davon hab ich in teilaufgabe b bereits die linke seite aber wie kann man jetzt beweisen dass es ein n gibt ab dem alle werte der Folge in der Epsilon umgebung liegen - hmm
also wir hätten für epsilon ja dann [mm] \bruch{1}{1-q} [/mm] * [mm] |a_{n+1} [/mm] - [mm] a_{n}|
[/mm]
und müssten somit was zeigen?
bei der b hab ich glaub ich schon einen sehr guten lösungsansatz indem man [mm] |a_{m}-a_{n}| [/mm] als Teleskopsumme schreibt und dann die geometrische summe mit [mm] \bruch{1}{1-q} [/mm] in relation setzt.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:56 Mo 06.11.2006 | | Autor: | Sashman |
Moin nochmal!
zu b)
sei $m=n+k$ $k>1$
dann ist [mm] $|a_m-a_n|=|a_{n+k}-a_n|$
[/mm]
nun ein par Nullen eingefügt:
[mm] $|a_{n+k}-a_n|=|a_{n+k}-a_{n+k-1}+a_{n+k-1}-a_{n+k-2}+\dots+a_{n+2}-a_{n+1}+a_{n+1}-a_n|$
[/mm]
und nun mit Dreieckungleichung
[mm] $|a_{n+k}-a_n|\le|a_{n+k}-a_{n+k-1}|+|a_{n+k-1}-a_{n+k-2}|+\dots+|a_{n+2}-a_{n+1}|+|a_{n+1}-a_n|$
[/mm]
nun wenden wir einmal die Definition an
[mm] $\le q*|a_{n+k-1}-a_{n+k-2}|+q*|a_{n+k-2}-a_{n+k-3}|+\dots+q*|a_{n+1}-a_n|+1*|a_{n+1}-a_{n}|$
[/mm]
mehrmaliges anwenden der Definition liefert dann.
[mm] $|a_m-a_n|\le q^{k-1}*|a_{n+1}-a_n|+q^{k-2}*|a_{n+1}-a_n|+\dots+q*|a_{n+1}-a_n|+1*|a_{n+1}-a_n|=\sum_{i=0}^{k-1}q^{i}*|a_{n+1}-a_n|\le \sum_{i=0}^{\infty}a^{i}*|a_{n+1}-a_n|=\frac{1}{1-q}*|a_{n+1}-a_n|$
[/mm]
schau dir dabei nochmal die geometrische reihe an
zu a) ja das warn Tippfehler
mfG Sashman
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WOW - vielen dank - so schnell eine soo ausführliche antwort - auf die a wär ich nach ellen langen überlegen wohl selber gekommen aber die b hm
kann man da draufkommen?? - naja vielleicht - aufjedenfall vielen dank soweit
werd mich wohl nochmal an die C setzten und eventuell nochmal fragen - da mir wohl auch hier die herangehensweise noch nicht ganz klar ist :/
wirklich jedoch nochmal vielen dank für die zeit ;)(v.a. an shashman ;))
hat mir sehr sehr geholfen
Mit freundlichen Grüßen
Mathe-mata
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Hallo - ich bins nochmal - da ich jetzt gestern schon die ganze zeit rumprobiert hab und heute wohl auch den tag mit der C verbringenwerde - wäre ich doch noch über eine hilfestellung/herangehensweise sehr froh :)
also wenn noch wem was zur aufgbae C einfällt bitte posten
dachte ja eigenltich die C sei die leichteste der 3 aber anscheinend doch nicht.
mit freundlichen grüßen
Mathe-mata
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:01 Mi 08.11.2006 | | Autor: | ullim |
Hi,
aus Aufgabe a und b kann man schließen, dass gilt
[mm] |a_n-a_m|\le\br{q^n}{1-q}|a_1-a_0| [/mm] für [mm] m\ge{n+1}
[/mm]
wähle [mm] n_0\ge log_q\br{\epsilon(1-q)}{|a_1-a_0|} [/mm] dann folgt für alle [mm] n\ge n_0
[/mm]
[mm] |a_n-a_m|\le\br{q^{n_0}}{1-q}|a_1-a_0|\le\br{\epsilon(1-q)}{|a_1-a_0|}\br{|a_1-a_0|}{1-q}=\epsilon
[/mm]
Also ist [mm] a_n [/mm] eine Cauchyfolge.
mfg ullim
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