Ungleichung beweisen < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Für welche n [mm] \in \IN_{0} [/mm] gilt folgende Ungleichung?
[mm] 3^n \ge [/mm] n * [mm] 2^n [/mm] |
Hallo,
durch Ausrechnen von Werten für n = 1,...,6, behaupte ich:
[mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN_{0} [/mm] gilt: [mm] 3^n \ge [/mm] n * [mm] 2^n
[/mm]
Induktionsanfang ist n = 0 und ist auch klar.
Induktionsvoraussetzung ist [mm] 3^n \ge [/mm] n * [mm] 2^n [/mm] für ein n [mm] \in \IN_{0}
[/mm]
Z.z.: [mm] 3^{n+1} \ge [/mm] (n+1) * [mm] 2^{n+1}
[/mm]
Induktionsschluss: n [mm] \to [/mm] n+1
[mm] 3^{n+1} [/mm] = 3 * [mm] 3^n \ge [/mm] 3 * n * [mm] 2^n \ge [/mm] 2 * n * [mm] 2^n [/mm] = n * [mm] 2^{n+1}
[/mm]
Nun brauche ich aber (n+1) * [mm] 2^{n+1}.
[/mm]
Wie bastel ich das am besten da rein?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:56 Mo 22.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Für welche n [mm]\in \IN_{0}[/mm] gilt folgende Ungleichung?
> [mm]3^n \ge[/mm] n * [mm]2^n[/mm]
nur mal so am Rande:
Man kann sich [mm] $f(x):=3^x-x*2^x$ [/mm] definieren und angucken - und wenn
man ein gewisses Wissen benutzen dürfte, sogar damit argumentieren
(Monotonie - etwa über Ableitung etc. pp.). Denn was man oben macht,
ist zu gucken, für welche $n [mm] \in \IN_0$ [/mm] eigentlich $f(n) [mm] \ge [/mm] 0$ gilt - das
wäre eine Umformulierung der Aufgabe!
> Hallo,
>
> durch Ausrechnen von Werten für n = 1,...,6, behaupte
> ich:
> [mm]\forall[/mm] n [mm]\in \IN_{0}[/mm] gilt: [mm]3^n \ge[/mm] n * [mm]2^n[/mm]
>
> Induktionsanfang ist n = 0 und ist auch klar.
>
> Induktionsvoraussetzung ist [mm]3^n \ge[/mm] n * [mm]2^n[/mm] für ein n [mm]\in \IN_{0}[/mm]
>
> Z.z.: [mm]3^{n+1} \ge[/mm] (n+1) * [mm]2^{n+1}[/mm]
>
> Induktionsschluss: n [mm]\to[/mm] n+1
>
> [mm]3^{n+1}[/mm] = 3 * [mm]3^n \ge[/mm] 3 * n * [mm]2^n \ge[/mm] 2 * n * [mm]2^n[/mm] = n *
> [mm]2^{n+1}[/mm]
>
> Nun brauche ich aber (n+1) * [mm]2^{n+1}.[/mm]
>
> Wie bastel ich das am besten da rein?
sowas zeigt meistens, dass man an einer Stelle zu grob abgeschätzt hat.
Probier's doch mal "andersherum":
Nach I.V. gilt $n [mm] 2^n \le 3^n\,.$ [/mm] Daher folgt
[mm] $$(n+1)*2^{n+1}=2\;n2^n+2^{n+1}\le 2*3^n+2^{n+1}$$
[/mm]
Wir wären fertig, wenn das ganz rechts stehende [mm] $\le 3^{n+1}$ [/mm] für alle
$n [mm] \in \IN_0$ [/mm] wäre. Dem ist aber nicht so - aber:
Es gilt
[mm] $$2*3^n+2^{n+1} \le 3^{n+1}$$
[/mm]
[mm] $$\gdw 2^{n+1} \le 3^n$$
[/mm]
Bekommst Du den Beweis so zu Ende geführt? (Am Ende könnte man durch
Äquivalenzumformungen das ganze auf eine gewisse Abschätzung [mm] $q^n \le [/mm] 1/2$
mit einem gewissen $0 < q < [mm] 1\,$ [/mm] zurückführen.)
Tipp:
Auch, wenn (mit dem "obigen" $0 < q < [mm] 1\,$ [/mm] nicht [mm] $q^n \le 1/2\,$ [/mm] für alle
$n [mm] \in \IN_0$ [/mm] gelten wird, es wird aber einem [mm] $n_0$ [/mm] gelten. Dann kann
man die Aussage beweisen, indem man für [mm] $0,...,n_0$ [/mm] einfach die
Ungleichung nachrechnet, und dann eine Induktion für alle $n [mm] \in \IN_0$
[/mm]
MIT $n [mm] \ge n_0$ [/mm] führt!
Gruß,
Marcel
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Mit deiner Hilfe, konnte ich hoffentlich den Beweis korrekt zu Ende führen. :D
IV: n * [mm] 2^n \le 3^n
[/mm]
Induktionsschluss: n [mm] \to [/mm] n+1
(n+1) * [mm] 2^{n+1} [/mm] = 2n * [mm] 2^n [/mm] + [mm] 2^{n+1} \le [/mm] 2 * [mm] 3^n [/mm] + [mm] 2^{n+1}
[/mm]
Behauptung: 2 * [mm] 3^n [/mm] + [mm] 2^{n+1} \le 3^{n+1} \gdw 2^{n+1} \le 3^n [/mm]
d.h. 2 * [mm] 3^n [/mm] + [mm] 2^{n+1} \le [/mm] 2 * [mm] 3^n [/mm] + [mm] 3^n [/mm] = 3 * [mm] 3^n [/mm] = [mm] 3^{n+1}
[/mm]
für n [mm] \ge [/mm] 2
Induktionsanfang: n = 2 ist wahr.
Induktionsvoraussetzung: [mm] 2^{n+1} \le 3^n
[/mm]
Induktionsschluss: n [mm] \to [/mm] n+1
[mm] 2^{n+2} [/mm] = 2 * [mm] 2^{n+1} \le [/mm] 2 * [mm] 3^n \le [/mm] 3 * [mm] 3^n [/mm] = [mm] 3^{n+1}
[/mm]
Also: [mm] 2^{n+2} \le 3^{n+1} [/mm] für n [mm] \ge [/mm] 2.
Es folgt: 2 * [mm] 3^n [/mm] + [mm] 2^{n+1} \le 3^{n+1} [/mm] für n [mm] \ge [/mm] 2
Für n = 0 und n = 1 (nachgerechnet), stimmt (n+1) * [mm] 2^{n+1} \le 3^{n+1} [/mm] auch.
Also gilt: n * [mm] 2^n \le 3^n [/mm] für alle n [mm] \in \IN_0
[/mm]
[mm] \Box
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:10 Mo 22.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Mit deiner Hilfe, konnte ich hoffentlich den Beweis korrekt
> zu Ende führen. :D
na, irgendwo fehlt aber noch der Anfang. Etwa: Von Hand nachgerechnet
wurde, dass die Ungleichung für [mm] $n=0\,$ [/mm] und [mm] $n=1\,$ [/mm] gilt. (Einfach
vorrechnen, dass das stimmt!) Ich würde hier auch sogar schon einfach [mm] $n=2\,$ [/mm] mitnehmen. Denn dann können wir behaupten: Weiter gilt die
Ungleichung auch für alle natürlichen $n [mm] \ge 2\,.$ [/mm] Anstatt mit dem
Induktionsschritt solltest Du auch mit dem I.A. starten, und hier würde man
dann etwa sagen: I.A.: Dass die Behauptung für [mm] $n=2\,$ [/mm] stimmt, wurde
bereits vorgerechnet. Also gehen wir direkt über in den Induktionsschritt:
> IV: n * [mm]2^n \le 3^n[/mm]
>
> Induktionsschluss: n [mm]\to[/mm] n+1
>
> (n+1) * [mm]2^{n+1}[/mm] = 2n * [mm]2^n[/mm] + [mm]2^{n+1} \le[/mm] 2 * [mm]3^n[/mm] + [mm]2^{n+1}[/mm]
>
> Behauptung: 2 * [mm]3^n[/mm] + [mm]2^{n+1} \le 3^{n+1}[/mm]
![[stop]](/images/smileys/stop.gif "[stop]") Hier schreibt man erstmal, was man nun behauptet. Außerdem wäre
der Hinweis: "Man beachte $n [mm] \in \IN_0$ [/mm] und $n [mm] \ge [/mm] 2$" sinnvoll!
Jetzt kommt der Beweis dieser (Zusatz-)Behauptung (die ja für alle nat.
$n [mm] \ge [/mm] 2$ gelten soll):
Es gilt
> 2 * [mm]3^n[/mm] + [mm]2^{n+1} \le 3^{n+1}
\gdw 2^{n+1} \le 3^n[/mm]
> d.h.
die Behauptung folgt, wenn wir zeigen:
(das formuliere ich mal in Deinem Sinne neu): Für alle natürlichen $n [mm] \ge [/mm] 2$ ist [mm] $2^{n+1} \le 3^n\,.$ [/mm] Dies beweisen wir wieder per Induktion:
>
> Induktionsanfang: n = 2 ist wahr.
Na sinnvoller als "n=2 ist wahr" (was heißen würde, dass die Gleichung
[mm] $n=2\,$ [/mm] gültig ist), ist es, zu schreiben, dass die Behauptung für [mm] $n=2\,$
[/mm]
wahr ist!
>
> Induktionsvoraussetzung: [mm]2^{n+1} \le 3^n[/mm]
>
> Induktionsschluss: n [mm]\to[/mm] n+1
>
> [mm]2^{n+2}[/mm] = 2 * [mm]2^{n+1} \le[/mm] 2 * [mm]3^n \le[/mm] 3 * [mm]3^n[/mm] = [mm]3^{n+1}[/mm]
> Also: [mm]2^{n+2} \le 3^{n+1}[/mm] für n [mm]\ge[/mm] 2.
>
> Es folgt: 2 * [mm]3^n[/mm] + [mm]2^{n+1} \le 3^{n+1}[/mm] für n [mm]\ge[/mm] 2
----
> Für n = 0 und n = 1 (nachgerechnet), stimmt (n+1) *
> [mm]2^{n+1} \le 3^{n+1}[/mm] auch.
----
Wie gesagt: Ich hätte es anders strukturiert!
> Also gilt: n * [mm]2^n \le 3^n[/mm] für alle n [mm]\in \IN_0[/mm]
>
> [mm]\Box[/mm]
Ansonsten ist das aber okay - Du solltest aber versuchen, das ganze ein
wenig geordneter aufzuschreiben.
Aber Du hast es Dir ein wenig umständlich gemacht (was aber nichts
macht, zu Studienbeginn hatte ich auch mal einen Induktionsbeweis in
drei einzelne zerlegt und - ich glaube, es war eine sie - die Korrekteurin
hatte dann doch nicht so wirklich Lust, die drei Seiten detailliert zu
kontrollieren. 
( Da war übrigens alles korrekt, sie hat also richtig bewertet! )
Was brauchten wir denn noch? Naja, doch nur ein Argument, warum
[mm] $$2^{n+1} \le 3^n$$
[/mm]
für alle natürlichen $n [mm] \ge [/mm] 2$ gilt.
Man kann sich leicht überlegen, dass aus $0 < q < 1$ folgt
[mm] $q^{n+1} [/mm] < [mm] q^{n}$ [/mm] für alle [mm] $n\,.$ [/mm] (Berechne einfach mal [mm] $q^{n+1}/q^n\,$ [/mm] unter Beachtung von $q > [mm] 0\,.$)
[/mm]
Nun gilt
[mm] $$2^{n+1} \le 3^n$$
[/mm]
[mm] $$\gdw 2*\left(\frac{2}{3}\right)^n \le [/mm] 1$$
[mm] $$\gdw \left(\frac{2}{3}\right)^n \le 1/2\,.$$
[/mm]
Weil für $n=2$ nun aber
[mm] $$\left(\frac{2}{3}\right)^n=\left(\frac{2}{3}\right)^2=\frac [/mm] 4 9 [mm] \le [/mm] 1/2$$
ist, folgt...
(P.S.: Das wir hier das "minimale" [mm] $n\,$ [/mm] genommen haben, liegt nur an
unserer Aufschreibfaulheit. Wir hätten ja auch den Induktionsbeweis für
$n [mm] \ge [/mm] 10$ führen und für die ersten $n=0,...,10$ die Behauptung
nachrechnen können. Und wichtig ist: Wir haben am Ende eine wahre
Aussage stehen, und durch Lesen der obigen Umformungen von unten
nach oben - weil wir die [mm] $\Leftarrow$'s [/mm] dort stehen haben - folgt dann
insgesamt die Behauptung! Denn natürlich hätte man auch
[mm] $2^{n+1} \le 3^n$ [/mm] für alle natürlichen $n [mm] \ge [/mm] 10$ behaupten und
nachrechnen können... .)
Gruß,
Marcel
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> Hallo,
>
> > Mit deiner Hilfe, konnte ich hoffentlich den Beweis korrekt
> > zu Ende führen. :D
>
> na, irgendwo fehlt aber noch der Anfang. Etwa: Von Hand
> nachgerechnet
> wurde, dass die Ungleichung für [mm]n=0\,[/mm] und [mm]n=1\,[/mm] gilt.
> (Einfach
> vorrechnen, dass das stimmt!) Ich würde hier auch sogar
> schon einfach [mm]n=2\,[/mm] mitnehmen. Denn dann können wir
> behaupten: Weiter gilt die
> Ungleichung auch für alle natürlichen [mm]n \ge 2\,.[/mm] Anstatt
> mit dem
> Induktionsschritt solltest Du auch mit dem I.A. starten,
> und hier würde man
> dann etwa sagen: I.A.: Dass die Behauptung für [mm]n=2\,[/mm]
> stimmt, wurde
> bereits vorgerechnet. Also gehen wir direkt über in den
> Induktionsschritt:
>
> > IV: n * [mm]2^n \le 3^n[/mm]
> >
> > Induktionsschluss: n [mm]\to[/mm] n+1
> >
> > (n+1) * [mm]2^{n+1}[/mm] = 2n * [mm]2^n[/mm] + [mm]2^{n+1} \le[/mm] 2 * [mm]3^n[/mm] + [mm]2^{n+1}[/mm]
> >
> > Behauptung: 2 * [mm]3^n[/mm] + [mm]2^{n+1} \le 3^{n+1}[/mm]
>
> Hier schreibt man erstmal, was man nun behauptet.
> Außerdem wäre
> der Hinweis: "Man beachte [mm]n \in \IN_0[/mm] und [mm]n \ge 2[/mm]"
> sinnvoll!
>
> Jetzt kommt der Beweis dieser (Zusatz-)Behauptung (die ja
> für alle nat.
> [mm]n \ge 2[/mm] gelten soll):
> Es gilt
> > 2 * [mm]3^n[/mm] + [mm]2^{n+1} \le 3^{n+1}
\gdw 2^{n+1} \le 3^n[/mm]
> > d.h.
>
> die Behauptung folgt, wenn wir zeigen:
>
> (das formuliere ich mal in Deinem Sinne neu): Für alle
> natürlichen [mm]n \ge 2[/mm] ist [mm]2^{n+1} \le 3^n\,.[/mm] Dies beweisen
> wir wieder per Induktion:
> >
> > Induktionsanfang: n = 2 ist wahr.
>
> Na sinnvoller als "n=2 ist wahr" (was heißen würde, dass
> die Gleichung
> [mm]n=2\,[/mm] gültig ist), ist es, zu schreiben, dass die
> Behauptung für [mm]n=2\,[/mm]
> wahr ist!
>
> >
> > Induktionsvoraussetzung: [mm]2^{n+1} \le 3^n[/mm]
> >
> > Induktionsschluss: n [mm]\to[/mm] n+1
> >
> > [mm]2^{n+2}[/mm] = 2 * [mm]2^{n+1} \le[/mm] 2 * [mm]3^n \le[/mm] 3 * [mm]3^n[/mm] = [mm]3^{n+1}[/mm]
> > Also: [mm]2^{n+2} \le 3^{n+1}[/mm] für n [mm]\ge[/mm] 2.
> >
> > Es folgt: 2 * [mm]3^n[/mm] + [mm]2^{n+1} \le 3^{n+1}[/mm] für n [mm]\ge[/mm] 2
>
>
> ----
> > Für n = 0 und n = 1 (nachgerechnet), stimmt (n+1) *
> > [mm]2^{n+1} \le 3^{n+1}[/mm] auch.
> ----
>
> Wie gesagt: Ich hätte es anders strukturiert!
>
> > Also gilt: n * [mm]2^n \le 3^n[/mm] für alle n [mm]\in \IN_0[/mm]
> >
> > [mm]\Box[/mm]
>
> Ansonsten ist das aber okay - Du solltest aber versuchen,
> das ganze ein
> wenig geordneter aufzuschreiben.
>
> Aber Du hast es Dir ein wenig umständlich gemacht (was
> aber nichts
> macht, zu Studienbeginn hatte ich auch mal einen
> Induktionsbeweis in
> drei einzelne zerlegt und - ich glaube, es war eine sie -
> die Korrekteurin
> hatte dann doch nicht so wirklich Lust, die drei Seiten
> detailliert zu
> kontrollieren.
> ( Da war übrigens alles korrekt, sie hat also richtig
> bewertet! )
>
> Was brauchten wir denn noch? Naja, doch nur ein Argument,
> warum
> [mm]2^{n+1} \le 3^n[/mm]
> für alle natürlichen [mm]n \ge 2[/mm] gilt.
>
> Man kann sich leicht überlegen, dass aus [mm]0 < q < 1[/mm] folgt
> [mm]q^{n+1} < q^{n}[/mm] für alle [mm]n\,.[/mm] (Berechne einfach mal
> [mm]q^{n+1}/q^n\,[/mm] unter Beachtung von [mm]q > 0\,.[/mm])
>
> Nun gilt
> [mm]2^{n+1} \le 3^n[/mm]
> [mm]\gdw 2*\left(\frac{2}{3}\right)^n \le 1[/mm]
>
> [mm]\gdw \left(\frac{2}{3}\right)^n \le 1/2\,.[/mm]
>
> Weil für [mm]n=2[/mm] nun aber
> [mm]\left(\frac{2}{3}\right)^n=\left(\frac{2}{3}\right)^2=\frac 4 9 \le 1/2[/mm]
> ist, folgt...
>
> (P.S.: Das wir hier das "minimale" [mm]n\,[/mm] genommen haben,
> liegt nur an
> unserer Aufschreibfaulheit. Wir hätten ja auch den
> Induktionsbeweis für
> [mm]n \ge 10[/mm] führen und für die ersten [mm]n=0,...,10[/mm] die
> Behauptung
> nachrechnen können. Und wichtig ist: Wir haben am Ende
> eine wahre
> Aussage stehen, und durch Lesen der obigen Umformungen von
> unten
> nach oben - weil wir die [mm]\Leftarrow[/mm]'s dort stehen haben -
> folgt dann
> insgesamt die Behauptung! Denn natürlich hätte man auch
> [mm]2^{n+1} \le 3^n[/mm] für alle natürlichen [mm]n \ge 10[/mm] behaupten
> und
> nachrechnen können... .)
>
> Gruß,
> Marcel
Ja, ich habe den Induktionsanfang hier weggelassen, weil der klar war. In meinem Beweis, den ich abgeben werde, werde ich den natürlich mit aufführen.
Zum letzten Teil:
Es gilt (bzw. müsste ich das erst noch beweisen): [mm] q^{n+1} [/mm] < [mm] q^n [/mm] für 0 < q < 1
Weil für [mm]n=2[/mm] nun aber
[mm] \left(\frac{2}{3}\right)^n=\left(\frac{2}{3}\right)^2= [/mm] 4/9 [mm] \le [/mm] 1/2
ist, folgt, dass für alle n >= 2 gilt: [mm] \left(\frac{2}{3}\right)^{n+1} [/mm] < [mm] \left(\frac{2}{3}\right)^n \le [/mm] 1/2
,denn setze q := 2/3, und dann wendet man einfach [mm] q^{n+1} [/mm] < [mm] q^n [/mm] an.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:22 Mi 24.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> >
> > > Mit deiner Hilfe, konnte ich hoffentlich den Beweis korrekt
> > > zu Ende führen. :D
> >
> > na, irgendwo fehlt aber noch der Anfang. Etwa: Von Hand
> > nachgerechnet
> > wurde, dass die Ungleichung für [mm]n=0\,[/mm] und [mm]n=1\,[/mm] gilt.
> > (Einfach
> > vorrechnen, dass das stimmt!) Ich würde hier auch sogar
> > schon einfach [mm]n=2\,[/mm] mitnehmen. Denn dann können wir
> > behaupten: Weiter gilt die
> > Ungleichung auch für alle natürlichen [mm]n \ge 2\,.[/mm]
> Anstatt
> > mit dem
> > Induktionsschritt solltest Du auch mit dem I.A. starten,
> > und hier würde man
> > dann etwa sagen: I.A.: Dass die Behauptung für [mm]n=2\,[/mm]
> > stimmt, wurde
> > bereits vorgerechnet. Also gehen wir direkt über in den
> > Induktionsschritt:
> >
> > > IV: n * [mm]2^n \le 3^n[/mm]
> > >
> > > Induktionsschluss: n [mm]\to[/mm] n+1
> > >
> > > (n+1) * [mm]2^{n+1}[/mm] = 2n * [mm]2^n[/mm] + [mm]2^{n+1} \le[/mm] 2 * [mm]3^n[/mm] + [mm]2^{n+1}[/mm]
> > >
> > > Behauptung: 2 * [mm]3^n[/mm] + [mm]2^{n+1} \le 3^{n+1}[/mm]
> >
> > Hier schreibt man erstmal, was man nun behauptet.
> > Außerdem wäre
> > der Hinweis: "Man beachte [mm]n \in \IN_0[/mm] und [mm]n \ge 2[/mm]"
> > sinnvoll!
> >
> > Jetzt kommt der Beweis dieser (Zusatz-)Behauptung (die ja
> > für alle nat.
> > [mm]n \ge 2[/mm] gelten soll):
> > Es gilt
> > > 2 * [mm]3^n[/mm] + [mm]2^{n+1} \le 3^{n+1}
\gdw 2^{n+1} \le 3^n[/mm]
> > > d.h.
> >
> > die Behauptung folgt, wenn wir zeigen:
> >
> > (das formuliere ich mal in Deinem Sinne neu): Für alle
> > natürlichen [mm]n \ge 2[/mm] ist [mm]2^{n+1} \le 3^n\,.[/mm] Dies
> beweisen
> > wir wieder per Induktion:
> > >
> > > Induktionsanfang: n = 2 ist wahr.
> >
> > Na sinnvoller als "n=2 ist wahr" (was heißen würde, dass
> > die Gleichung
> > [mm]n=2\,[/mm] gültig ist), ist es, zu schreiben, dass die
> > Behauptung für [mm]n=2\,[/mm]
> > wahr ist!
> >
> > >
> > > Induktionsvoraussetzung: [mm]2^{n+1} \le 3^n[/mm]
> > >
> > > Induktionsschluss: n [mm]\to[/mm] n+1
> > >
> > > [mm]2^{n+2}[/mm] = 2 * [mm]2^{n+1} \le[/mm] 2 * [mm]3^n \le[/mm] 3 * [mm]3^n[/mm] = [mm]3^{n+1}[/mm]
> > > Also: [mm]2^{n+2} \le 3^{n+1}[/mm] für n [mm]\ge[/mm] 2.
> > >
> > > Es folgt: 2 * [mm]3^n[/mm] + [mm]2^{n+1} \le 3^{n+1}[/mm] für n [mm]\ge[/mm] 2
> >
> >
> > ----
> > > Für n = 0 und n = 1 (nachgerechnet), stimmt (n+1) *
> > > [mm]2^{n+1} \le 3^{n+1}[/mm] auch.
> > ----
> >
> > Wie gesagt: Ich hätte es anders strukturiert!
> >
> > > Also gilt: n * [mm]2^n \le 3^n[/mm] für alle n [mm]\in \IN_0[/mm]
> > >
> > > [mm]\Box[/mm]
> >
> > Ansonsten ist das aber okay - Du solltest aber versuchen,
> > das ganze ein
> > wenig geordneter aufzuschreiben.
> >
> > Aber Du hast es Dir ein wenig umständlich gemacht (was
> > aber nichts
> > macht, zu Studienbeginn hatte ich auch mal einen
> > Induktionsbeweis in
> > drei einzelne zerlegt und - ich glaube, es war eine sie
> -
> > die Korrekteurin
> > hatte dann doch nicht so wirklich Lust, die drei Seiten
> > detailliert zu
> > kontrollieren.
> > ( Da war übrigens alles korrekt, sie hat also richtig
> > bewertet! )
> >
> > Was brauchten wir denn noch? Naja, doch nur ein Argument,
> > warum
> > [mm]2^{n+1} \le 3^n[/mm]
> > für alle natürlichen [mm]n \ge 2[/mm]
> gilt.
> >
> > Man kann sich leicht überlegen, dass aus [mm]0 < q < 1[/mm] folgt
> > [mm]q^{n+1} < q^{n}[/mm] für alle [mm]n\,.[/mm] (Berechne einfach mal
> > [mm]q^{n+1}/q^n\,[/mm] unter Beachtung von [mm]q > 0\,.[/mm])
> >
> > Nun gilt
> > [mm]2^{n+1} \le 3^n[/mm]
> > [mm]\gdw 2*\left(\frac{2}{3}\right)^n \le 1[/mm]
>
> >
> > [mm]\gdw \left(\frac{2}{3}\right)^n \le 1/2\,.[/mm]
> >
> > Weil für [mm]n=2[/mm] nun aber
> > [mm]\left(\frac{2}{3}\right)^n=\left(\frac{2}{3}\right)^2=\frac 4 9 \le 1/2[/mm]
> > ist, folgt...
> >
> > (P.S.: Das wir hier das "minimale" [mm]n\,[/mm] genommen haben,
> > liegt nur an
> > unserer Aufschreibfaulheit. Wir hätten ja auch den
> > Induktionsbeweis für
> > [mm]n \ge 10[/mm] führen und für die ersten [mm]n=0,...,10[/mm] die
> > Behauptung
> > nachrechnen können. Und wichtig ist: Wir haben am Ende
> > eine wahre
> > Aussage stehen, und durch Lesen der obigen Umformungen von
> > unten
> > nach oben - weil wir die [mm]\Leftarrow[/mm]'s dort stehen haben
> -
> > folgt dann
> > insgesamt die Behauptung! Denn natürlich hätte man auch
> > [mm]2^{n+1} \le 3^n[/mm] für alle natürlichen [mm]n \ge 10[/mm] behaupten
> > und
> > nachrechnen können... .)
> >
> > Gruß,
> > Marcel
>
> Ja, ich habe den Induktionsanfang hier weggelassen, weil
> der klar war. In meinem Beweis, den ich abgeben werde,
> werde ich den natürlich mit aufführen.
>
> Zum letzten Teil:
> Es gilt (bzw. müsste ich das erst noch beweisen): [mm]q^{n+1}[/mm]
> < [mm]q^n[/mm] für 0 < q < 1
ich würde es beweisen: Die Ungleichung [mm] $q^{n+1} [/mm] < [mm] q\,$ [/mm] ist - für $q > 0$
- gleichwertig zu [mm] $q^{n+1}/q^n [/mm] < [mm] 1\,,$ [/mm] und für $q < [mm] 1\,$ [/mm] ergibt sich somit
deren Gültigkeit!
Denn lieber mal ein wenig zu viel bewiesen, als zu viel Wissen einfach als
bekannt vorausgesetzt (zumal manche auch glauben, ein Wissen benutzen
zu dürfen, was gar nicht gilt - und hätten sie einen Beweis versucht, wäre
es ihnen vielleicht aufgefallen...).
(Sauber aufgeschrieben: Für $q > [mm] 0\,$ [/mm] gilt
[mm] $$(\*)\;\;\;q^{n+1} [/mm] < [mm] q^n \gdw q^{n+1}/q^n [/mm] < 1 [mm] \gdw [/mm] q < [mm] 1\,.$$ [/mm]
Für $0 < q < 1$ gilt $0 < [mm] q\,$ [/mm] und aus $q < [mm] 1\,$ [/mm] folgt in [mm] $(\*)$ [/mm] die
Behauptung dann durch Lesen dieser Folgerungskette von rechts ($q < [mm] 1\,$ [/mm]
ist dann ja wahr!) nach links, weil wir von den [mm] $\gdw$ [/mm] immer die
[mm] $\Leftarrow$'s [/mm] benutzen dürfen!)
> Weil für [mm]n=2[/mm] nun aber
> [mm]\left(\frac{2}{3}\right)^n=\left(\frac{2}{3}\right)^2=[/mm] 4/9
> [mm]\le[/mm] 1/2
> ist, folgt, dass für alle n >= 2 gilt:
> [mm]\left(\frac{2}{3}\right)^{n+1}[/mm] < [mm]\left(\frac{2}{3}\right)^n \le[/mm]
> 1/2
> ,denn setze q := 2/3, und dann wendet man einfach [mm]q^{n+1}[/mm]
> < [mm]q^n[/mm] an.
Das finde ich dann ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") (Man könnte übrigens auch einfach direkt
[mm] $$(2/3)^{n+1} [/mm] < [mm] (2/3)^n$$
[/mm]
begründen - ganz analog zum allgemeinen Fall... natürlich!)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:29 Mi 24.10.2012 | | Autor: | rabilein1 |
> Für welche n [mm]\in \IN_{0}[/mm] gilt folgende Ungleichung?
> [mm]3^n \ge[/mm] n * [mm]2^n[/mm]
Für n=0: [mm] 3^{0}= [/mm] 1 // [mm] 0*2^{0}= [/mm] 0 ja
Für n=1: [mm] 3^{1}= [/mm] 3 // [mm] 1*2^{1}= [/mm] 2 ja
Für n=2: [mm] 3^{2}= [/mm] 9 // [mm] 2*2^{2}= [/mm] 8 ja
Für n=3: [mm] 3^{3}= [/mm] 27 // [mm] 3*2^{3}= [/mm] 24 ja
Für n=4: [mm] 3^{4}= [/mm] 81 // [mm] 4*2^{4}= [/mm] 64 ja
Das Ergebnis der linken Seite ist doch immer größer als das der rechten Seite.
Das wird auch bei n=100 nicht anders sein. Oder nicht?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:45 Mi 24.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Für welche n [mm]\in \IN_{0}[/mm] gilt folgende Ungleichung?
> > [mm]3^n \ge[/mm] n * [mm]2^n[/mm]
>
>
> Für n=0: [mm]3^{0}=[/mm] 1 // [mm]0*2^{0}=[/mm] 0 ja
>
> Für n=1: [mm]3^{1}=[/mm] 3 // [mm]1*2^{1}=[/mm] 2 ja
>
> Für n=2: [mm]3^{2}=[/mm] 9 // [mm]2*2^{2}=[/mm] 8 ja
>
> Für n=3: [mm]3^{3}=[/mm] 27 // [mm]3*2^{3}=[/mm] 24 ja
>
> Für n=4: [mm]3^{4}=[/mm] 81 // [mm]4*2^{4}=[/mm] 64 ja
>
> Das Ergebnis der linken Seite ist doch immer größer als
> das der rechten Seite.
> Das wird auch bei n=100 nicht anders sein. Oder nicht?
ja und? Er hat's halt für die ersten [mm] $n=0\,$ [/mm] bis [mm] $n=6\,$ [/mm] nachgerechnet
und sich dann entschlossen, das per Induktion zu beweisen. Und
was kritisierst Du nun?
P.S. Okay, den Fall [mm] $n=0\,$ [/mm] hat er nicht explizit vorgerechnet...
Gruß,
Marcel
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Ok, dann hat sich das erledigt.
Vielen Dank für eure Hilfe und vor allem dir Marcel. :)
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