Ungleichung beweisen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:41 Do 17.10.2013 | | Autor: | Topologe |
| Aufgabe | Beweisen Sie die Ungleichung
a+b [mm] \le [/mm] ggT(a,b)+kgV(a,b) für alle a,b [mm] \in \IN.
[/mm]
Geben Sie notwendige und hinreichende Bedingungen für Gleichheit an. |
Hallo liebe Matheraum-Mitglieder 
Zu dieser Aufgabe habe ich folgende Überlegungen/Ansätze:
a [mm] \le [/mm] kgV(a,b), b [mm] \le [/mm] kgV(a,b)
ggT(a,b) [mm] \le [/mm] a, ggT(a,b) [mm] \le [/mm] b
So nun könnte man das ja zusammenfassen:
ggT(a,b)+ggT(a,b) [mm] \le [/mm] a+b [mm] \le [/mm] kgV(a,b)+kgV(a,b)
Nun könnten wir kgV(a,b) subtrahieren und ggT(a,b) addieren:
a+b-kgV(a,b)+ggT(a.b) [mm] \le [/mm] kgV(a,b)+ggT(a,b)
Nun könnten wir ggT(a,b) auf der linken Seite der Ungleichung entfallen lassen:
a+b-kgV(a,b) [mm] \le [/mm] kgV(a,b)+ggT(a,b)
Und jetzt weiss ich irgendwie nicht weiter. Habe das Gefühl in einer Sackgasse zu sein. Auf der linken Seite kann ich ja nicht einfach -kgV(a,b) entfallen lassen, ohne evtl. Auswirkungen auf die Ungleichung zu produzieren...
Hat jemand vielleicht eine Idee?
LG, Topologe
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edit (des Autors): Der folgende Beitrag ist falsch, siehe auch die darauf folgende Mitteilung von felixf.
Hallo Topologe,
das ist doch schon alles sehr schön.
> Beweisen Sie die Ungleichung
> a+b [mm]\le[/mm] ggT(a,b)+kgV(a,b) für alle a,b [mm]\in \IN.[/mm]
>
> Geben Sie notwendige und hinreichende Bedingungen für
> Gleichheit an.
> Hallo liebe Matheraum-Mitglieder
>
> Zu dieser Aufgabe habe ich folgende
> Überlegungen/Ansätze:
>
> a [mm]\le[/mm] kgV(a,b), b [mm]\le[/mm] kgV(a,b)
> ggT(a,b) [mm]\le[/mm] a, ggT(a,b) [mm]\le[/mm] b
>
> So nun könnte man das ja zusammenfassen:
>
> ggT(a,b)+ggT(a,b) [mm]\le[/mm] a+b [mm]\le[/mm] kgV(a,b)+kgV(a,b)
>
> Nun könnten wir kgV(a,b) subtrahieren und ggT(a,b)
> addieren:
>
> a+b-kgV(a,b)+ggT(a.b) [mm]\le[/mm] kgV(a,b)+ggT(a,b)
Bis hier super. Jetzt ist es nur noch ein Schritt, ...
> Nun könnten wir ggT(a,b) auf der linken Seite der
> Ungleichung entfallen lassen:
>
> a+b-kgV(a,b) [mm]\le[/mm] kgV(a,b)+ggT(a,b)
...aber nicht dieser.
> Und jetzt weiss ich irgendwie nicht weiter. Habe das
> Gefühl in einer Sackgasse zu sein. Auf der linken Seite
> kann ich ja nicht einfach -kgV(a,b) entfallen lassen, ohne
> evtl. Auswirkungen auf die Ungleichung zu produzieren...
Wohl wahr.
> Hat jemand vielleicht eine Idee?
Zeige nun noch [mm] \ggT{(a,b)}\le\kgV{(a,b)}. [/mm] Das ist einfach. Und dann bist Du fertig.
Nebenbei müsstest Du dann auch genug Material haben, um den zweiten Teil der Frage zu beantworten.
Grüße
reverend
> LG, Topologe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:28 Do 17.10.2013 | | Autor: | felixf |
Moin rev,
> > a+b-kgV(a,b)+ggT(a.b) [mm]\le[/mm] kgV(a,b)+ggT(a,b)
>
> Bis hier super. Jetzt ist es nur noch ein Schritt, ...
>
> > Hat jemand vielleicht eine Idee?
>
> Zeige nun noch [mm]\ggT{(a,b)}\le\kgV{(a,b)}.[/mm] Das ist einfach.
> Und dann bist Du fertig.
nein, das reicht hier leider nicht. Damit bekommst du $a + b - kgV(a, b) + ggT(a, b) [mm] \le [/mm] a + b$, aber nicht $a + b - kgV(a, b) + ggT(a, b) [mm] \le [/mm] kgv(a, b) + ggT(a, b)$.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:14 Sa 19.10.2013 | | Autor: | reverend |
Moin Felix,
> > > a+b-kgV(a,b)+ggT(a.b) [mm]\le[/mm] kgV(a,b)+ggT(a,b)
> >
> > Bis hier super. Jetzt ist es nur noch ein Schritt, ...
> >
> > > Hat jemand vielleicht eine Idee?
> >
> > Zeige nun noch [mm]\ggT{(a,b)}\le\kgV{(a,b)}.[/mm] Das ist einfach.
> > Und dann bist Du fertig.
>
> nein, das reicht hier leider nicht. Damit bekommst du [mm]a + b - kgV(a, b) + ggT(a, b) \le a + b[/mm],
> aber nicht [mm]a + b - kgV(a, b) + ggT(a, b) \le kgv(a, b) + ggT(a, b)[/mm].
Da hast Du natürlich Recht. Da habe ich ein Phantom mit falschem Vorzeichen gesehen. Danke für die Korrektur!
lg
rev
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Hi! ich nehne mal k: KGV(a,b), und g: GGT(a,b).
Jetzt wissen wir:
[mm] a=g*T_a
[/mm]
[mm] b=g*T_b
[/mm]
wobei [mm] GGT(T_a, T_b)=1.
[/mm]
Also ist:
[mm] k=g*T_a*T_b
[/mm]
somit z.Z: [mm] g*T_a +g*T_b \le [/mm] g + [mm] g*T_a*T_b
[/mm]
oder auch [mm] T_a [/mm] + [mm] T_b \le [/mm] 1 + [mm] T_a*T_b
[/mm]
[mm] T_a [/mm] -1 [mm] \le T_b*(T_a-1), [/mm] da [mm] T_a,T_b\in \IN [/mm] ist [mm] T_a-1 \ge [/mm] 0 und die Gleichung stimmt.
lg adlerbob
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:14 Fr 18.10.2013 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Hi, vielen Dank für eure Posts
>
> Und bei der zweiten Teilaufgabe hätte ich dann jetzt
> geschrieben:
>
> hinreichende Bedingung: [mm]ggT(a,b)=min\{a,b\}, kgV=max\{a,b\}[/mm]
>
> notwendige Bedingung: a = b
Daraus kann man auch eine einzige Bedingung machen, die sowohl hinreichend wie auch notwendig ist. Und zwar $kgV = [mm] \max\{a, b\}$ [/mm] reicht aus. Das ist allerdings noch aequivalent zu einer anderen, einfacheren Bedingung.
Versuch dazu doch mal ein paar Beispiele von Zahlen $a, b$ zu finden mit $kgV(a, b) = [mm] \max\{a, b\}$. [/mm] Dir sollte schnell etwas auffallen.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:00 Sa 19.10.2013 | | Autor: | Topologe |
Hi, danke für die Antworten
Hm, meinst du [mm] kgV(a,b)=max\{a,b\} \gdw [/mm] a|b [mm] \vee [/mm] b|a?
LG,
Topologe
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:03 Sa 19.10.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Hi, danke für die Antworten
>
> Hm, meinst du [mm]kgV(a,b)=max\{a,b\} \gdw[/mm] a|b [mm]\vee[/mm] b|a?
Ja.
Und was bedeutet dass, wenn wir mal annehmen, dass b>a ist, für die Teilermenge von b bzw die Vielfachenmenge von a.
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> LG,
> Topologe
Marius
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