Ungleichung / komplexen Zahlen < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:07 Do 30.09.2010 | | Autor: | BarneyS |
| Aufgabe | Für welche Punkte der Gauß'schen Zahlenebene gilt:
[mm] z^2 \le 16 + 2 * Re(z) * Im(z) * i [/mm] |
Welchen Lösungsansatzt wählen?
Mein Ansatz:
Darstellung in der Normalform:
[mm] (a + bi)^2 \le 16 + (2*a*b)i [/mm]
Jetzt weiß ich nicht weiter. Man könnte die Wurzel ziehen. Dazu müsste man die rechte Seite in die Eulersche- oder die Polarform umwandeln.
[mm] r = \wurzel{256 + 4*a^2*b^2} [/mm]
[mm] \varphi = \cos^-1 ( \bruch{16}{ \wurzel{256 + 4*a^2*b^2}}) [/mm]
Das sieht mir zu kompliziert aus. Ausserdem stört die Ordnungsrelation.
Was wäre denn:
[mm] z^2 \le x [/mm] mit [mm] x,z \in \IC [/mm]
[mm] \gdw \left| z \right| \le \wurzel{x}[/mm] wie in [mm] $\IR$ [/mm] ???
Wohl nicht, oder?
Oder man rechnet das Quadrat auf der linken Seite aus:
[mm] (a^2 + b^2) * (\cos (2*\varphi) + \sin (2*\varphi)) [/mm]
mit [mm] \varphi = \sin^-1 (\bruch{b}{\wurzel{a^2 + b^2}}) [/mm]
...wie komme ich weiter?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:10 Do 30.09.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Barney!
Viel einfacher: multipliziere die Klammer [mm] $(a+b*i)^2$ [/mm] aus und fasse anschließend die Ungleichung weitestgehend zusammen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:29 Do 30.09.2010 | | Autor: | BarneyS |
Danke Lodda,
also:
[mm] a^2 + 2abi + i^2 \le 16 + 2abi \gdw a^2 \le 17 [/mm]
[mm]\gdw \left| a \right| \le \wurzel{17} [/mm]
[mm]\gdw a \ge -\wurzel{17} \ \wedge a \le \wurzel{17} [/mm]
b beliebig.
Also liegen die Punkte zwischen -Wurzel (17) und Wurzel (17) und Im(z) ist beliebig.
Das heißt die Punkte liegen zwischen zwei vertikalen Grenzen und der Imaginärteil ist nach oben und unten offen. Richtig?
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Hallo BarneyS,
> Danke Lodda,
>
> also:
> [mm]a^2 + 2abi + i^2 \le 16 + 2abi \gdw a^2 \le 17[/mm]
Hier hast Du ein [mm] b^{2} [/mm] vergessen:
[mm]a^2 + 2abi + \red{b^{2}}i^2 \le 16 + 2abi[/mm]
> [mm]\gdw \left| a \right| \le \wurzel{17}[/mm]
>
> [mm]\gdw a \ge -\wurzel{17} \ \wedge a \le \wurzel{17}[/mm]
>
> b beliebig.
>
> Also liegen die Punkte zwischen -Wurzel (17) und Wurzel
> (17) und Im(z) ist beliebig.
> Das heißt die Punkte liegen zwischen zwei vertikalen
> Grenzen und der Imaginärteil ist nach oben und unten
> offen. Richtig?
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:55 Do 30.09.2010 | | Autor: | BarneyS |
ok, stimmt 
dann komme ich auf:
[mm] (a - b) * (b + a) \le 4^2 [/mm]
Lösung: Alle Punkt, die höchstens den Abstand 2 vom Punkt (b, -a) haben. Bzw. Kreisfläche um (b, -a) mit Radius = 2.
Jetzt korrekt?
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Hallo BarneyS,
> > Dann hast du [mm]x^2-y^2\le 4^2[/mm], also
> > [mm]\frac{x^2}{4^2}-\frac{y^2}{4^2}\le 1[/mm]
> >
> > Und die Gleichung [mm]\frac{x^2}{u^2}-\frac{y^2}{v^2} \ \red{=} \ 1[/mm]
> > solltest du kennen.
> >
> > Das ist eine Hy... in 1.Hauptlage
> >
> > Mit dem [mm]\le[/mm]-Zeichen sind es geometrisch also welche
> > Punkte?
>
> Danke, schachuzipus,
>
> leider kannte ich die Formel der Hyperbel in erster
> Hauptlage nicht.
> Aber jetzt
> In der Schule nie gehabt und in Mathe Grundlagen, erstes
> Semester, ist das auch noch nicht vorgekommen, bis heute
>
>
> Die Gleichung beschreibt also eine Hyperbel mit den
> Nullstellen (-4/0) und (4/0), die sich waagrecht nach links
> und rechts öffnet. Durch das kleiner gleich bekommt man
> also alle Punkt, die links und rechts von der Kurve
> liegen.
>
> Ist ein wenig schwer zu beschreiben... Aber müsste nun
> stimmen?
Bestimmme ein paar Punkte, die diese Ungleichung erfüllen:
[mm]x^{2}-y^{2} \le 4^{2}[/mm]
Stelle dann die Lage dieser Punkte zur gegebenen Hyperbel fest.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:52 Do 30.09.2010 | | Autor: | BarneyS |
> Hallo BarneyS,
>
> > > Dann hast du [mm]x^2-y^2\le 4^2[/mm], also
> > > [mm]\frac{x^2}{4^2}-\frac{y^2}{4^2}\le 1[/mm]
> > >
> > > Und die Gleichung [mm]\frac{x^2}{u^2}-\frac{y^2}{v^2} \ \red{=} \ 1[/mm]
> > > solltest du kennen.
> > >
> > > Das ist eine Hy... in 1.Hauptlage
> > >
> > > Mit dem [mm]\le[/mm]-Zeichen sind es geometrisch also welche
> > > Punkte?
> >
> > Danke, schachuzipus,
> >
> > leider kannte ich die Formel der Hyperbel in erster
> > Hauptlage nicht.
> > Aber jetzt
> > In der Schule nie gehabt und in Mathe Grundlagen,
> erstes
> > Semester, ist das auch noch nicht vorgekommen, bis heute
> >
> >
> > Die Gleichung beschreibt also eine Hyperbel mit den
> > Nullstellen (-4/0) und (4/0), die sich waagrecht nach links
> > und rechts öffnet. Durch das kleiner gleich bekommt man
> > also alle Punkt, die links und rechts von der Kurve
> > liegen.
> >
> > Ist ein wenig schwer zu beschreiben... Aber müsste nun
> > stimmen?
>
>
> Bestimmme ein paar Punkte, die diese Ungleichung
> erfüllen:
>
> [mm]x^{2}-y^{2} \le 4^{2}[/mm]
>
> Stelle dann die Lage dieser Punkte zur gegebenen Hyperbel
> fest.
>
>
> Gruss
> MathePower
ok, also 0/0 liegt schonmal dazwischen.
Also beschreibt es die Punkt dazwischen.
...war eine schwere Geburt... aber danke für die Hilfe!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:00 Do 30.09.2010 | | Autor: | abakus |
> Für welche Punkte der Gauß'schen Zahlenebene gilt:
> [mm]z^2 \le 16 + 2 * Re(z) * Im(z) * i[/mm]
> Welchen
> Lösungsansatzt wählen?
Hallo,
fällt hier eigentlich niemandem auf, dass das Schwachsinn ist?
Im Bereich der komplexen Zahlen gibt es keine Ordnungsrelation!
In der Aufgabenstellung vermute ich einen Schreibfehler.
Gruß Abakus
>
> Mein Ansatz:
> Darstellung in der Normalform:
>
> [mm](a + bi)^2 \le 16 + (2*a*b)i[/mm]
>
> Jetzt weiß ich nicht weiter. Man könnte die Wurzel
> ziehen. Dazu müsste man die rechte Seite in die Eulersche-
> oder die Polarform umwandeln.
>
> [mm]r = \wurzel{256 + 4*a^2*b^2}[/mm]
> [mm]\varphi = \cos^-1 ( \bruch{16}{ \wurzel{256 + 4*a^2*b^2}})[/mm]
>
> Das sieht mir zu kompliziert aus. Ausserdem stört die
> Ordnungsrelation.
> Was wäre denn:
>
> [mm]z^2 \le x[/mm] mit [mm]x,z \in \IC[/mm]
> [mm]\gdw \left| z \right| \le x[/mm] wie in [mm]\IR[/mm] ???
>
> Wohl nicht, oder?
>
> Oder man rechnet das Quadrat auf der linken Seite aus:
>
> [mm](a^2 + b^2) * (\cos (2*\varphi) + \sin (2*\varphi))[/mm]
>
> mit [mm]\varphi = \sin^-1 (\bruch{b}{\wurzel{a^2 + b^2}})[/mm]
>
> ...wie komme ich weiter?
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Hallo abakus,
die Terme linker- und rechterhand sind aber rein reell, nur mit komplexem Firlefanz "aufgepusht"
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:09 Do 30.09.2010 | | Autor: | abakus |
> Hallo abakus,
>
> die Terme linker- und rechterhand sind aber rein reell, nur
> mit komplexem Firlefanz "aufgepusht"
Und wie soll das gehen?
Nimm eine einfache Ungleichung
r<s
mit reellen Zahlen r und s.
jetzt pusht jemand diese Ungleichung durch beidseitige Multiplikation mit i komplex auf.
linker Term: r*i
rechter Termn: s*i
und das Relationszeichen?!?
Falls i>0 gelten würde, müsste es bleiben wie es ist.
Falls i<0 gelten würde, müsste man es umdrehen.
Hilf mir bitte: gilt i<0 oder i>0?
Gruß Abakus
>
> Gruß
>
> schachuzipus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:14 Do 30.09.2010 | | Autor: | fred97 |
So wie abakus das sieht, kann man es sehen, muß man aber nicht.
Die Ungl.
(*) $ [mm] z^2 \le [/mm] 16 + 2 [mm] \cdot{} [/mm] Re(z) [mm] \cdot{} [/mm] Im(z) [mm] \cdot{} [/mm] i $
impliziert, dass beide Seiten reell sind. Dann folgt schon mal: Re(z)=0 oder Im(z)=0
Ist Re(z)=0, so ist z von der Form z=it mit reellem t
Aus (*) folgt dann:
[mm] -t^2 \le [/mm] 16.
Das bedeutet: (*) gilt schon mal für alle Zahlen auf der imaginären Achse.
Ist Im(z)=0, so ist z reell und (*) liefert [mm] z^2 \le [/mm] 16, also
|z| [mm] \le [/mm] 4
FRED
P.S.: oft hat man im komplexen die Situation wie oben: z [mm] \le [/mm] w.
In solchen Situationen unterstellt man dann häufig (stillschweigend), dass z und w reell sind.
Manchen mag das mißfallen, aber häüfig findet man diese Auffassung.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:37 Do 30.09.2010 | | Autor: | felixf |
Moin zusammen!
> So wie abakus das sieht, kann man es sehen, muß man aber
> nicht.
>
> Die Ungl.
>
>
> (*) [mm]z^2 \le 16 + 2 \cdot{} Re(z) \cdot{} Im(z) \cdot{} i[/mm]
>
> impliziert, dass beide Seiten reell sind. Dann folgt schon
> mal: Re(z)=0 oder Im(z)=0
Ich kannte das bisher hauptsaechlich so: schreibt man $a [mm] \ge [/mm] b$ und ist eins von $a, b$ reell, dann bedeutet dies dass das andere auch reell ist und in [mm] $\IR$ [/mm] die Relation gilt. Man kann es natuerlich auch so deuten wie du es siehst.
Interessanter ist die Frage, ob man das zu einem Kalkuel umbauen kann, so dass man auf beiden Seiten komplexe Zahlen addieren darf, und das ganze mit einer night-negativen reellen Zahl multiplizieren darf (oder allgemeiner, mit einer komplexen Zahl $a$ mit $a [mm] \ge [/mm] 0$ -- was wieder impliziert, dass $a$ reell und nicht-negativ ist). Man koennte z.B. $a [mm] \ge [/mm] b$ als $a - b [mm] \in \IR \wedge [/mm] a - b [mm] \ge [/mm] 0$ definieren. Dann hat man die geforderten Eigenschaften.
(Vielleicht wurde das in der Vorlesung von BarneyS sogar so gemacht? Das ist allerdings nicht gerade Standard, um ehrlich zu sein habe ich es noch nie irgendwo gesehen.)
Bei einem sochen Kalkuel wuerde die Aufgabe das Ergebnis haben, was BarneyS mit der Hilfe von Loddar und MathePower hergeleitet hat.
LG Felix
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