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Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - Ungleichung lösen
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Ungleichung lösen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 07:27 Sa 28.04.2018
Autor: meister_quitte

Aufgabe
Man gebe alle reellen Zahlen [mm] $x\in\IR$ [/mm] an, die folgende Ungleichung erfüllen.

$|x+1|+|x-1|>1$


Hallo Freunde der Mathematik,

ich habe mir bezüglich dieser Aufgabe ein ähnliches Beispiel auf Youtube ([]https://www.youtube.com/watch?v=E6N0Cn-lAWw/) zu meiner bisherigen Rechnung angeschaut und das ebenso gezeigte Prinzip angewandt. Außerdem habe ich nach meiner vorigen Eingebung gerechnet.

Meine Vorgehensweise:

1. Fall [mm] $x+1\ge [/mm] 0, [mm] x-1\ge [/mm] 0$
2. Fall [mm] $x+1\ge0, [/mm] x-1< 0$
3. Fall $x+1<0, [mm] x-1\ge [/mm] 0$
4. Fall $x+1<0, x-1< 0$

Beim 1. Fall resultiert [mm] $x>\frac{1}{2}$, [/mm] 2. Fall 2>1, 3. Fall fällt weg wegen -2>1, 4.Fall [mm] $x<\frac{1}{2}$. [/mm] Ich habe also 3 Lösungsmengen [mm] $\IL_1=\{x|x>\frac{1}{2}\}$, $\IL_2=\IR$, $\IL_3=\{x|x<\frac{1}{2}\}$. [/mm]

Vereinige ich den ganzen Spaß, kommt heraus [mm] $\bigcup_{i=1}^{3}\IL_i=\IR$. [/mm] Also gilt: [mm] $x\in\IR$. [/mm]

Meine Frage ist nun: Ist meine Rechnung zu dem Gezeigten auf Youtube auch richtig oder gäbe es Gegenbeispiele, die meinen Ansatz hinfällig machte?

Schöne Grüße

Christoph

        
Bezug
Ungleichung lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:28 Sa 28.04.2018
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

dein Ansatz ist völlig richtig, bei deinen Lösungsmengen vergisst du aber die Einschränkungen durch die Fallunterscheidung.
Mal Beispielhaft am ersten Fall:

> Beim 1. Fall resultiert $ [mm] x>\frac{1}{2} [/mm] $

Das stimmt zwar, allerdings hast du beim ersten Fall ja festgelegt, dass gelten soll:

> 1. Fall $ [mm] x+1\ge [/mm] 0, [mm] x-1\ge [/mm] 0 $

Welche Einschränkung ergibt sich daraus? Na beide Bedingungen nach x umgestellt liefert:

>  $ [mm] x\ge [/mm] -1, [mm] x\ge [/mm] 1 $

Was zusammen ergibt: $x [mm] \ge [/mm] 1$

Du erhälst im ersten Fall also die Lösungsmenge, die sowohl die Einschränkung deiner Ungleichung, also

> Beim 1. Fall resultiert $ [mm] x>\frac{1}{2} [/mm] $

als auch die Einschränkung durch deine Fallunterscheidung, also

> Was zusammen ergibt: $x [mm] \ge [/mm] 1$

erfüllt.

Das ist im ersten Fall also:  $ [mm] \IL_1=\{x|x\ge 1\} [/mm] $

Das wiederhole mal für die anderen Fälle und erst dann ergibt sich deine Gesamtlösungsmenge aus der Vereinigung aller einzelnen.

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
Ungleichung lösen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:39 Sa 28.04.2018
Autor: meister_quitte

Hallo Gonzalo,

genau das wollte ich wissen. Es gibt also keine Umformung nach x der Ungleichung, unter der Berücksichtigung der Fallunterscheidung, derart, dass das x die Einschränkung über- bzw. unterbietet.

Vielen Dank

Christoph

Bezug
                
Bezug
Ungleichung lösen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:41 Sa 28.04.2018
Autor: meister_quitte

Hallo Gonzalo,

ich habe hier nochmal meine errechneten Lösungen. [mm] $\IL_1=\left[1,\infty\right), \IL_2=\left[-1,1\right),\IL_3=\emptyset,\IL_4=\left[-\infty,-1\right)$ [/mm]

[mm] $\Rightarrow\bigcup_{i=1}^{4}\IL_i=\IR [/mm] $.

Ich hoffe, es stimmt nun.

Liebe Grüße

Christoph

Bezug
                        
Bezug
Ungleichung lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:23 Sa 28.04.2018
Autor: Diophant

Hallo,

> ich habe hier nochmal meine errechneten Lösungen.
> [mm]\IL_1=\left[1,\infty\right), \IL_2=\left[-1,1\right),\IL_3=\emptyset,\IL_4=\left[-\infty,-1\right)[/mm]

>

> [mm]\Rightarrow\bigcup_{i=1}^{4}\IL_i=\IR [/mm].

>

> Ich hoffe, es stimmt nun.

>

Bis auf die eckige Klammer vor dem [mm] -\infty [/mm] bei [mm] L_4 [/mm] (die vermutlich ein Tippfehler ist) stimmt alles.

Was ich nicht ganz verstehe ist, weshalb du den 3. Fall überhaupt einführst. Da führen doch die beiden Bedingungen schon zu einer leeren Lösungsmenge (sie widersprechen sich!), und ganz offensichtlich sind die beiden Stellen auf der Zahlengeraden, wo in einer der Klammern das Vorzeichen wechselt, die -1 und die 1. Daran sieht man ja schon, dass man drei unterschiedliche Fälle untersuchen muss, damit aber dann ganz [mm] \IR [/mm] abgedeckt hat.


Gruß, Diophant

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Bezug
Ungleichung lösen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:32 Sa 28.04.2018
Autor: meister_quitte

Hallo Diophant,

danke für die Einwände. Das mit der Klammer war ein Tippfehler. Ich habe das mit der leeren Menge nur deswegen erwähnt, weil ich mir angewöhnt habe, in Foren ein wenig ausführlicher zu schreiben, damit mit mir jeder folgen kann. Du hast aber recht, nötig ist es nicht.

Liebe Grüße

Christoph

Bezug
        
Bezug
Ungleichung lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:56 Mo 30.04.2018
Autor: fred97

Für Interessierte: ist $x [mm] \in \IR$, [/mm] so ist

      $2=x+1-(x-1)=|x+1-(x-1)| [mm] \le [/mm] |x+1|+|x-1|$.

Bezug
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