Ungleichung mit 2 Variablen < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Die n-te harmonische Zahl ist definiert durch:
[mm] H_{n}:=\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k}
[/mm]
Seien n,m Elemente der natürlichen Zahlen. Beweisen Sie mit vollständiger Induktion, dass
[mm] H_{n}-H_{m}\ge\bruch{n-m}{n}
[/mm]
gültig ist für alle [mm] n\ge{m} [/mm] ,wobei [mm] m\ge1 [/mm] eine beliebige Konstante ist. |
Schönen Abend.
Bis jetzt haben wir nur Induktionen mit 1 Variable gemacht, daher weiß ich nicht so recht, was ich machen muss.
Bis jetzt habe ich es so gemacht:
1.Schritt: n=1
Da aus aus der obigen Bedignung [mm] m\ge1 [/mm] ist, folgt auch gleichzeitig m=1.
Dies ergibt mir beim Einsetzen:
[mm] 1-1\ge\bruch{1-1}{1} [/mm]
[mm] 0\ge0 [/mm] OK
2.Schritt: [mm] n=m\to{n+1}
[/mm]
[mm] H_{n+1}-H_{n+1}\ge\bruch{n+1-(n+1)}{n+1}
[/mm]
gibt offensichtlich auch [mm] 0\ge0. [/mm] Also OK
3.Schritt n+1>m
Und hier habe ich Probleme:
[mm] H_{n+1}-H_{m}\ge\bruch{n+1-m}{n+1}
[/mm]
[mm] H_{n}+\bruch{1}{n+1}-H_{m} [/mm] so, jetzt die Induktionsvoraussetzung einsetzen:
[mm] H_{n}+\bruch{1}{n+1}-H_{m}\ge{\bruch{n-m}{n}+\bruch{1}{n+1}} =\bruch{(n-m)(n+1)+n}{n(n+1)}=\bruch{n^2+m-nm+2n}{n^2+n}
[/mm]
Und jetzt stehe ich an...Ich vermute stark, dass [mm] \{n+1>m} [/mm] nicht stimmt
Kann mir wer weiterhelfen?
Vielen Dank
|
|
| |
|
Hallöle,
ich glaube du machst dir das Leben zu schwer.
$m$ ist ja irgendeine beliebige feste (!) Konstante. Zu zeigen wäre damit für den Anfang, dass die Ungleichung z.B. für $n=m+1$ gilt. Danach führst du den Induktionsschritt durch, also zeigst die Ungleichung für $n=m+2$.
Somit hast du eigentlich gar nicht zwei unbekannte Variablen. Die Induktion läuft ganz normal über $n$.
|
|
|
| |
|
Danke Richie.
Ich bin mal deinem Rat gefolgt, aber ich habe trotzdem immer noch Probleme mit diesem "m".
Schritt [mm] \{n=m+1}
[/mm]
[mm] H_{m+1}-H_{m}=H_{m}+\bruch{1}{m+1}-H_{m} [/mm] und jetzt Induktionsvoraussetzung:
[mm] H_{m}+\bruch{1}{m+1}-H_{m}\ge{\bruch{n-m}{n}-\bruch{1}{m+1}}=\bruch{(n-m)(m+1)+n}{n(m+1)}=\bruch{-m^2+nm-m+2n}{nm+n}
[/mm]
Jetzt stecke ich schon wieder fest. Irgendwie muss ich das "m" eliminieren.
Ich weiß, dass ich links kuerzen kann, aber das hilft mir nichts, weil ich rechts nichts machen kann.
Wie gehe ich hier vor, wenn ich eine "beliebig varialbe Konstante" habe?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:28 Mi 16.10.2013 | | Autor: | chrisno |
Da bist Du auch noch neben der Spur.
>....
> Schritt [mm]n=m+1[/mm]
> [mm]H_{m+1}-H_{m}=H_{m}+\bruch{1}{m+1}-H_{m}[/mm]
= [mm] $\bruch{1}{m+1}$
[/mm]
Dies ist der Induktionsanfang, wenn Du zeigst, dass [mm] $\bruch{1}{m+1} \ge \bruch{n-m}{n}$
[/mm]
Das gelingt leicht, denn Du hast einen Zusammenhang zwischen n und m vorausgesetzt.
|
|
|
| |
|
Ahhh... Ok verstanden. Stimmt das habe ich voll vergessen.
Dann funktioniert der Beweis schon besser als vorher.
Dann habe ich nur noch eine kleine Frage:
Schritt $n=m+2$
[mm] H_{m+2}-H_{m}\ge\bruch{m+2-m}{m+1}
[/mm]
[mm] H_{m}+\bruch{1}{m+2}+\bruch{1}{m+1}-H_{m}\ge\bruch{2}{m+2}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{m+2}+\bruch{1}{m+1}\ge\bruch{2}{m+2}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{m+2}+\bruch{1}{m+1}\ge\bruch{1}{m+2}+\bruch{1}{m+2}
[/mm]
Meines Erachtens bin ich mit dem Beweis jetzt fertig.
Ist das ok so, wenn ich das so stehen lasse?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:53 Do 17.10.2013 | | Autor: | fred97 |
> Ahhh... Ok verstanden. Stimmt das habe ich voll vergessen.
> Dann funktioniert der Beweis schon besser als vorher.
>
> Dann habe ich nur noch eine kleine Frage:
>
> Schritt [mm]n=m+2[/mm]
> [mm]H_{m+2}-H_{m}\ge\bruch{m+2-m}{m+1}[/mm]
>
> [mm]H_{m}+\bruch{1}{m+2}+\bruch{1}{m+1}-H_{m}\ge\bruch{2}{m+2}[/mm]
> [mm]\bruch{1}{m+2}+\bruch{1}{m+1}\ge\bruch{2}{m+2}[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{m+2}+\bruch{1}{m+1}\ge\bruch{1}{m+2}+\bruch{1}{m+2}[/mm]
> Meines Erachtens bin ich mit dem Beweis jetzt fertig.
> Ist das ok so, wenn ich das so stehen lasse?
Da läuft einiges schief ....
Zeigen sollst Du: ist m [mm] \in \IN [/mm] (fest) und m [mm] \ge [/mm] 1, so ist
$ [mm] H_{n}-H_{m}\ge\bruch{n-m}{n} [/mm] $ für alle n [mm] \in \IN [/mm] mit n [mm] \ge [/mm] m.
Das sollst Du induktiv erledigen. Also in den 3 üblichen Schritten:
1. Induktionsanfang: zeige, dass die Ungleichung für n=m richtig ist.
2. Induktionsvoraussetzung (IV): es gelte n [mm] \in \IN [/mm] , n [mm] \ge [/mm] m und
$ [mm] H_{n}-H_{m}\ge\bruch{n-m}{n} [/mm] $ .
3. Zeige nun, dass unter der IV auch gilt:
$ [mm] H_{n+1}-H_{m}\ge\bruch{n+1-m}{n+1} [/mm] $
FRED
|
|
|
|
