Ungleichung mit Absolutbetrag < Klassen 5-7 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Für welche x ist folgende Ungleichung gültig (mit x [mm] \in \IR):
[/mm]
| 8 - |x-2| | [mm] \ge [/mm] 3 |
Ich habe da raus:
x [mm] \le [/mm] -9
-3 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 7
13 [mm] \le [/mm] x
Ich hab's durch Probieren am Zahlenstrahl rausgekriegt.
Aber diese Aufgabe habe ich so in einem Mathe-Buch der 5. Klasse gefunden.
Meine Frage ist: Durch welche Überlegungen soll man denn zu den Ergebnissen kommen? Und ist das für eine 5. Klasse angemessen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:24 Di 05.02.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Für welche x ist folgende Ungleichung gültig (mit x [mm]\in \IR):[/mm]
>
> | 8 - |x-2| | [mm]\ge[/mm] 3
> Ich habe da raus:
>
> x [mm]\le[/mm] -9
>
> -3 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] 7
>
> 13 [mm]\le[/mm] x
>
>
> Ich hab's durch Probieren am Zahlenstrahl rausgekriegt.
>
> Aber diese Aufgabe habe ich so in einem Mathe-Buch der 5.
> Klasse gefunden.
>
>
> Meine Frage ist: Durch welche Überlegungen soll man denn
> zu den Ergebnissen kommen? Und ist das für eine 5. Klasse
> angemessen?
die Überlegungen am Zahlenstrahl halte ich angemessen für die 5. Klasse.
Rechnerisch kann man es auch so angehen (erstmal - etwa am Zahlenstrahl,
erklären, dass $|x-m| < p [mm] \iff [/mm] -p < x-m < p$ gilt; das dann verwenden!):
Anstatt
$$|8-|x-2|| [mm] \ge [/mm] 3$$
untersuchen wir nun
[mm] $$(\*)\;\;\;|8-|x-x2|| [/mm] < [mm] 3\,.$$
[/mm]
Es gilt:
$$|8-|x-x2|| < 3$$
[mm] $$\iff [/mm] -3 < 8-|x-2| < 3$$
1. Fall: Ist $x [mm] \ge 2\,,$ [/mm] so folgt
$$-3 < 8-|x-2| < 3$$
[mm] $$\iff [/mm] -3 < 8-(x-2) < 3$$
[mm] $$\iff [/mm] 7 < x < [mm] 13\,.$$
[/mm]
D.h. die Ungleichung [mm] $(\*)$ [/mm] gilt hier für alle $x [mm] \in [2,\infty) \cap (7,13)=(7,13)\,.$
[/mm]
oder
2. Fall: Ist $x [mm] \le 2\,,$ [/mm] so folgt
$$-3 < 8-|x-2| < 3$$
[mm] $$\iff [/mm] -3 < 8-(-(x-2)) < 3$$
[mm] $$\iff [/mm] -3 < 8+(x-2) < 3$$
[mm] $$\iff [/mm] -9 < x [mm] <-3\,.$$
[/mm]
D.h. die Ungleichung gilt hier für alle $x [mm] \in (-\infty,2] \cap (-9,-3)=(-9,-3)\,.$
[/mm]
Also gilt [mm] $(\*)$ [/mm] für alle [mm] $x\,$ [/mm] mit $-9 < x < -3$ oder $7 < x < [mm] 13\,.$ [/mm] Die
AUSGANGSUNGLEICHUNG
$$|8-|x-2|| [mm] \ge [/mm] 3$$
sucht aber eben alle [mm] $x\,,$ [/mm] für die [mm] $(\*)$ [/mm] NICHT gilt, d.h.
[mm] $$\IL=(-\infty,-9] \cup [/mm] [-3,7] [mm] \cup [13,\infty)\,.$$
[/mm]
P.S. Man kann es auch so machen (wieder unter Verwendung von
$|x-m| < p [mm] \iff [/mm] -p < x-m < p$ bzw. $|x-m| [mm] \le [/mm] p [mm] \iff [/mm] -p [mm] \le [/mm] x-m [mm] \le [/mm] p$ ):
$$|8-|x-2|| [mm] \ge [/mm] 3$$
[mm] $$\iff [/mm] 8-|x-2| [mm] \ge [/mm] 3 [mm] \text{ oder }-(8-|x-2|) \ge [/mm] 3$$
[mm] $$\iff [/mm] |x-2| [mm] \le [/mm] 5 [mm] \text{ oder }|x-2| \ge [/mm] 11 $$
[mm] $$\iff [/mm] ...$$
[mm] $$\iff [/mm] -3 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] -7 [mm] \text{ oder } \neg(|x-2| [/mm] < 11)$$
[mm] $$\iff [/mm] x [mm] \in [/mm] [-3,-7] [mm] \text{ oder } [/mm] x [mm] \notin [/mm] (-9, 13)$$
[mm] $$\iff [/mm] x [mm] \in [/mm] [-3,7] [mm] \cup (-\infty,-9] \cup [13,\infty)\,.$$
[/mm]
Das sieht jetzt erstmal formal wild aus, aber das kann man wunderbar
schnell für Schüler der 5. Klasse am Zahlenstrahl erklären (nichtsdestotrotz
ist meiner Meinung nach solch' eine Aufgabe eher nur bedingt für eine
Klassenarbeit etwa geeignet):
Die Menge aller [mm] $x\,$ [/mm] mit $|x-m| < p$ ist das offene Intervall mit Intervallmittelpunkt [mm] $m\,,$
[/mm]
und "Intervalldurchmesser" [mm] $2p\,.$
[/mm]
Also die Zahl [mm] $m\,$ [/mm] auf dem Zahlenstrahl markieren, den Zirkel auf [mm] $p\,$ [/mm]
stellen und einen Kreis schlagen. Wichtig: Darauf hinweisen, dass die
Zahlen, wo der Zirkel den Zahlenstrahl schneidet, nicht zum Intervall
gehören: Das kann man auch entsprechend markieren, etwa mit [mm] $]\,$
[/mm]
am linken Intervallrand und [mm] $[\,$ [/mm] am rechten.
Analog erklären, welches Intervall durch die [mm] $x\,$ [/mm] mit $|x-m| [mm] \le [/mm] p$
beschrieben wird.
Der Rest folgt dann, indem man
$$|8-|x-2|| [mm] \ge [/mm] 3$$
[mm] $$\iff [/mm] 8-|x-2| [mm] \ge [/mm] 3 [mm] \text{ oder }-(8-|x-2|) \ge [/mm] 3$$
[mm] $$\iff [/mm] |x-2| [mm] \le [/mm] 5 [mm] \text{ oder }|x-2| \ge [/mm] 11$$
[mm] $$\iff [/mm] |x-2| [mm] \le [/mm] 5 [mm] \text{ oder }\neg(|x-2| [/mm] < 11)$$
benutzt:
Die Lösung sind also alle [mm] $x\,,$ [/mm] die innerhalb des abgeschlossenen(!) Intervalls mit
Mittelpunkt [mm] $2\,$ [/mm] und Radius [mm] $5\,$ [/mm] liegen vereinigt mit allen [mm] $x\,,$ [/mm] die
AUßERHALB des offenen(!) Intervalls mit Mittelpunkt [mm] $2\,$ [/mm] und Radius [mm] $11\,$
[/mm]
liegen. Sowas kann man wunderbar am Zahlenstrahl "zeigen" und dabei
dann aufschreiben!
(Wenn man will, kann man zudem sagen, dass für ein Intervall, dass den
Mittelpunkt [mm] $m\,$ [/mm] hat und Radius [mm] $p\,,$ [/mm] gilt, dass der linke Intervallrand
durch [mm] $m-p\,$ [/mm] und der rechte durch [mm] $m+p\,$ [/mm] gegeben ist.)
Denn eigentlich würde ich sagen, dass das nur mit diesen Intervallen
eine Lösung ist, die einigermaßen der Klassenstufe 5 gerecht wird...
Gruß,
Marcel
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Danke, dass du dir mit deiner ausführlichen Erklärung so viel Mühe gemacht hast.
Aber mir ist dann eingefallen, dass es eine viel einfachere Erklärung gibt (die sogar ich - und auch Fünftklässler - verstehen und nachvollziehen können):
Man ersetzt die Beitragsstriche einfach durch Klammern mit wechselndem Vorzeichen.
a) (8 - (x-2) ) [mm] \ge [/mm] 3 [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \le [/mm] 7
b) (8 + (x-2) ) [mm] \ge [/mm] 3 [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \ge [/mm] -3
c) -(8 - (x-2) ) [mm] \ge [/mm] 3 [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \ge [/mm] 13
d) -(8 + (x-2) ) [mm] \ge [/mm] 3 [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \le [/mm] -9
Diese Ungleichungen gelten allerdings nur in der unmittelbaren Umgebung von x.
Wodurch sich dann zusammenfassend ergibt:
x [mm]\le[/mm] -9
-3 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] 7
13 [mm]\le[/mm] x
Das könnte / sollte / müsste dann vom Prinzip her ganz genauso funktionieren, wenn es noch mehr Beitragsverschachtelungen gibt bzw. nur Buchstaben, wie zum Beispiel:
| |a-x|-|b-x| | [mm] \ge [/mm] c
Frage an die Experten:
Was ist im Falle von a - b [mm] \le [/mm] c ???
Aus a - x - b + x [mm] \ge [/mm] c [mm] \Rightarrow [/mm] a - b [mm] \ge [/mm] c
Das wäre ja ein Widerspruch in sich. Gibt es dann überhaupt kein gültiges x? Oder kann man den Widerspruch einfach widerspruchslos ignorieren?
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Hallo,
> Das könnte / sollte / müsste dann vom Prinzip her ganz
> genauso funktionieren, wenn es noch mehr
> Beitragsverschachtelungen gibt bzw. nur Buchstaben, wie zum
> Beispiel:
>
> | |a-x|-|b-x| | [mm]\ge[/mm] c
>
>
> Frage an die Experten:
>
> Was ist im Falle von a - b [mm]\le[/mm] c ???
>
> Aus a - x - b + x [mm]\ge[/mm] c [mm]\Rightarrow[/mm] a - b [mm]\ge[/mm] c
>
> Das wäre ja ein Widerspruch in sich.
Nein, du hast hier einfach a>b>x angenommen und dann sämtliche Betragsstriche aufgelöst.
> Gibt es dann
> überhaupt kein gültiges x? Oder kann man den Widerspruch
> einfach widerspruchslos ignorieren?
Einen Widerspruch kann man in der Mathematik nicht ignorieren, im Gegensatz zum wirklichen Leben. 
Aber es gibt wie schon gesagt hier keinen Widerspruch.
Allerdings macht es IMO keinen Sinn, diese Ungleichung für beliebige Zahlen a, b und c mit der Anschauung am Zahlenstrahl anzugehen und damit die Lösungsmenge zu bestimmen, ich persönlich halte schon die vorgestellte Aufgabe für viel zu schwer für die 5. Klasse. Das sind dann die Aufgaben, die zwei, drei Kinder einigermaßen stemmen und der Rest steigt aus und beschließt, das Fach zu hassen.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:32 Do 07.02.2013 | | Autor: | rabilein1 |
> Nein, du hast hier einfach a>b>x angenommen und dann
> sämtliche Betragsstriche aufgelöst.
Ich hatte da gar nichts angenommen, sondern nur einen der möglichen Fälle betrachtet (nämlich, dass das Resultat innerhalb der Beitragsstriche überall positiv ist und die Striche deshalb durch Klammern ersetzt werden können).
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:29 Mi 06.02.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo rabi,
> Danke, dass du dir mit deiner ausführlichen Erklärung so
> viel Mühe gemacht hast.
>
> Aber mir ist dann eingefallen, dass es eine viel einfachere
> Erklärung gibt (die sogar ich - und auch Fünftklässler -
> verstehen und nachvollziehen können):
>
> Man ersetzt die Beitragsstriche einfach durch Klammern mit
> wechselndem Vorzeichen.
>
> a) (8 - (x-2) ) [mm]\ge[/mm] 3 [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\le[/mm] 7
>
> b) (8 + (x-2) ) [mm]\ge[/mm] 3 [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\ge[/mm] -3
>
> c) -(8 - (x-2) ) [mm]\ge[/mm] 3 [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\ge[/mm] 13
>
> d) -(8 + (x-2) ) [mm]\ge[/mm] 3 [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\le[/mm] -9
>
> Diese Ungleichungen gelten allerdings nur in der
> unmittelbaren Umgebung von x.
das ist eigentlich sogar unnötig kompliziert; vor allem weiß ich gar nicht,
wie Du das meinst. Dann mach's doch gleich formal richtig und treffe
Fallunterscheidungen, wenn Du das "als einfacher" empfindest, was ich
im übrigen nicht tue (ich bin ein Freund des Vermeidens von
Fallunterscheidungen...):
Untersucht wird:
$$|8-|x-2|| [mm] \ge [/mm] 3$$
1. Fall: "Sei $8-|x-2| [mm] \ge 0\,,$ [/mm] dann..."
Jetzt machst Du Unterfälle 1a): "Sei zudem $x-2 [mm] \ge [/mm] 0$..."
(Der Fall 1a) ist also insgesamt: $x [mm] \ge [/mm] 2$ UND $8-(x-2) [mm] \ge 0\,,$ [/mm] also
$x [mm] \ge [/mm] 2$ und $x [mm] \le 10\,,$
[/mm]
also
$2 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 10$... )
Unterfall 1b) "Sei hier nun $x-2 [mm] \le 0\,,$ [/mm] dann..."
(Der Fall 1b) ist also
$x [mm] \le [/mm] 2$ und $8-(-(x-2)) [mm] \ge 0\,,$
[/mm]
also
$x [mm] \le [/mm] 2$ und $x [mm] \ge -6\,,$
[/mm]
also
$-6 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 2$...)
Und nun
2. Fall: "Sei $8-|x-2| [mm] \le 0\,,$ [/mm] dann..."
(Hier gibt's auch wieder entsprechend zwei Unterfälle...)
Damit machst Du insgesamt 4 Fallunterscheidungen, löst damit die
Aufgabe aber quasi "algebraisch", also ohne Zahlenstrahl - zudem wird
das "Ersetzen der Betragsstriche durch Klammern mit wechselndem
Vorzeichen" hier ganz detailliert begründet, und zwar auch, für welche
[mm] $x\,$ [/mm] man das machen darf... (Vor allem Dein Satz
> Diese Ungleichungen gelten allerdings nur in der
> unmittelbaren Umgebung von x.
macht doch gar keinen Sinn: In der unmittelbaren Umgebung von [mm] $x\,$? [/mm]
Wir SUCHEN doch ALLE [mm] $x\,,$ [/mm] DIE DIE UNGLEICHUNG erfüllen; wenn wir die
schon kennen würden, bräuchten wir sie nicht mehr zu suchen!!!!! Was ist
zudem eine unmittelbare Umgebung von [mm] $x\,$ [/mm] (neben der Frage,
was Du hier eigentlich für [mm] $x\,$e [/mm] meinst)? Was wäre eine mittelbare
Umgebung einer Zahl??)
Also nochmal zusammenfassend:
1. Fall: Setze voraus, dass $8-|x-2| [mm] \ge [/mm] 0$ ist und dass zudem $x-2 [mm] \ge [/mm] 0$
ist und bearbeite dann die Ungleichung.
2. Fall: Setze voraus, dass $8-|x-2| [mm] \ge [/mm] 0$ ist und dass zudem $x-2 [mm] \le [/mm] 0$
ist und bearbeite dann die Ungleichung.
3. Fall: Setze voraus, dass $8-|x-2| [mm] \le [/mm] 0$ ist und dass zudem $x-2 [mm] \ge [/mm] 0$
ist und bearbeite dann die Ungleichung.
4. Fall: Setze voraus, dass $8-|x-2| [mm] \le [/mm] 0$ ist und dass zudem $x-2 [mm] \le [/mm] 0$
ist und bearbeite dann die Ungleichung.
(Es gibt ein [mm] $\ge\,,$ [/mm] welches sich "beim Übergang vom ersten zum zweiten
Fall" in ein [mm] $\le$ [/mm] wandelt; man könnte den 2. Fall auch so schreiben, dass
man dort anstatt des [mm] $\le\,$ [/mm] ein [mm] $<\,$ [/mm] schreibt. Nichtsdestotrotz stimmen
meine obigen Fallunterscheidungen auch, man "behandelt nur manches
doppelt", was aber nicht schlimm ist, sofern man halt alle möglichen Fälle
erfasst... )
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:40 Do 07.02.2013 | | Autor: | rabilein1 |
> vor allem weiß ich gar nicht,
> wie Du das meinst.
Ich hatte lediglich für jeden Absolut-Ausdruck sowohl die positive als auch die negative Variante betrachtet. Mehr Möglichkeiten gibt es ja nicht.
> Diese Ungleichungen gelten allerdings nur in der
> unmittelbaren Umgebung von x
Damit meinte ich: Wenn man - wie im Beispiel - die x-Werte -9, -3, 7 und 13 raus hat, dann passiert zwischen diesen Zahlen weiter nichts mehr.
Wenn also z.B. -2.9 und 6.9 zutreffend (bzw. nicht zutreffend) sind, dann werden auch alle anderen Werte dazwischen zutreffend (bzw. nicht zutreffend) sein. Und was für 13.1 gilt, das giult dann auch für alle weiteren Werte bis Unendlich.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:12 Do 07.02.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Ralph,
> > vor allem weiß ich gar nicht,
> > wie Du das meinst.
>
> Ich hatte lediglich für jeden Absolut-Ausdruck sowohl die
> positive als auch die negative Variante betrachtet. Mehr
> Möglichkeiten gibt es ja nicht.
dann machst Du aber eh nichts anderes als Fallunterscheidungen, wobei
Du das ganze "sehr unbürokratisch" angehst, wenn ich das mal so sagen
darf. So nach dem Motto: Ich mach's einfach mal, ohne, dass ich wirklich
weiß, was ich tue...
Wenn man die Fallunterscheidungen richtig durchführt, so wie ich es
angedeutet habe, hat dieses "Ratespiel" ein Ende, und das ist sauber
aufgeschrieben. Und man kann immer wieder nachgucken, "wo man
gerade ist" und "wieso man da hinkommen durfte".
> > Diese Ungleichungen gelten allerdings nur in der
> > unmittelbaren Umgebung von x
>
> Damit meinte ich: Wenn man - wie im Beispiel - die x-Werte
> -9, -3, 7 und 13 raus hat, dann passiert zwischen diesen
> Zahlen weiter nichts mehr.
Das sind, wenn ich das mal so nennen darf, die "Intervallgrenzen der
Lösungsmenge" (die Lösungsmenge ist ja eine Vereinigung von
Intervallen). Wenn [mm] $x\,$ [/mm] eine Variable ist, für die man die Lösungsmenge
für gewisse Gleichungen/Ungleichungen sucht, kannst Du doch nicht
solche "festen Werte" dann auch [mm] $x\,$-Werte [/mm] nennen...
> Wenn also z.B. -2.9 und 6.9 zutreffend (bzw. nicht
> zutreffend) sind, dann werden auch alle anderen Werte
> dazwischen zutreffend (bzw. nicht zutreffend) sein. Und was
> für 13.1 gilt, das giult dann auch für alle weiteren
> Werte bis Unendlich.
Mir ist jetzt noch eine Idee gekommen, wie man das, was Du machst, ohne
Ungleichungen erstmal machen kann, um dann in der Tat solche Überlegungen
nachträglich durchzuführen:
Anstatt der Ungleichung
[mm] $$|8-|x-2||\ge [/mm] 3$$
betrachtet man erstmal die Gleichung
[mm] $$|8-|x-2||=3\,.$$
[/mm]
Dann löst man die Gleichung (durch Fallunterscheidung) in [mm] $x\,,$ [/mm] und dann
kann man vielleicht solche Überlegungen, wie Du es hier am Ende machst,
durchführen, um alle [mm] $x\,$ [/mm] anzugeben, für die die Ausgangsungleichung
gilt.
Das kann und sollte man mathematisch auch ganz sauber machen können.
Aber in der 5. Klasse würde ich da auch eher ein Auge zudrücken. Und
nebenbei: Schau' Dir mal den Begriff "Umgebung" an (in Analysis: siehe
etwa unter 'metrischen Räumen', oder Topologie...)
Das, was Du vielleicht mit "unmittelbare Umgebung" meintest, ist eher
sowas wie eine "genügend kleine Umgebung". Wobei das letztere zwar
auch gängig ist, aber eigentlich erstmal nur dann eine Aussage hat, wenn
jemand weiß, was das eigentlich bedeuten soll; bzw. wann eine
Umgebung "zu groß gewählt" wurde. Von daher kann ich nun aber bei Dir
wenigstens mit diesem Begriff etwas anfangen, weil ich meist aus dem
Zshg. erkenne, was mit "genügend kleiner Umgebung" gemeint ist: Und
Dein Begriff "unmittelbare Umgebung" ist dann nur ein Synonym für
"genügend kleine Umgebung".
Also:
Ich weiß, was Du oben machst und was Du meinst, aber die Sprechweise
ist alles andere als gut gewählt. Beschreib' sowas schlimmstenfalls lieber
so, wie Du es tust:
Du hast jetzt irgendwelche "eingrenzenden Zahlen" (die "Intervallgrenzen",
aber alle zusammen: Wir haben ja eigentlich endlich viele Intervalle...).
Und jetzt springst Du an eine Intervallgrenze und schaust dann von dort
einmal nach rechts und einmal nach links, und guckst, ob die Ungleichung
dann gilt. Wobei Du dann immer "genügend nahe an der ausgewählten
Intervallgrenze bleibst". (Das nanntest Du "in unmittelbarer Umgebung").
Dieses Vorgehen, wo man zuerst die Ungleichung als Gleichung behandelt,
könnte man sogar algorithmisch sehr schön beschreiben:
Wir wollen die Lösungsmenge in [mm] $x\in \IR$ [/mm] für
$$|8-|x-2|| [mm] \ge [/mm] 3$$
finden, wir nennen sie mal [mm] $\IL_{\red{\ge}}\,.$
[/mm]
1. Wir bestimmen
[mm] $$\IL_{\red{=}}:=\{x \in \IR:\;\;|8-|x-2|| \red{\;=\;}3\}\,.$$
[/mm]
2. Wir bringen [mm] $\IL_{=}$ [/mm] in die Form
[mm] $$\IL_{=}=\{a_1,\;\ldots,\;a_n\}$$
[/mm]
mit
[mm] $$a_1 [/mm] < [mm] a_2 [/mm] < [mm] \ldots [/mm] < [mm] a_n\,,$$
[/mm]
wobei
[mm] $$n=|\IL_{=}|\,.$$
[/mm]
(Du weißt nun eh, was die [mm] $a_1,\;$ [/mm] bis [mm] $a_n\,$ [/mm] sind - beachte aber, dass wir
hier weder [mm] $\;-\;\infty$ [/mm] oder [mm] $\infty$ [/mm] in [mm] $\IL_{=}$ [/mm] haben!)
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(Das "eigentlich Interessante" kommt nun erst bei den drei Pünktchen...)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:14 Do 07.02.2013 | | Autor: | rabilein1 |
> ... Fallunterscheidungen, wobei Du das ganze "sehr unbürokratisch" angehst ...
> Ich weiß, was Du oben machst und was Du meinst, aber die
> Sprechweise ist alles andere als gut gewählt.
Ja, ich weiß: ich habe mich da wohl "mathematisch unklar" ausgedrückt und einige Begriffe selbst erfunden.
Die Idee, aus einer Ungleichung eine Gleichung zu machen, war mir auch gekommen, um auf diese Weise die "Grenzen" zu finden (wobei "Grenze" wohl auch wieder missverständlich ist, weil Mathematiker darunter darunter wohl etwas anderes verstehen)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:29 Do 07.02.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Ralph,
> > ... Fallunterscheidungen, wobei Du das ganze "sehr
> unbürokratisch" angehst ...
>
> > Ich weiß, was Du oben machst und was Du meinst, aber die
> > Sprechweise ist alles andere als gut gewählt.
>
> Ja, ich weiß: ich habe mich da wohl "mathematisch unklar"
> ausgedrückt und einige Begriffe selbst erfunden.
das macht nichts: Mir ging's eher darum, Dich darauf hinzuweisen.
> Die Idee, aus einer Ungleichung eine Gleichung zu machen,
> war mir auch gekommen, um auf diese Weise die "Grenzen" zu
> finden (wobei "Grenze" wohl auch wieder missverständlich
> ist, weil Mathematiker darunter darunter wohl etwas anderes
> verstehen)
Naja, Intervallgrenzen sind schon Intervallgrenzen. Ich habe die nur in
Anführungszeichen geschrieben, weil wir da eine Vereinigung von endlich
vielen Intervallen haben - und eigentlich bezieht sich der Begriff der
Intervallgrenzen halt auf ein Intervall, und ein solches hat nur zwei
Grenzen.
Der Begriff der "Grenze" wird oft synonym mit "Schranke" verwendet:
- obere Grenze = obere Schranke
- untere Grenze = untere Schranke
- nach oben begrenzt = nach oben beschränkt
etc. pp.
Du kannst ja einfach in der Tat von den Elementen der Lösungsmenge
sprechen, die zu "der zur Ungleichung gehörenden Gleichung" gehören.
Damit meinen wir also genau die Elemente aus [mm] $\IL_{=}\,.$ [/mm] Und wenn Du
dann auch [mm] $\;-\;\infty$ [/mm] und [mm] $\infty$ [/mm] noch irgendwie "mitnehmen willst",
dann erwähnst Du diese separat.
P.S. Ich hoffe, es stört Dich nicht allzusehr, aber ich bin sehr penibel, was
Begrifflichkeiten in der Mathematik angeht, wobei auch ich manchmal etwas
nicht ganz sauber formuliere; manchmal versteht man den Inhalt einfach
besser, wenn es wenigstens noch etwas umgangssprachlich klingt ^^
Daher weise ich oft auf sowas hin, auch, wenn das ein wenig "am
eigentlichen Thema" vorbeigeht. Mit Fünftklässlern bräuchte man Begriffe
wie "unmittelbare Umgebung"nicht diskutieren; ich würde aber da
vorschlagen, den Begriff der Umgebung zur vermeiden oder aber ihn nur
umgangssprachlich so zu erklären, wie Du ihn dann verwendest...
Der Hinweis, dass dieser in der Mathematik eigentlich ein fest verankerter
Begriff mit einer Bedeutung ist, die Fünftklässler nicht (ohne weiteres)
verstehen (können), kann man ja geben. Muss man aber auch nicht...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:08 Do 07.02.2013 | | Autor: | rabilein1 |
> Ich hoffe, es stört Dich nicht allzusehr, aber ich
> bin sehr penibel, was Begrifflichkeiten in der Mathematik angeht
Nein, an so etwas habe ich mich gewöhnt.
P.S. Mein Nachbar ist auch so penibel. Er will, dass alle Briefkasten- und Klingelschilder im Haus in derselben Schrift sind, und Niemand Schuhe vor seine Wohnungstür stellt... ("Wie sieht denn das aus? Wir sind doch hier nicht in Turmekistan")
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:41 Do 07.02.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Ralph,
> > Ich hoffe, es stört Dich nicht allzusehr, aber ich
> > bin sehr penibel, was Begrifflichkeiten in der Mathematik
> angeht
>
> Nein, an so etwas habe ich mich gewöhnt.
>
> P.S. Mein Nachbar ist auch so penibel. Er will, dass alle
> Briefkasten- und Klingelschilder im Haus in derselben
> Schrift sind, und Niemand Schuhe vor seine Wohnungstür
> stellt... ("Wie sieht denn das aus? Wir sind doch hier
> nicht in Turmekistan")
nein, SOOOOO penibel bin ich dann doch nicht. Zudem ist meine Penibilität
meist auf die Mathematik beschränkt - aber das lernt man halt bei diesem
Studienfach auch ein wenig (obwohl sogar mein Diplomvater meinte, dass
ich es da ein wenig übertreibe)...
Du kannst meinetwegen auch ein Hawaiihemd auf eine Cordhose tragen,
und meinetwegen auch Krawatte und Fliege gleichzeitig tragen. Beim
Parken ärgert's mich nur, wenn jmd. rücksichtslos ist - ansonsten
interessieren mich eigentlich auch Falschparker nicht... (Rücksichtslos finde
ich es bspw., wenn ein Supermarkt eh nur einen Behindertenparkplatz hat,
und dann jmd. mit seinem Bonzenschlitten meint, dass er diesen ja für sich
benutzen darf - wohlgemerkt, sofern der/die Besitzer/in den Platz nicht zu
Recht beansprucht... Sowas geht schon in Richtung assozial, wie ich finde.
Die Leute werden aber sogar noch sauer, wenn man sie bei sowas nur
"fragend" anguckt oder den Kopf schüttelt...)
Solange man sich aber relativ sozial verhält, interessiert mich vieles nicht...
(Auch, wenn ich es bspw. lustig fand, dass hier eine Woche lang ein
Auto auf der Straße parkte mit ca. 80 cm Entfernung vom Bürgersteig. Hat
aber keine Sau interessiert... )
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:01 Fr 08.02.2013 | | Autor: | rabilein1 |
Das ist natürlich alles Ansichtssache. Der Eine regt sich über dieses auf, und ein Anderer über Jenes.
Ich weiß nicht, ob in der Straßenverkehrsordnung drin steht, mit welchem Abstand man vom Bürgersteig parken darf. War der 80cm-Parker ein Fatzke oder nahm er nur sein gutes Recht wahr?
Dieselbe Frage stelle ich mir auch hinsichtlich meines Nachbarn, der zwei Mercedes hat und diese oftmals beide direkt vor sein Haus stellt (nur damit sich niemand Anderer dainstellen kann). Und das, obwohl der Nachbar eine Garage und einen Hof hat. Somit werden die in der Straße ohnehin knappen Parkplätze noch knapper.
Ist er ein Fatzke, oder nimmt er lediglich sein Recht wahr, dass Jeder dort parken darf (auch mit Zweitwagen).
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:52 Fr 08.02.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Ralph,
> Das ist natürlich alles Ansichtssache. Der Eine regt sich
> über dieses auf, und ein Anderer über Jenes.
>
> Ich weiß nicht, ob in der Straßenverkehrsordnung drin
> steht, mit welchem Abstand man vom Bürgersteig parken
> darf. War der 80cm-Parker ein Fatzke oder nahm er nur sein
> gutes Recht wahr?
na, man lernt in der Fahrschule, wie weit man vom Bürgersteig maximal
entfernt sein darf - er/sie hätte sich nicht wundern müssen, wenn es einen
Strafzettel und Bußgeld gegeben hätte. Ich fand's eigentlich nur deswegen
lustig, weil man sich quasi zwischen Auto und Bürgersteig hinlegen konnte,
soviel Platz war da. Nachgemessen habe ich nichts. (Und mich mal
provokant neben das Auto gelegt auch nicht. ) Aber das war eh ein
sehr schmales Auto; mich hat's amüsiert. Gewundert hat mich nur, dass die
alten Leute hier nichts gesagt haben. Denn die meckern schon, wenn jmd.
hier zwischen zwei Schilden im Parkverbot parkt - wobei mir bis heute der
Sinn dieses Parkverbots unklar geblieben ist. Die Ausfahrt gegenüber ist
nämlich in einem Bereich, wo das Parkverbot nicht gilt. Aber man muss hier
in Trier vieles nicht verstehen - etwa auch nicht, dass es Fußgängerampeln
gibt, wo man in die eine Richtung grün hat, wenn man sich aber rumdreht,
in die andere Richtung rot hat. Und das gibt's an mehreren
Fußgängerampeln.
> Dieselbe Frage stelle ich mir auch hinsichtlich meines
> Nachbarn, der zwei Mercedes hat und diese oftmals beide
> direkt vor sein Haus stellt (nur damit sich niemand Anderer
> dainstellen kann). Und das, obwohl der Nachbar eine Garage
> und einen Hof hat. Somit werden die in der Straße ohnehin
> knappen Parkplätze noch knapper.
Aber ganz ehrlich: Das wäre mir auch egal. Ich würde ihn einfach mal
höflich fragen, ob er vielleicht so nett wäre, öfters mal den Straßenplatz
freizulassen, wenn die Plätze so knapp sind. Aber natürlich darf er auf der
Straße parken. Ist nicht unbedingt das sozialste, wenn ihm bewußt ist,
dass es relativ wenige Parkplätze gibt, aber das ist seine freie
Entscheidung, wenn er unbedingt auf der Straße parken will. Die meisten
Leute denken sich dabei aber nichts...
> Ist er ein Fatzke, oder nimmt er lediglich sein Recht wahr,
> dass Jeder dort parken darf (auch mit Zweitwagen).
Ich nehme einfach an, dass er weder ein Fatzke ist, noch jmd., der einfach
sein Recht wahrnehmen will. Es ist eher jmd., der sich gar keine Gedanken
macht. Und im Prinzip zwingt ihn ja auch niemand dazu. Ich fänd's auch
schlimm, wenn jeder, der eine Garage hat, automatisch gezwungen
werden würde, diese zu benutzen. Denn manchmal parkt man ja auch
nicht so lange vor seinem Haus, und dann jedes mal Garage auf etc. pp..
Dass Dein Nachbar doch seinen Hof nutzen kann, wie gesagt, darauf
würde ich einfach mal in einem freundlichen nachbarschaftlichen Gespräch
hinweisen. Da spielt aber auch der Ton die Musik...
Und wenn er's dann doch nicht ändert, dann ist's halt so. Ist dann halt für
den ein oder anderen ärgerlich, wenn man dann etwas weiter weg parken
muss oder länger einen Parkplatz suchen muss, aber mehr auch nicht. Man
kann ebensowenig von allen Menschen verlangen, dass sie einsichtig
sind - man kann aber vielleicht hoffen, dass sie's irgendwann dann doch
noch von alleine werden.
Wie dem auch sei: Ich würde mir zum Beispiel in den Arsch beißen, wenn
ich mir extra eine Garage gebaut hätte, und diese dann nur selten nutzen
würde. Aber ich kenne auch Menschen, für die die Garage sowas wie 'n
Geräteschuppen ist, der höchstens mal im Winter ein wenig leergeräumt
wird, damit sie auch für's Auto genutzt wird.
Egal, wir schweifen stark ab...
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:02 Mi 06.02.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo nochmal,
> ...
> Beitragsverschachtelungen gibt bzw. nur Buchstaben, wie zum
> Beispiel:
>
> | |a-x|-|b-x| | [mm]\ge[/mm] c
das wird zum Beispiel "langweilig", wenn $c < [mm] 0\,$ [/mm] wäre...
> Frage an die Experten:
Für sowas braucht man eigentlich keine Experten; man kann solche
Ungleichungen lösen, indem man alle möglichen Fälle entsprechend
abklappert, was einfach daran liegt, dass gilt:
[mm] $$|r|=\begin{cases} r, & \mbox{für } r \ge 0 \\ -r, & \mbox{für } r \le 0 \end{cases}$$
[/mm]
(hier wäre zu bemerken, dass [mm] $0=-0\,$ [/mm] gilt; oder Du schreibst meinetwegen
auch "nur" [mm] $|r|=-r\,$ [/mm] für [mm] $r\red{\;<\;}0$)... [/mm]
Die obige Aufgabe bekommt man also sicher gelöst, wenn man [mm] $2^3=8$ [/mm]
Fälle durchspielt - wobei dabei nicht gesagt ist, dass man vielleicht einen
theoretischen Fall anhand der Beträge erstellt, der gar nicht sein kann.
(Beispiel: [mm] $|x-2-|x||\ge [/mm] 0$
1. Fall: $x-2-|x| [mm] \ge [/mm] 0$ und $x [mm] \ge [/mm] 0$
bedeutet
$$x-2-x=-2 [mm] \ge [/mm] 0 [mm] \text{ und }x \ge [/mm] 0$$
Dieser Fall existiert nicht, da $-2 [mm] \ge [/mm] 0$ unsinnig ist...)
Ob man die Aufgabe so "elegant löst", ist eine andere Sache, aber man
wird sie so gelöst bekommen. Das ist also keine Experten-, sondern nur
eine "Geduldsfrage" (sofern jmd. mit Ungleichungen einigermaßen
umgehen kann)!
> Was ist im Falle von a - b [mm]\le[/mm] c ???
Bei solchen Fragen frage ich mich immer: Wenn jemand noch nicht den
allgemeinen Fall "richtig behandelt" hat oder dabei irgendwo nicht
durchblickt: Was hindert einen daran, sich einfach mal beispielhaft selbst
einen solchen Fall mit konkreten Zahlen zu erstellen und den dann
durchzuspielen?
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:56 Mi 06.02.2013 | | Autor: | abakus |
> Für welche x ist folgende Ungleichung gültig (mit x [mm]\in \IR):[/mm]
>
> | 8 - |x-2| | [mm]\ge[/mm] 3
> Ich habe da raus:
>
> x [mm]\le[/mm] -9
>
> -3 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] 7
>
> 13 [mm]\le[/mm] x
>
>
> Ich hab's durch Probieren am Zahlenstrahl rausgekriegt.
>
> Aber diese Aufgabe habe ich so in einem Mathe-Buch der 5.
> Klasse gefunden.
Hallo rabilein1,
das dies in einem offiziellen Lehrbuch der Klasse 5 steht, kann ich mir aus mehreren Gründen nicht vorstellen.
Bei aller kleinstaatlichen Zersplitterung unseres Bildungswesen gehe ich von folgender Zeitachse (plus minus 1 Jahr) aus:
Klasse 5: natürliche Zahlen, Einführung Brüche
Klasse 7: Einführung ganzer Zahlen, in diesem Zusammenhang erstmalige Verwendung von "Betrag einer Zahl"
Auch die Addition/Subtraktion von Klammertermen mit Variablen beginnt frühestens hier.
Klasse 9: Mit Erstaunen stellen wir fest, dass die RATIONALEN Zahlen nicht alles sind und es sogar reelle Zahlen gibt.
Deshalb interessiert mich brennend: Wie heißt das Lehrbach?
In welchem Bundesland ist es zugelassen?
Gruß Abakus
>
>
> Meine Frage ist: Durch welche Überlegungen soll man denn
> zu den Ergebnissen kommen? Und ist das für eine 5. Klasse
> angemessen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:16 Mi 06.02.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Abakus,
>
> > Für welche x ist folgende Ungleichung gültig (mit x [mm]\in \IR):[/mm]
>
> >
> > | 8 - |x-2| | [mm]\ge[/mm] 3
> > Ich habe da raus:
> >
> > x [mm]\le[/mm] -9
> >
> > -3 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] 7
> >
> > 13 [mm]\le[/mm] x
> >
> >
> > Ich hab's durch Probieren am Zahlenstrahl rausgekriegt.
> >
> > Aber diese Aufgabe habe ich so in einem Mathe-Buch der 5.
> > Klasse gefunden.
> Hallo rabilein1,
> das dies in einem offiziellen Lehrbuch der Klasse 5 steht,
> kann ich mir aus mehreren Gründen nicht vorstellen.
> Bei aller kleinstaatlichen Zersplitterung unseres
> Bildungswesen gehe ich von folgender Zeitachse (plus minus
> 1 Jahr) aus:
> Klasse 5: natürliche Zahlen, Einführung Brüche
> Klasse 7: Einführung ganzer Zahlen, in diesem
> Zusammenhang erstmalige Verwendung von "Betrag einer Zahl"
> Auch die Addition/Subtraktion von Klammertermen mit
> Variablen beginnt frühestens hier.
> Klasse 9: Mit Erstaunen stellen wir fest, dass die
> RATIONALEN Zahlen nicht alles sind und es sogar reelle
> Zahlen gibt.
>
> Deshalb interessiert mich brennend: Wie heißt das
> Lehrbach?
ein schöner Bach, an dem gelehrt wird; allerdings ist es der Lehr-Bach! ![[belehren]](/images/smileys/belehren.gif "[belehren]") ![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]")
> In welchem Bundesland ist es zugelassen?
Und aus welchem Jahr ist das Lehrbuch?
> Gruß Abakus
> >
> >
> > Meine Frage ist: Durch welche Überlegungen soll man denn
> > zu den Ergebnissen kommen? Und ist das für eine 5. Klasse
> > angemessen?
Ich finde, dass man die Überlegungen mit dem Zahlenstrahl und den
offenen/abgeschlossenen Intervallen durchaus in der 5. Klasse "einmal
präsentieren kann", aber mehr auch nicht.
Ansonsten gehört das normalerweise zum Stoff ab/nach der 6. Klasse
Gymnasium etwa: Denn wenn man mal die Betragsfunktion eingeführt hat
etc. pp., sind diese Aufgaben sehr schön graphisch (mit Funktionsgraphen)
zu lösen!
P.S. Sowas wie
$$|x-m| < p [mm] \iff [/mm] -p < x-m < p$$
kann man doch auch in der 5. Klasse lehren, und zwar, indem man das
"am Zahlenstrahl zeigt". Ob man das dort auch "formal beweisen will/soll/
muss", das kann man selbst entscheiden, aber davon würde ich abraten.
Ich würde da sogar eher ein Beispiel à la
$$|x-2,5| < 3$$
"vorführen" und einfach sagen, dass das auch 'allgemein so funktioniert'...
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:26 Do 07.02.2013 | | Autor: | rabilein1 |
> dass dies (gemeint ist: die Ursprungsaufgabe) in einem offiziellen Lehrbuch der Klasse 5 steht,
> kann ich mir aus mehreren Gründen nicht vorstellen.
Zumindest gehört dies zu dem Stoff, den eine Schülerin der 5. Klasse für ihre nächste Klassenarbeit wissen muss. (Genauso wie u.a. "Römische Zahlen" oder "Umrechung von Dezimal- in Dualsystem und umgekehrt").
Jedenfalls steht das auf ihrer "Ich kann...- Liste".
Und das im Bundesland Bremen, das ja angeblich hinter allen anderen Bundesländern bildungsmäßig hinterherhinkt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:27 Do 07.02.2013 | | Autor: | abakus |
> > dass dies (gemeint ist: die Ursprungsaufgabe) in einem
> offiziellen Lehrbuch der Klasse 5 steht,
> > kann ich mir aus mehreren Gründen nicht vorstellen.
>
> Zumindest gehört dies zu dem Stoff, den eine Schülerin
> der 5. Klasse für ihre nächste Klassenarbeit wissen muss.
> (Genauso wie u.a. "Römische Zahlen" oder "Umrechung von
> Dezimal- in Dualsystem und umgekehrt").
>
> Jedenfalls steht das auf ihrer "Ich kann...- Liste".
>
> Und das im Bundesland Bremen, das ja angeblich hinter allen
> anderen Bundesländern bildungsmäßig hinterherhinkt.
Hallo rabilein,
ich habe mir mal den Lehrplan angesehen. In Bremen werden irgendwann im Verlauf des Doppelschuljahres 5/6 auch negative Zahlen behandelt. Das erklärt die Verwendung von absoluten Beträgen.
Da aber selbst die rationalen Zahlen erst Gegenstand der Klasse 7/8 sind, war die Aufgabenformulierung "[mm]x\in \IR[/mm]" wohl deine Eigeninterpretation. Ich vermute, dass es
-entweder nur um natürliche Zahlen geht
oder
-dass vielleicht die Aussage "Betrag einer Differenz zweier Zahlen = Abstand der beiden Zahlen" bekannt ist.
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:25 Do 07.02.2013 | | Autor: | rabilein1 |
> negative Zahlen
Ja, stimmt. Damit fing die Schülerin gerade an.
> ... die Aufgabenformulierung "[mm]x\in \IR[/mm]" wohl deine Eigeninterpretation.
Stimmt auch. Das habe ich getan, damit der Matheraum das besser versteht und nicht diesbezüglich irgendwelche Nachfragen kommen.
In welchem Zusammenhang es zu der Ursprungsaufgabe kam, kann ich leider nicht sagen.
Am einfachsten könnte man wohl auch die Funktion f(x) = |. |... .|..| zeichnen, und dann sieht man, wo diese größer bzw. kleiner als 3 ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:34 Do 07.02.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Ralph,
> > negative Zahlen
>
> Ja, stimmt. Damit fing die Schülerin gerade an.
>
> > ... die Aufgabenformulierung "[mm]x\in \IR[/mm]" wohl deine
> Eigeninterpretation.
>
> Stimmt auch. Das habe ich getan, damit der Matheraum das
> besser versteht und nicht diesbezüglich irgendwelche
> Nachfragen kommen.
>
> In welchem Zusammenhang es zu der Ursprungsaufgabe kam,
> kann ich leider nicht sagen.
>
> Am einfachsten könnte man wohl auch die Funktion f(x) = |.
> |... .|..| zeichnen, und dann sieht man, wo diese größer
> bzw. kleiner als 3 ist.
das passt aber nicht zur 5. Klasse. Wenn es nur um Zahlen $x [mm] \in \IZ$ [/mm]
geht, kann man 5.-Klässler sogar einfach bitten, eine Tabelle zu erstellen
(für $x=-15$ bis $x=15$ etwa), und dann sollen sie ihre Beobachtungen
beschreiben.
Funktionen wurden, soweit ich mich erinnere, bei uns auf dem Gymnasium
erst in der 6. Klasse eingeführt, und erst Mitte oder Ende 6. Klasse kamen
Geraden...
(Und solche "Betragsfunktionen" wie oben stimmen ja stückweise mit einer
gewissen Geraden überein; sie werden wohl eher noch später behandelt.
Übrigens wäre es auch da sinnvoll, erstmal die Nullstellen der
entsprechenden Funktion, etwa $x [mm] \mapsto |8-|x-2||-3\,,$ [/mm] zu bestimmen...)
Gruß,
Marcel
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> [...]
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> | 8 - |x-2| | [mm]\ge[/mm] 3
> [...]
> Aber diese Aufgabe habe ich so in einem Mathe-Buch der 5.
> Klasse gefunden.
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>
> Meine Frage ist: Durch welche Überlegungen soll man denn
> zu den Ergebnissen kommen? Und ist das für eine 5. Klasse
> angemessen?
Hallo,
beim Überfliegen des Threads habe ich gesehen, daß die negativen ganzen Zahlen bereits eingeführt wurden - sonst wäre ja auch das Einführen des Betrages ziemlich sinnfrei.
Weiter dürfen wir festhalten, daß hier aufgrund des Alters der Schüler nur ganzzahlige Lösungen gesucht werden.
Ich weiß nicht, ob Du es als "Überlegung" akzeptieren kannst:
eine Lösung, die für mich voll und ganz in Ordnung wäre für Kl. 5, wäre das Probieren.
Zahlen einsetzen, und die notieren, die funktionieren.
Es geht hier ja nicht um das Lösen von Betragsgleichungen, auch nicht ums Verstehen der Betragsfunktion, sondern einfach darum, daß man kapiert hat, was zu einer gegebenen Zahl ihr Betrag ist.
LG Angela
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