www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Induktionsbeweise" - Ungleichung mit Fakultät
Ungleichung mit Fakultät < Induktion < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Induktionsbeweise"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Ungleichung mit Fakultät: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 12:44 Di 15.01.2013
Autor: Flo2610

Aufgabe
zz.: [mm] n!>=(n/4)^n [/mm]

Hallo Matheraum,

Das ist das erste Mal, dass hier etwas reinstelle, seid also bitte gnädig mit mir falls ich etwas falsch machen sollte.

So ich habe die Aufgabe, die mir etwas Probleme macht angegeben.
Ich denke, sie ist mit vollständiger Induktion zu lösen, aber irgendwie hab ich da noch nicht den richtigen Ansatz.

Ich fange immer mit (n+1)! an, benutze dann die Induktionsvoraussetzung und versuche umzuformen. Hat mich aber bis jetzt noch nicht zum Ziel gebracht.

Vlt hat ja einer von euch eine gute Idee. Ich bin für jeden Kommentar dankbar.

Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=511768&hilightuser=57545

        
Bezug
Ungleichung mit Fakultät: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:16 Di 15.01.2013
Autor: Marcel

Hallo Flo,

[willkommenmr]

> zz.: [mm]n!>=(n/4)^n[/mm]
>  Hallo Matheraum,
>  
> Das ist das erste Mal, dass hier etwas reinstelle, seid
> also bitte gnädig mit mir falls ich etwas falsch machen
> sollte.

wir beißen schon nicht. ;-)
  

> So ich habe die Aufgabe, die mir etwas Probleme macht
> angegeben.
>  Ich denke, sie ist mit vollständiger Induktion zu lösen,
> aber irgendwie hab ich da noch nicht den richtigen Ansatz.

Kann auch sein, dass man irgendwie [mm] $e\,$ [/mm] (oder etwa Folgen wie
[mm] ${((1+1/n)^n)}_n$ [/mm] oder [mm] ${((1+1/n)^{n+1})}_n$) [/mm] verwenden kann.
Ich bin eigentlich auf dem Sprung, deswegen kann ich nicht sagen, ob das
wirklich hilfreich ist. Allerdings gerade ganz kurz:
  

> Ich fange immer mit (n+1)! an, benutze dann die
> Induktionsvoraussetzung und versuche umzuformen. Hat mich
> aber bis jetzt noch nicht zum Ziel gebracht.

Okay, wenn Dir $(n+1)!=(n+1)*n!$ im Induktionsschritt nichts bringt (oder
Du nicht siehst, was es bringt), dann probiere es doch andersrum:
Anstatt $(n+1)!$ mit der Induktionsvoraussetzung nach und nach nach
unten abzuschätzen, schreibe
[mm] $$\left(\frac{n+1}{4}\right)^{n+1}$$ [/mm]
und versuche, das nach oben abzuschätzen.

Manchmal kann es auch sehr hilfreich sein, sich die im Induktionsschritt zu
beweisende Ungleichung hinzuschreiben, und die dann äquivalent
umzuformen. Dann kommt man vielleicht zu einer anderen Ungleichung,
bei der "man besser sieht, was zu tun ist", und weil man äquivalent
umgeformt hat, reicht es dann, diese zu zeigen (denn aus dieser folgt
dann ja insbesondere die behauptete Ungleichung).

Also das wären erstmal strategische Tipps, die weiterhelfen könnten.
Wenn's nicht klappt, schau' ich's mir vielleicht später nochmal an, um
konkretere Tipps zu geben, falls das bis dato noch nicht von jemand
anderem getan wurde.

Gruß,
  Marcel

Bezug
                
Bezug
Ungleichung mit Fakultät: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:02 Di 15.01.2013
Autor: Al-Chwarizmi


> Hallo Flo,
>  
> [willkommenmr]
>  
> > zz.: [mm]n!>=(n/4)^n[/mm]
>  >  Hallo Matheraum,
>  >  
> > Das ist das erste Mal, dass hier etwas reinstelle, seid
> > also bitte gnädig mit mir falls ich etwas falsch machen
> > sollte.
>  
> wir beißen schon nicht. ;-)


Hallo Marcel,

meinst du damit etwa "im Gegensatz zu einem Flo"  ??

Falls ja:  Aber, aber ...

Gruß ,  Al

Bezug
                        
Bezug
Ungleichung mit Fakultät: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:26 Di 15.01.2013
Autor: Marcel

Hallo Al,

> > Hallo Flo,
>  >  
> > [willkommenmr]
>  >  
> > > zz.: [mm]n!>=(n/4)^n[/mm]
>  >  >  Hallo Matheraum,
>  >  >  
> > > Das ist das erste Mal, dass hier etwas reinstelle, seid
> > > also bitte gnädig mit mir falls ich etwas falsch machen
> > > sollte.
>  >  
> > wir beißen schon nicht. ;-)
>  
>
> Hallo Marcel,
>  
> meinst du damit etwa "im Gegensatz zu einem Flo"  ??

nein [kopfschuettel]
  

> Falls ja:  Aber, aber ...

Aber schön, dass Dir solch' ein Gedankengang in den Sinn gekommen ist. [grins]

[prost] (mit Malzbier!)

Gruß,
  Marcel

Bezug
                                
Bezug
Ungleichung mit Fakultät: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:31 Di 15.01.2013
Autor: Al-Chwarizmi


> [prost] (mit Malzbier, also das alkoholfreie, nicht das
> superstarke ^^!)

das Bierchen hol' ich mir gleich - allerdings ein stinknormales ...

Al   :-)

Bezug
                                        
Bezug
Ungleichung mit Fakultät: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:33 Di 15.01.2013
Autor: Marcel

Hallo,

> > [prost] (mit Malzbier, also das alkoholfreie, nicht das
> > superstarke ^^!)
>  
> das Bierchen hol' ich mir gleich - allerdings ein
> stinknormales ...
>  

na dann für mich Malz-, und für Dich Nichtmalzbier: [prost]

Gruß,  
  Marcel

Bezug
                                                
Bezug
Ungleichung mit Fakultät: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:16 Di 15.01.2013
Autor: Al-Chwarizmi


> na dann für mich Malz-, und für Dich Nichtmalzbier:
> [prost]


Um da exakt zu bleiben:

mein Bierchen, das ich mittlerweile ausgetrunken habe,
ist zwar kein []"Malzbier" im engeren Sinne.
Man könnte es also allenfalls als ein Nicht-"Malzbier"
bezeichnen. Definitiv handelt es sich aber nicht um
ein "Nichtmalz"-Bier, denn seine Hauptzutat ist - nebst
Wasser - immer noch das Gerstenmalz ...

Jetzt sollten wir aber aufpassen, um nicht endgültig
zu den Bierideen abzuschlittern ...  ;-)

Schönen Abend noch !

LG ,    Al

Bezug
        
Bezug
Ungleichung mit Fakultät: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:34 Di 15.01.2013
Autor: reverend

Hallo Flo, auch von mir ein herzliches Willkommen!

Ich hab ein bisschen herumprobiert und kann Marcels Ahnung nur bestätigen...
Ich schreib Dir einfach mal ein paar Umformungen auf. Mir schien Logarithmieren sinnvoll. ;-)

Wenn Du einen Induktionsanfang hast, dann wäre ja die Induktionsvoraussetzung logarithmiert

[mm] n*(\ln{(n)}-\ln{(4)})<\ln{(n!)}=\summe_{k=1}^{n}\ln{(k)} [/mm]

und zu zeigen ist im Induktionsschritt

[mm] (n+1)*(\ln{(n+1)}-\ln{(4)})<\ln{((n+1)!)}=\summe_{k=1}^{n+1}\ln{(k)} [/mm]

Dann formen wir ein bisschen um. Erstmal auf beiden Seiten [mm] -\ln{(n+1)} [/mm]

[mm] n*\ln{(n+1)}-n*\ln{(4)}-\ln{(4)}<\ln{(n!)} [/mm]

Eine fette Null dazu und ein bisschen umgeordnet:

[mm] n*(\ln{(n+1)}-\ln{(n)})-\ln{(4)}+\blue{n*(\ln{(n)}-\ln{(4)})<\ln{(n!)}} [/mm]

Der blaue Teil ist gerade die Induktionsvoraussetzung, bleibt also noch

[mm] n*(\ln{(n+1)}-\ln{(n)})<\ln{(4)} [/mm]

Falls Dir das noch nicht bekannt vorkommt, dann lassen wir das mit dem Logarithmieren an dieser Stelle mal besser:

[mm] \left(\bruch{n+1}{n}\right)^n<4\quad\gdw\quad \left(1+\bruch{1}{n}\right)^n<4 [/mm]

Das solltest Du schon kennen. Wir können die ursprünglich zu zeigende Ungleichung sogar noch verbessern, indem wir die 4 durch eine 3 ersetzen, oder noch besser durch $e$. Der Aufgabensteller hat das nicht getan, um nicht zu viel vorab zu verraten. ;-)

Und so im Nachhinein hätte man sich das Logarithmieren natürlich auch sparen können. Das überlasse ich jetzt aber alles Dir.

Grüße
reverend



Bezug
        
Bezug
Ungleichung mit Fakultät: anderer Weg
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:08 Di 15.01.2013
Autor: Al-Chwarizmi


> zu zeigen:     [mm]n!>=(n/4)^n[/mm]


Hallo zusammen,

da ich gerade bei einem Thread beteiligt bin, in dem
es um eine sehr ähnliche Abschätzung der Fakultäten
geht, möchte ich auf diesen hinweisen:

    Annäherung von n!

Dort wird allerdings auf andere Weise vorgegangen,
aber die Betrachtung der unterschiedlichen Wege
kann bestimmt lehrreich sein.

LG ,   Al-Chwarizmi


Bezug
                
Bezug
Ungleichung mit Fakultät: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:16 Di 15.01.2013
Autor: Flo2610

Erstmal vielen Dank für die schnellen Tipps, ich werd das jetzt mal alles ausprobieren und melde mich dann wieder.

Bezug
        
Bezug
Ungleichung mit Fakultät: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:52 Di 15.01.2013
Autor: Flo2610

Also ich hab das mit euren Tipps jetzt mit und ohne Logarithmus hinbekommen und dafür möchte ich mich noch einmal bei allen bedanken, vor allem weil ihr so schnell geantwortet habt.

Bezug
                
Bezug
Ungleichung mit Fakultät: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:50 Di 15.01.2013
Autor: reverend

Hallo nochmal,

> Also ich hab das mit euren Tipps jetzt mit und ohne
> Logarithmus hinbekommen

Super! Glückwunsch dazu.

> und dafür möchte ich mich noch
> einmal bei allen bedanken, vor allem weil ihr so schnell
> geantwortet habt.

Das ist zwar oft so hier, aber eben nicht immer. Es hängt auch ein bisschen von der Aufgabe ab, und natürlich davon, ob die Frage verständlich formuliert ist.

Grüße
reverend



Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Induktionsbeweise"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de