Ungleichung mit Indikatorfunk. < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:38 Sa 17.12.2011 | | Autor: | kalor |
Hallo zusammen
Wenn ich auf einem Wahrscheinlichkeitsraum arbeite, und ich betrachte eine Folge $ [mm] (X_n) [/mm] $ von nicht negativen und unbeschränkten Zufallsvariablen.
Dann weiss ich ja, indem ich vielleicht eine Teilfolge wähle, dass es eine positive Zahl $ l > 0 $ gibt, so dass
$ [mm] P(\{X_n>n\}) [/mm] > l $ für alle $ n [mm] \in \IN [/mm] $.
Wenn ich nun die Summe betrachte:
$ [mm] \lim_n\summe_{i=1}^{n} X_i [/mm] $, wieso gilt die Ungleichung:
$ [mm] \lim_n\summe_{i=1}^{n} X_i \ge \lim_n\summe_{i=1}^{n} c*\mathbf1_{\{X_i > i\}} [/mm] $
für alle $ c > 0 $ ?
Ich muss ja eine Fallunterscheidung aufstellen:
1. Fall: wenn $ [mm] X_i(\omega) \le [/mm] i $ dann ist $ c [mm] \mathbf1_{\{X_i>i\}}(\omega)= [/mm] 0 $ und somit ist die Ungleichung klar.
2. Fall: wenn $ [mm] X_i(\omega) [/mm] > i $, dann ist $ [mm] c\mathbf1_{\{X_i>i\}}=c$.
[/mm]
Wenn nun aber $ i<c $ ist, muss dies ja nicht stimmen. Also muss das die Summe irgendwie ausgleichen. Intuitiv macht das Sinn, aber ich kann es nicht formal aufschreiben. Wenn mir jemand helfen könnte, wäre das super.
Mfg
KaloR
EDIT: Leicht modifizierte Frage wurde ![[]](/images/popup.gif) hier gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:33 Sa 17.12.2011 | | Autor: | kamaleonti |
Hallo kalor,
> Hallo zusammen
>
> Wenn ich auf einem Wahrscheinlichkeitsraum arbeite, und ich
> betrachte eine Folge [mm](X_n)[/mm] von nicht negativen und
> unbeschränkten Zufallsvariablen.
> Dann weiss ich ja, indem ich vielleicht eine Teilfolge
> wähle, dass es eine positive Zahl [mm]l > 0[/mm] gibt, so dass
>
> [mm]P(\{X_n>n\}) > l[/mm] für alle [mm]n \in \IN [/mm].
>
> Wenn ich nun die Summe betrachte:
>
> [mm]\lim_n\summe_{i=1}^{n} X_i [/mm], wieso gilt die Ungleichung:
>
> [mm]\lim_n\summe_{i=1}^{n} X_i \ge \lim_n\summe_{i=1}^{n} c*\mathbf1_{\{X_i > i\}}[/mm]
>
> für alle [mm]c > 0[/mm] ?
Was ist hiermit?
Sei c=3 und [mm] X_1(w)=2 [/mm] sowie [mm] X_n(w)=0, n\ge2 [/mm] (diese Zufallsvariablen können mit geeigneter Fortsetzung unbeschränkt sein).
Dann ist [mm] \lim_n\summe_{i=1}^{n} X_i(w)=2\blue{<}\lim_n\summe_{i=1}^{n} c*\mathbf1_{\{X_i(w) > i\}}=3.
[/mm]
Im Punkt w gilt die Grenzaussage also nicht.
Ich konnte die Abschätzung nur unter der zusätzlichen Voraussetzung "Für alle [mm] w\in\Omega [/mm] gibt es unendlich viele [mm] X_i [/mm] mit [mm] $X_i(w)>i$" [/mm] zeigen.
LG
>
> Ich muss ja eine Fallunterscheidung aufstellen:
>
> 1. Fall: wenn [mm]X_i(\omega) \le i[/mm] dann ist [mm]c \mathbf1_{\{X_i>i\}}(\omega)= 0[/mm]
> und somit ist die Ungleichung klar.
> 2. Fall: wenn [mm]X_i(\omega) > i [/mm], dann ist
> [mm]c\mathbf1_{\{X_i>i\}}=c[/mm].
>
> Wenn nun aber [mm]i
> muss das die Summe irgendwie ausgleichen. Intuitiv macht
> das Sinn, aber ich kann es nicht formal aufschreiben. Wenn
> mir jemand helfen könnte, wäre das super.
>
> Mfg
>
> KaloR
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig | | Datum: | 10:40 So 18.12.2011 | | Autor: | kalor |
Hallo kamaleonti
>
> Ich konnte die Abschätzung nur unter der zusätzlichen
> Voraussetzung "Für alle [mm]w\in\Omega[/mm] gibt es unendlich viele
> [mm]X_i[/mm] mit [mm]X_i(w)>i[/mm]" zeigen.
>
Genau unter dieser Voraussetzung konnte ich dies ebenfalls zeigen. Diese Eigenschaft muss man also aus dem hier folgern können:
Es steht im dem Beweis: Eine Menge $ M $ von Zufallsvariablen sei beschränkt, wenn $ [mm] sup_{X\in M}P(|X|\ge [/mm] N) [mm] \to [/mm] 0 $ wenn $ [mm] N\to \infty$.
[/mm]
In unserem Fall gilt das ja nicht, da wir eine unbeschränkte Menge von Zfv. haben.
Dann steht: Indem man zu einer Teilfolge übergeht, kann man annehmen, dass es ein $ l > 0 $ gibt, so dass
$$ [mm] P(X_i [/mm] > i) > l $$
für alle $ i [mm] \in \IN [/mm] $. Aus diesem Ding muss man das folgern können. Leider sehe ich nicht wie.
Mir ist auch nicht so klar, wieso ich eine solche Teilfolge wählen kann. Hilfe wäre also super :)
mfg
KalOR
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:20 Mi 18.01.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Di 17.01.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
