Ungleichung mit Potenzen < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:10 Mi 19.11.2008 | | Autor: | bene88 |
| Aufgabe | a,b [mm] \in \IR+, [/mm] x [mm] \in [/mm] [0,1]. Zeige:
[mm] (1+a)^x \le 1+a^x [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
hier wüsste ich nicht mal auf einen vernünftigen ansatz zu kommen. ich denke, dass eine weitere ungleichung benötige, kenne aber keine, die hier passen könnte außer dieser:
[mm] a^x \le [/mm] 1+x(a-1) , a [mm] ß\in \IR+ [/mm] , x [mm] \in [/mm] [0,1]
wenn ich das hier aber umforme hilft mir das nicht, denn das [mm] a^x [/mm] stünde in einer verkettung ja in der mitte.
1+x(a-1) [mm] \ge a^x \ge (1+a)^x [/mm] - 1
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:15 Mi 19.11.2008 | | Autor: | felixf |
Moin
> a,b [mm]\in \IR+,[/mm] x [mm]\in[/mm] [0,1]. Zeige:
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> [mm](1+a)^x \le 1+a^x[/mm]
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf
> anderen Internetseiten gestellt.
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> hier wüsste ich nicht mal auf einen vernünftigen ansatz zu
> kommen. ich denke, dass eine weitere ungleichung benötige,
> kenne aber keine, die hier passen könnte außer dieser:
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> [mm]a^x \le[/mm] 1+x(a-1) , a [mm]ß\in \IR+[/mm] , x [mm]\in[/mm] [0,1]
Ich glaube die bringt dir nichts.
Versuch doch mal folgendes: setze $f(x) := (1 + [mm] a)^x [/mm] - (1 + [mm] a^x)$. [/mm] Du musst also zeigen, dass $f(x) [mm] \le [/mm] 0$ gilt fuer $x [mm] \in [/mm] [0, 1]$.
Jetzt ist $f(0) = -1$ und $f(1) = 0$, wenn du also zeigen koenntest, dass $f$ auf $[0, 1]$ monoton steigend ist, bist du fertig.
Da $f'$ stetig ist, reicht es also zu zeigen, dass $f'(x) [mm] \neq [/mm] 0$ ist fuer $x [mm] \in [/mm] [0, 1]$.
Berechne doch mal $f'$ und ueberleg dir, wann und ob das 0 werden kann.
LG Felix
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