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Guten Abend zusammen
Bin gerade bei folgender Aufgabe und habe keine Ahnung wie ich dies zeigen soll:
Zeige, dass für alle [mm] x\in[0,3] [/mm] folgende zweiseitige Ungleichung gilt:
[mm] 1-\bruch{x^2}{2} \le [/mm] cos(x) [mm] \le [/mm] 1- [mm] \bruch{x^2}{2}+ \bruch{x^4}{24}
[/mm]
Nun ich weiss ja, dass cos(x) = [mm] \summe_{n=0}^{n} \bruch{x^{2n}}{(2n)!}
[/mm]
Aber wie kann ich damit nun die obige Ungleichung zeigen?
Hat mir jemand einen Tipp?
Liebe Grüsse
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:53 Di 26.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> Guten Abend zusammen
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> Bin gerade bei folgender Aufgabe und habe keine Ahnung wie
> ich dies zeigen soll:
>
> Zeige, dass für alle [mm]x\in[0,3][/mm] folgende zweiseitige
> Ungleichung gilt:
> [mm]1-\bruch{x^2}{2} \le[/mm] cos(x) [mm]\le[/mm] 1- [mm]\bruch{x^2}{2}+ \bruch{x^4}{24}[/mm]
>
> Nun ich weiss ja, dass cos(x) = [mm]\summe_{n=0}^{n} \bruch{x^{2n}}{(2n)!}[/mm]
Das stimmt nicht.
Richtig:
cos(x) = [mm]\summe_{n=0}^{n}(-1)^n \bruch{x^{2n}}{(2n)!}[/mm]
>
> Aber wie kann ich damit nun die obige Ungleichung zeigen?
> Hat mir jemand einen Tipp?
Zur Ungl.: cos(x) $ [mm] \le [/mm] $ 1- $ [mm] \bruch{x^2}{2}+ \bruch{x^4}{24} [/mm] $
Sei f(x)=cos(x)
Nach dem Satz von Taylor ist, für x [mm] \in [/mm] [0,3],
$cos(x) - (1- [mm] \bruch{x^2}{2}+ \bruch{x^4}{24}) =\bruch{f^{(5)}(s)}{5!}x^5$ [/mm] mit einem s [mm] \in [/mm] [0,x]
Damit ist auch s [mm] \in [/mm] [0,3]
Zeige nun: [mm] \bruch{f^{(5)}(s)}{5!}x^5 \le [/mm] 0.
Jetzt versuche Du Dich mal an
$ [mm] 1-\bruch{x^2}{2} \le [/mm] $ cos(x)
FRED
>
> Liebe Grüsse
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Hei fred
Vielen lieben Dank für deine Antwort.
Leider hatten wir den Satz von Taylor in der Vorlesung noch nicht, desshalb denke ich, dass man ihn auch noch nicht benutzen darf! Gibt es noch eine andere Möglichkeit.
Liebe Grüsse
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:59 Di 26.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hei fred
>
> Vielen lieben Dank für deine Antwort.
> Leider hatten wir den Satz von Taylor in der Vorlesung
> noch nicht, desshalb denke ich, dass man ihn auch noch
> nicht benutzen darf! Gibt es noch eine andere Möglichkeit.
Du hast
[mm] $\cos(x) [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n \bruch{x^{2n}}{(2n)!}$ [/mm]
Damit gilt
[mm] $\cos(x) \;\;\le\;\;1-x^2/2+x^4/24$
[/mm]
[mm] $\iff$ $\sum\limits_{n=3}^\infty (-1)^n \bruch{x^{2n}}{(2n)!}\;\;\le\;\;0$
[/mm]
[mm] $\iff$ $\sum_{n=3}^\infty(-1)^{n+1} \frac{x^{2n}}{(2n)!} \;\;\ge\;\;0\,.$
[/mm]
Es reicht also, zu zeigen, dass für $0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 3$ die letztstehende Reihe einen
Grenzwert [mm] $\ge 0\,$ [/mm] hat. Dafür ist es wiederum hinreichend, zu zeigen, dass
alle Folgenglieder dieser Reihe nicht negativ sind. Für ungerades [mm] $n\,$ [/mm] haben
wir sowieso nur Summanden [mm] $\ge 0\,.$ [/mm] Da wir mit einem ungeraden [mm] $n\,$ [/mm] starten,
reicht es also zu zeigen:
Für alle natürlichen ungeraden $n [mm] \ge [/mm] 3$ ist
[mm] $\frac{(-1)^{n+1}x^{2n}}{(2n)!}+\frac{(-1)^{n+1}x^{2(n+1)}}{(2(n+1))!}\;\;\ge\;\;0\,,$
[/mm]
d.h.
[mm] $\frac{x^{2n}}{(2n)!}-\frac{x^{2n+2}}{(2n+2)!}\;\;\ge\;\;0\,,$
[/mm]
sofern wir $0 [mm] \;\;\le\;\; [/mm] x [mm] \;\;\le\;\; [/mm] 3$ beachten!
Wenn Du das umformst, solltest Du sehen, dass es also hinreichend ist,
zu zeigen:
Für alle $0 [mm] \;\;\le\;\;x\;\;\le\;\;3$ [/mm] gilt: Für alle ungeraden natürlichen $n [mm] \;\;\ge\;\;3$
[/mm]
gilt:
[mm] $x^2\;\;\le\;\;4n^2+6n+2\,.$
[/mm]
Das ist keine große Kunst... (Die ganzen Überlegungen zeigen zudem:
Die Ungleichung
[mm] $\cos(x)\;\;\le\;\;1-x^2/2+x^4/24$
[/mm]
gilt sogar für alle [mm] $0\;\;\le\;\;x\;\;\le\;\;\sqrt{56}\,.$ [/mm] Tatsächlich kann man sogar
noch wesentlich mehr beweisen...)
Ürigens hier auch mal eine Alternative:
Wir definieren
[mm] $f(x)\;:=\;1-x^2/2+x^4/24-\cos(x)\,.$
[/mm]
Zu zeigen ist dann, dass [mm] $f(x)\;\;\ge\;\;0$ [/mm] für alle $0 [mm] \;\;\le\;\;x\;\;\le\;\;3\,.$
[/mm]
Da [mm] $f(0)=0\,$ [/mm] ist, reicht es, nachzuweisen, dass [mm] $f\,$ [/mm] auf $[0,3]$ wächst. Wir
zeigen sogar: [mm] $f\,$ [/mm] wächst auf [mm] $[0,\infty)\,.$
[/mm]
Es gilt nämlich
[mm] $f\,'(x)=x^3/6-x+\sin(x)\,,$
[/mm]
[mm] $f\,''(x)=x^2/2+\cos(x)-1\,,$
[/mm]
[mm] $f\,'''(x)=x-\sin(x)\,.$
[/mm]
[mm] $f\,''''(x)=1-\cos(x)\,.$
[/mm]
Da sogar für alle $x [mm] \in \IR$ $\cos(x) \in [/mm] [-1,1]$ gilt, gilt dies insbesondere auch
für alle $x [mm] \;\;\ge\;\;0\,.$
[/mm]
Also ist [mm] $f\,''''(x)=f^{(4)}(x)\;\;\ge\;\;0$ [/mm] für alle $x [mm] \ge [/mm] 0$ und damit ist [mm] $f\,'''=f^{(3)}$
[/mm]
monoton wachsend auf [mm] $[0,\infty)\,.$
[/mm]
Nun ist aber [mm] $f\,'''(0)=f^{(3)}(0)=0\,,$ [/mm] also muss wegen des Monotonieverhaltens
von [mm] $f^{(3)}=f\,'''$ [/mm] dann
[mm] $f^{(3)}(x)=f\,'''(x)\;\;\ge\;\;0$ [/mm]
für alle $x [mm] \ge [/mm] 0$ gelten. Also ist auch [mm] $f^{(2)}=f\,''$ [/mm] monoton wachsend auf [mm] $[0,\infty)\,.$
[/mm]
Um es kurz zu machen: Wegen [mm] $f\,''(0)=f^{(2)}(0)=0$ [/mm] erkennst Du somit, dass
[mm] $f\,''(x)=f^{(2)}(x)\;\;\ge\;\;0$ [/mm] für alle $x [mm] \ge [/mm] 0$ gilt. Also ist auch
[mm] $f\,'$ [/mm] monoton wachsend auf [mm] $[0,\infty)\,.$
[/mm]
Damit erkennst Du wiederum, dass [mm] $f\,'(x)\;\;\ge\;\;0$ [/mm] auf [mm] $[0,\infty)$ [/mm] gilt, also
ist auch [mm] $f\,$ [/mm] selbst monoton wachsend auf [mm] $[0,\infty)\,.$
[/mm]
Da [mm] $f(0)=0\,$ [/mm] ist, folgt sogar [mm] $f(x)\;\;\ge\;\;0$ [/mm] für alle $x [mm] \ge 0\,.$
[/mm]
Somit erkennen wir also
[mm] $1-x^2/2-x^4/24-\cos(x) \;\;\ge\;\;0$ [/mm] für alle $x [mm] \ge 0\,.$
[/mm]
Aus Symmetriegründen könnte man damit sogar direkt
[mm] [nomm]$1-x^2/2-x^4/24-\cos(x) \;\;\ge\;\;0$ [/mm] für alle $x [mm] \in \IR$[/nomm]
[/mm]
folgern.
Edit: Das war Quatsch...
Plotte Dir mal [mm] $f\,$ [/mm] (und am Besten auch mal [mm] $f\,',...,f\,''''=f^{(4)}$) [/mm] und Du siehst, dass diese
theoretischen Berechnungen/Überlegungen durchaus "erkennbar" sind!
P.S. Diese Lösung der Teil-Aufgabe ist sogar "schulgeeignet", sofern denn die
SchülerInnen akzeptieren (dürfen):
Ist [mm] $f\,$ [/mm] diff'bar auf einem Intervall [mm] $I\,$ [/mm] und ist für $x [mm] \in [/mm] I$ durchweg
[mm] $f\,'(x)\;\;\ge\;\;0\,,$
[/mm]
so ist [mm] $f\,$ [/mm] (nicht notwendig streng!) monoton wachsend auf [mm] $I\,.$ [/mm] (Beweisen
kann man das mit dem MWS, falls ihr einen solchen Satz noch nicht zur
Verfügung haben solltet!)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 21:02 Di 26.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Fred,
> > Guten Abend zusammen
> >
> > Bin gerade bei folgender Aufgabe und habe keine Ahnung wie
> > ich dies zeigen soll:
> >
> > Zeige, dass für alle [mm]x\in[0,3][/mm] folgende zweiseitige
> > Ungleichung gilt:
> > [mm]1-\bruch{x^2}{2} \le[/mm] cos(x) [mm]\le[/mm] 1- [mm]\bruch{x^2}{2}+ \bruch{x^4}{24}[/mm]
>
> >
> > Nun ich weiss ja, dass cos(x) = [mm]\summe_{n=0}^{n} \bruch{x^{2n}}{(2n)!}[/mm]
>
> Das stimmt nicht.
>
> Richtig:
>
> cos(x) = [mm]\summe_{n=0}^{\red{n}}(-1)^n \bruch{x^{2n}}{(2n)!}[/mm]
noch richtiger wird's, wenn man [mm] $\red{n}$ [/mm] durch [mm] $\infty$ [/mm] ersetzt. 
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:14 Di 26.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Guten Abend zusammen
>
> Bin gerade bei folgender Aufgabe und habe keine Ahnung wie
> ich dies zeigen soll:
>
> Zeige, dass für alle [mm]x\in[0,3][/mm] folgende zweiseitige
> Ungleichung gilt:
> [mm]1-\bruch{x^2}{2} \le[/mm] cos(x) [mm]\le[/mm] 1- [mm]\bruch{x^2}{2}+ \bruch{x^4}{24}[/mm]
wenn Du Dir mal den Plot von
$x [mm] \mapsto \cos(x)+x^2/2-1$
[/mm]
anguckst, siehst Du, dass die Einschränkung an [mm] $x\,$ [/mm] hier keinerlei Bedeutung
hat!
(Beweise: [mm] $\IR \ni [/mm] x [mm] \mapsto \cos(x)+x^2/2-1$ [/mm] nimmt ihr globales Minimum in [mm] $x=0\,$ [/mm] an!)
Gruß,
Marcel
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