Ungleichung von Bernoulli < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:12 Fr 27.10.2006 | | Autor: | feku |
| Aufgabe | Gegeben ist folgende Ungleichung:
[mm] (1+x)^{n}\ge1+nx [/mm] für [mm] n\in\IN\setminus\{0\} [/mm] und [mm] -1\le x<\infty [/mm] |
Ich habe zu dieser Ungleichung eine Frage. Überall steht diese Ungleichung nur mit dem Zusatz gilt für [mm] -1\le x<\infty [/mm] . Ich habe nun aber versucht, die Ungleichung zeichnerisch zu lösen und bin der Meinung, dass sie für alle [mm] x\ge-2 [/mm] gilt! Z.B. mit n=2 und x=-2 ist [mm] (1+(-2))^{2}\ge1+(-2)*(2)
[/mm]
= 1 [mm] \ge [/mm] -3 . Oder liege ich da falsch?
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Hallo Feku,
du scheinst erstmal recht zu haben, generell frage ich mich, warum da überhaupt eine Einschränkung vorliegt, da die vollst. Induktion ja keine Vorschreibt und ich es somit für alle x [mm] \in \IR [/mm] beweisen kann *wunder*.
n=1: 1+x [mm] \ge [/mm] 1+x [mm] \forall [/mm] x
n [mm] \to [/mm] n+1
[mm](1+x)^{n+1} = (1+x)(1+x)^n \ge (1+x)(1+nx) = 1 + x + nx +nx^2 \ge 1 + x + nx[/mm] da [mm] nx^2 \ge [/mm] 0 [mm] \forall [/mm] x
= 1 + (n+1)x
Wo krieg ich ne Einschränkung für x ??????????
Gruß,
Gono.
edit: Ah ok, habs. Die Aussage gilt nur für -1 [mm] \le [/mm] x [mm] \le \infty, [/mm] weil du es einfach nur dafür Beweisen kannst. Sicherlich kann es auch noch für mehr x gehen, wenn der Beweis allerdings nur für den Bereich geführt werden kann, dann gilt es eben nur dafür :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:11 Fr 27.10.2006 | | Autor: | feku |
Danke für die Antwort! Hatte mich eben nur gewundert, denn in meinen Büchern stehts mit diese Einschränkung, auf Wikipedia auch...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:19 Fr 27.10.2006 | | Autor: | feku |
Außerdem gilt diese Ungleichung definitiv nicht für alle x bei ungeraden n. Z.B. bei n=3 gilt die Ungleichung nicht mehr für x=-3!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:42 Fr 27.10.2006 | | Autor: | Sashman |
Moin feku und Gonozal!
Im Beweis der Bernoullischen Ungleichung liegt die Forderung $x>-1$ ein wenig versteckt, da nur damit $(1+x)>0$ gilt und die Voraussetzung eingesetzt werden darf. Nocheinmal schnell der Beweis
[mm] (1+x)^{n+1}=\underbrace{(1+x)^n(1+x)\stackrel{IV}{\ge}(1+nx)(1+x)}_{\text{genau an dieser stelle}}=\dots
[/mm]
Setzten wir hier für x mal -2 und für n=1 ein käme man auf:
[mm] $(1-2)^1=-1\ge [/mm] (1+1*(-1))(1+(-1))=0*0$
hoffe alle Klarheiten beseitigt zu haben
MfG
Sashman
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:53 Fr 27.10.2006 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
danke, habs ja in meinem edit dann auch geschrieben, daß es mir auch aufgefallen ist 
Der Sinn liegt einfach darin, daß wenn (1+x) negativ wird, die Abschätzung [mm] \ge [/mm] nicht mehr gilt.
Gruß,
Gono.
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