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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:35 Mi 22.11.2006 | | Autor: | Edi1982 |
| Aufgabe | Hallo Leute.
Ich soll folgende Ungleichung beweisen:
Für reelle Zahlen a,b [mm] \ge [/mm] 0 gilt
[mm] (\bruch{a+b}{2})^2 \ge [/mm] ab; |
Ich habe das ganze aufgelöst und habe nun:
[mm] a^2+2ab+b^2 \ge [/mm] 4ab;
2ab kürze ich weg:
[mm] a^2+b^2^ \ge [/mm] 2ab
nun habe ich
aa + bb [mm] \ge [/mm] ab + ab
wie sehe ich aber jetzt, dass es stimmt.
Kann mir mal jemand helfen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:45 Mi 22.11.2006 | | Autor: | Walde |
hi Edi,
> Hallo Leute.
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> Ich soll folgende Ungleichung beweisen:
>
> Für reelle Zahlen a,b [mm]\ge[/mm] 0 gilt
>
> [mm](\bruch{a+b}{2})^2 \ge[/mm] ab;
> Ich habe das ganze aufgelöst und habe nun:
>
> [mm]a^2+2ab+b^2 \ge[/mm] 4ab;
>
> 2ab kürze ich weg:
>
> [mm]a^2+b^2^ \ge[/mm] 2ab
>
> nun habe ich
>
> aa + bb [mm]\ge[/mm] ab + ab
>
> wie sehe ich aber jetzt, dass es stimmt.
>
>
> Kann mir mal jemand helfen.
na klar!
[mm]a^2+b^2\ge 2ab[/mm]
bring alles auf die linke Seite und wende dann die 2.binomische Formel (rückwärts) an. Dann solltest du es sehen. (Ich gehe davon aus,dass du weisst,dass Quadrate nie negativ sein können, ich wollte es nur nochmal erwähnen  )
L G walde
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:26 Do 23.11.2006 | | Autor: | Edi1982 |
| Aufgabe | Die Antwort ist einleuchtend. 
Aber was mache ich nun, wenn ich
[mm] (\bruch{a+b+c+d}{4})^4 \ge [/mm] abcd
für alle reellen a,b,c,d [mm] \ge [/mm] 0 zeigen muss. |
Ich habe versucht genauso vorzugehen wie in der oberen Aufgabe. Die Zahlen werden aber zu groß.
Ich bin mir sicher es gibt eine einfachere Lösung.
kann mir jemand vielleicht einen Tipp geben.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:24 Fr 24.11.2006 | | Autor: | Walde |
Hi Edi,
ok, also zu zeigen ist:
[mm](\bruch{a+b+c+d}{4})^4\ge abcd [/mm] für nichtnegative a,b,c,d.
Das ist äquivalent zu
[mm](a+b+c+d)^4\ge 4^4*abcd [/mm]
setze x:=a+b und y:=c+d , dann hast du
[mm] (a+b+c+d)^4=((x+y)^2)^2 [/mm] und x,y sind nichtnegativ.
Jetzt musst du einfach dein Ergebnis von oben anwenden: Du weisst, dass [mm] (a+b)^2\ge 4ab [/mm], für nichtnegative a,b.
Wenn du das auf dein aktuelles Problem andwendest, dann x und y resubstituierst und nochmal anwendest, hast du es da stehn.
Ich hoffe der Tipp war hilfreich. Falls du nicht drauf kommst, sag bescheid, dann helf ich dir weiter.
L G walde
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:42 Fr 24.11.2006 | | Autor: | Edi1982 |
| Aufgabe | Hallo.
Wie soll ich [mm] (a+b)^2 \ge [/mm] 4ab auf
[mm] ((x+y)^2)^2 [/mm] = [mm] 4^4*abcd [/mm] anwenden.
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Es kommt bei mir irgenwas komisches raus.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:40 Fr 24.11.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
setz x=(a+b)/2 und y=(c+d)/2
dann die ursprünglich Ungleichung, die dann quadrieren und dann auf [mm] x^2*y^2 [/mm] noch mal die Ungleichung jetzt für ab bzw cd anwenden.
Gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:05 Fr 24.11.2006 | | Autor: | Walde |
Hi Edi,
leduart hat dir ja schon geantwortet, aber ich wollte dir noch zeigen, was ich gemeint hatte:
wir hatten vorher
[mm] $(\bruch{a+b}{2})\ge [/mm] ab$
[mm] $\gdw (a+b)^2\ge [/mm] 4ab$
und nun:
[mm] (a+b+c+d)^4=[(x+y)^2]^2 \ge [4xy]^2=4^2*x^2*y^2=4^2*(a+b)^2*(c+d)^2\ge 4^2*4ab*4cd=4^4abcd
[/mm]
[mm] $\gdw (\bruch{a+b+c+d}{4})^4\ge [/mm] abcd$
L G walde
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