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| Aufgabe | Man zeige, dass für nicht-negative Zahlen a, b, c, d gilt:
a.) [mm] \forall [/mm] t > 0 : ab [mm] \le \bruch{1}{2t} a^{2 } [/mm] + [mm] \bruch{t}{2} b^{2}
[/mm]
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ich hänge tierisch am ansatz.... kann mir mal jemand einen tipp geben, wie ich da anfangen soll?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Vielen Dank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:18 Mo 23.04.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
(a/wurzel{t} - [mm] b*wurzel{t})^2 \ge [/mm] 0
Gruss leduart
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hä... das hilft mir nicht weiter.... wie kommst du darauf?
und was soll ich damit machen? nur noch zeigen, dass alle quadrate positiv sind.... aber was sagt das dann über a,b aus?
ich blicke das gerade null.... sorry.... *rotwird*
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Hallo,
ja Quadrate sind alle nichtnegativ.
Forme einfach leduarts Ansatz äquivalent um zu deinem Ausdruck:
[mm] $\left(\frac{a}{\sqrt{t}}-b\sqrt{t}\right)^2\ge [/mm] 0$
[mm] $\gdw \frac{a^2}{t}-2ab+b^2t\ge [/mm] 0$
[mm] $\gdw \frac{a^2}{t}+b^2t\ge [/mm] 2ab$
Nun nur noch durch 2 teilen und du hast genau die zu zeigende Aussage dastehen
Gruß
schachuzipus
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whhhaaaaaaaaaaa..... vielen dank, und wie erwartet war es eigentlich recht einfach..... vielen vielen dank, jungs....
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und wie zeige ich, dass für
ab [mm] \le [/mm] ( [mm] \bruch{a+b}{2})^{2}
[/mm]
a,b gilt????
komme nur bis 4 ab [mm] \le a^{2} [/mm] + [mm] b^{2}
[/mm]
und vermute mal, das ich in die völlig falsche richtung laufe....
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und wie zeige ich, dass für
ab [mm] \le \bruch{a+b}{2}^{2}
[/mm]
a,b gilt????
komme nur bis 4 ab [mm] \le a^{2} [/mm] + [mm] b^{2}
[/mm]
und vermute mal, das ich in die völlig falsche richtung laufe....
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Hallo!
Eines vorweg: Bitte vermeide Doppelpostings! Danke.
Desweiteren heiße ich dich hiermit ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> und wie zeige ich, dass für
>
> ab [mm]\le \bruch{a+b}{2}^{2}[/mm]
>
> a,b gilt????
>
>
> komme nur bis 4 ab [mm]\le a^{2}[/mm] + [mm]b^{2}[/mm]
>
> und vermute mal, das ich in die völlig falsche richtung
> laufe....
Ich vermute (da in den Postings davor eine Vielzahl von Variationen auftauchte) mal die Ungleichung lautet exakt:
[mm] ab\le\bruch{(a+b)^{2}}{2}
[/mm]
Rechne die gesamte Ungleichung mal 2:
[mm] \gdw 2ab\le(a+b)^{2}
[/mm]
Binom auf der rechten Seite ausmultiplizieren:
[mm] \gdw [/mm] 2ab [mm] \le a^{2}+2ab+b^{2}
[/mm]
Nun noch -2ab
0 [mm] \le a^{2}+b^{2}
[/mm]
Und das dies für alle a,b [mm] \in \IR [/mm] gilt, sollte klar sein.
Gruß,
Tommy
PS: Falls meine angenomme Ungleichung nicht die ist, welche du meinst, bitte Bescheid geben.
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nein, so einfach ist es leider nicht gewesen....
[mm] ab\le (\bruch{a+b}{2})^{2}
[/mm]
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Hallo WWI,
dann war dein erster Ansatz richtig. Einfach weiter umformen 
Also:
[mm] $ab\le\left(\frac{a+b}{2}\right)^2\gdw 4ab\le (a+b)^2\gdw 4ab\le a^2+2ab+b^2$
[/mm]
[mm] $\gdw 0\le a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$
[/mm]
Und das stimmt ja offensichtlich.
Da ausschließlich Äquivalenzumformungen gemacht wurden, ist also alles gezeigt.
Alternativ kannst du auch nur von unten nach oben argumentieren
Gruß
schachuzipus
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