Ungleichungen < Sonstiges < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:07 Do 01.11.2007 | | Autor: | Toni908 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie alle LÄosungen der folgenden Ungleichungen
a) |2x + [mm] 1|\ge|x- [/mm] 1|+ 1; [mm] x\in\IR [/mm] ;
b) |x²-9|/|x- [mm] 5|\ge [/mm] 2; [mm] x\in\IR: [/mm] |
das rechnen mit beträgen macht mir hier noch ein paar probleme.
a)
2x=1
x=0,5
korrekt?
zu b ist mir noch kein lösungsweg eingefallen
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:21 Do 01.11.2007 | | Autor: | ron |
Hallo
kann die Schwierigkeiten bei Beträgen gut verstehen. Als leichteren Einstieg schlage ich vor in Intervallen zu rechnen. Hintergrund ist das der Betrag für positive Wertebereiche weggelassen werden kann und für negative durch ein zusätzliches Minuszeichen ohne Betrag geschrieben werden kann.
ACHTUNG: immer die Intervalle für die x-Werte beachten bei der Rechnung und bei Division bzw. Multiplikation mit negativen Zahlen dreht sich das Ungleichheitszeichen um.
Zum Abschluss die Teilintervalle zusammenfügen zur Lösungsmenge.
Hoffe es hilft weiter.
Ron
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:05 Do 01.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Toni!
Leider schreibst Du nicht, wie Du auf die Lösung für die 1. Aufgabe gekommen bist.
Jedenfalls ist für das "Auflösen" der Betragsstriche jeweils eine Fallunterscheidung erforderlich:
Fall 1 $2x+1 \ [mm] \ge [/mm] \ 0$ [mm] $\gdw$ [/mm] $x \ [mm] \ge [/mm] \ [mm] -\bruch{1}{2}$
[/mm]
Fall 1.1 $x-1 \ [mm] \ge [/mm] \ 0$ [mm] $\gdw$ [/mm] $x \ [mm] \ge [/mm] \ 1$
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] $2x+1 \ [mm] \ge [/mm] \ x-1+1$
usw.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:54 Sa 03.11.2007 | | Autor: | Toni908 |
Also sind laut Fallunterscheidungen meine Ergebnisse dann
Fall 1
für 2x+1 [mm] \ge [/mm] 0 [mm] \Rightarrow x\ge-1/2
[/mm]
fall 1.1
für [mm] x-1\ge0 \Rightarrow x\ge1
[/mm]
Fall 2
für [mm] 2x+1\le [/mm] 0 [mm] \Rightarrow x\le1/2
[/mm]
Fall 2.2
für [mm] x-1\le0 \Rightarrow x\le-1
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:38 Sa 03.11.2007 | | Autor: | Toni908 |
ich habe mal die intervalle aufgemalt
1. [mm] x\ge [/mm] 1
2. [mm] x\le1 [/mm] ; [mm] x\ge1/2
[/mm]
3. [mm] x\le-1
[/mm]
4. [mm] x\ge-1 ;x\le-1/2
[/mm]
5. [mm] x\ge-1/2; x\le1/2
[/mm]
ist das so erstmal korrekt?
zum 1.
[mm] 2*1+1\ge [/mm] 1-1+1 wahre aussage!
zum 2.
2*1/2 [mm] \ge [/mm] 1/2 +-1+1 wahre Aussage
zum 3.
[mm] -2*1\ge-1-1+1
[/mm]
[mm] -1\ge-1 [/mm] wahre Aussage
zum 4.
[mm] 2*(-1/2)+1\ge-1/2
[/mm]
[mm] 0\ge-1/2
[/mm]
wahre Aussage
zum 5.
[mm] 2*(0)\ge0
[/mm]
wahre Aussage
was heist das jetzt für meine Lösungsmenge, das ich alle möglichen Zahlen für x einsetzten kann?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:29 Di 18.03.2008 | | Autor: | Toni908 |
Also ich bin in der Prüfungsvorbereitung und hab da noch so ein paar schwierigkeiten mit ungleichungen. ich versuche eine allgemeine Lösung zu finden, die ich auf alle ungleichungen anwenden kann.
Nehmen wir nochmal dieses Beispiel.
[mm] |2x+1|\ge [/mm] |x-1|+1
Da hatten wir ja 2 große Fallunterscheidungen und die jeweils auch nochmal unterschieden:
1. Fall [mm] |2x+1|\ge0 [/mm] => [mm] x\ge-1/2
[/mm]
1.1 Fall [mm] |2x+1|\ge0 [/mm] und [mm] |x-1|\ge0 [/mm] => [mm] x\ge-1/2 [/mm] und [mm] x\ge1
[/mm]
1.2 Fall [mm] |2x+1|\ge0 [/mm] und |x-1|<0 => [mm] x\ge-1/2 [/mm] und x<1
2. Fall |2x+1|<0 => x< -1/2
2.1 Fall |2x+1|<0 und [mm] |x-1|\ge0 [/mm] => x< -1/2 und [mm] x\ge1
[/mm]
2.2 Fall |2x+1|<0 und |x-1|<0 => x< -1/2 und x<1
Wie rechne ich dann nun weiter, ich denke so kann man es für jede ungleichung erstmal aufschreiben.
LG Toni
|
|
|
| |
|
Hi, Toni,
> Also ich bin in der Prüfungsvorbereitung und hab da noch so
> ein paar schwierigkeiten mit ungleichungen. ich versuche
> eine allgemeine Lösung zu finden, die ich auf alle
> ungleichungen anwenden kann.
>
> Nehmen wir nochmal dieses Beispiel.
> [mm]|2x+1|\ge[/mm] |x-1|+1
>
> Da hatten wir ja 2 große Fallunterscheidungen und die
> jeweils auch nochmal unterschieden:
>
> 1. Fall [mm]|2x+1|\ge0[/mm] => [mm]x\ge-1/2[/mm]
So darfst Du das nicht schreiben, denn Beträge sind per se IMMER [mm] \ge [/mm] 0!
Daher: 1.Fall: 2x+1 [mm] \ge [/mm] 0 <=> x [mm] \ge [/mm] -1/2. usw.
(Gilt natürlich für Deine weitere Rechnung auch!)
> 1.1 Fall [mm]|2x+1|\ge0[/mm] und [mm]|x-1|\ge0[/mm] => [mm]x\ge-1/2[/mm] und [mm]x\ge1[/mm]
ergibt zusammengefasst: x [mm] \ge [/mm] 1.
> 1.2 Fall [mm]|2x+1|\ge0[/mm] und |x-1|<0 => [mm]x\ge-1/2[/mm] und x<1
Ergibt kurz: -1/2 [mm] \le [/mm] x < 1
> 2. Fall |2x+1|<0 => x< -1/2
> 2.1 Fall |2x+1|<0 und [mm]|x-1|\ge0[/mm] => x< -1/2 und [mm]x\ge1[/mm]
Ergibt letztlich: leere Menge
> 2.2 Fall |2x+1|<0 und |x-1|<0 => x< -1/2 und x<1
Ergibt: x < -1/2
> Wie rechne ich dann nun weiter, ich denke so kann man es
> für jede ungleichung erstmal aufschreiben.
Dir bleiben demnach insgesamt 3 Fälle, für die Du die Ungleichungen lösen musst.
Ich rechne Dir mal den letzten Fall (2.2) vor:
Hier gilt: |2x+1| = -(2x+1) = -2x - 1 und auch |x-1| = -(x-1) = -x + 1
Daher kannst Du die Ungleichung betragstrichfrei so schreiben:
-2x - 1 [mm] \ge [/mm] -x + 1 + 1
<=> -2x + x [mm] \ge [/mm] 3
<=> -x [mm] \ge [/mm] 3
<=> x [mm] \le [/mm] -3
Fall 2.2 gilr (wie oben begründet) nur für x < -1/2,
was an der Lösungsmenge [mm] L_{2.2} [/mm] nichts ändert; sie beträgt:
[mm] L_{2.2} [/mm] = [mm] ]-\infty; [/mm] -3].
Analog berechne die anderen Teillösungsmengen,
deren Vereinigungsmenge am Ende die Gesamtlösungsmenge ergibt.
mfG!
Zwerglein
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:24 Di 18.03.2008 | | Autor: | Toni908 |
Hallo,
Danke für deine Antwort!
Ich hätte oben überall die Betragsstriche weglassen sollen, da ich durch meine Fallunterscheidungen quasi die Beträge "aufgelöst" habe.
ich habe ja nun die drei Fälle. Wenn jetzt wie hier in 2.2 gilt, dass x < -1/2 ist setzte ich dann immer in der gleichung ein minus vor die Terme mit den betragsstrichen und lass die betragsstriche dann weg? Also ich meine wenn jetzt z.b x< -3 oder x< -2 etc gilt. Ich hoffe du verstehst was ich meine.
habe mal versucht Fall 1.1 zu lösen.
da hier gilt [mm] x\ge1 [/mm] hab ich |2x+1| =2x+1 und |x-1|=x-1
=> [mm] 2x+1\gex-1+1
[/mm]
=> [mm] x\ge-1
[/mm]
[mm] L_{1.1} [/mm] = [mm] ]-\infty; [/mm] -1]
Wie bist du oben bei 2.2 auf die Lösungsmenge gekommen, also ich meine minus unendlich ausgeschlossen?
Zu Fall 1.2
[mm] -2x-1\ge [/mm] x-1+1
[mm] x\ge-1/3 [/mm]
hier bin ich mir absolut nicht sicher!
Gruß, Toni
|
|
|
| |
|
Hi, Toni,
> Ich hätte oben überall die Betragsstriche weglassen sollen,
> da ich durch meine Fallunterscheidungen quasi die Beträge
> "aufgelöst" habe.
So ist es!
> ich habe ja nun die drei Fälle. Wenn jetzt wie hier in 2.2
> gilt, dass x < -1/2 ist setzte ich dann immer in der
> gleichung ein minus vor die Terme mit den betragsstrichen
> und lass die betragsstriche dann weg? Also ich meine wenn
> jetzt z.b x< -3 oder x< -2 etc gilt. Ich hoffe du verstehst
> was ich meine.
Naja: So ungefähr!
Dort wo z.B. 2x+1 < 0 gilt, musst Du ein Minus davorsetzen,
dort wo 2x+1 [mm] \ge [/mm] 0 ist, bleibt das Vz erhalten.
> habe mal versucht Fall 1.1 zu lösen.
>
> da hier gilt [mm]x\ge1[/mm] hab ich |2x+1| =2x+1 und |x-1|=x-1
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> => [mm]2x+1\ge x-1+1[/mm]
> => [mm]x\ge-1[/mm]
Richtig!
Aber beachte, dass im Fall 1.1 nur x-Werte betrachtet werden,
für die gilt: x [mm] \ge [/mm] 1.
Demnach: x [mm] \ge [/mm] 1 [mm] \wedge \quad [/mm] x [mm] \ge [/mm] -1
In Worten: Du suchst Zahlen, die SOWOHL rechts von 1 ALS AUCH RECHTS von -1 liegen.
Wo liegen die?
Skizziere Dir das auf der Zahlengeraden und Du wirst sehen:
Die liegen rechts von 1.
Intervallschreibweise: [ 1 ; + [mm] \infty [/mm] [
> [mm]L_{1.1}[/mm] = [mm]]-\infty;[/mm] -1]
Das ist das Intervall LINKS (!) von -1;
als Ungleichung geschrieben wäre das: x [mm] \le [/mm] -1
Faustregel:
x < k : Pfeil zeigt nach links (< !!); die Zahlen liegen links von k.
x > k : Pfeil zeigt nach rechts (> !!); die Zahlen liegen rechts von k.
mfG!
Zwerglein
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:33 Mi 19.03.2008 | | Autor: | Toni908 |
hallo,
wenn ich mir das aufmale, dann liegen die zahlen rechts von -1 ?!
Also dann quasi [-1; + [mm] \infty [/mm] [
oben hatte ich gestern noch nachträglich Fall 1.2 bearbeitet. Würdest du da bitte noch einmal drüber schauen?
LG Toni
|
|
|
| |
|
Hi, Toni,
> wenn ich mir das aufmale, dann liegen die zahlen rechts von
> -1 ?!
>
> Also dann quasi [-1; + [mm]\infty[/mm] [
Nochmals ganz deutlich: Der 1.Fall gilt nur für x [mm] \ge [/mm] 1; demnach gilt:
x [mm] \ge [/mm] 1 [mm] \wedge [/mm] x [mm] \ge [/mm] -1
und daraus ergibt sich: x [mm] \ge [/mm] 1 oder: [mm] L_{1.1} [/mm] = [ +1; [mm] +\infty [/mm] [
> oben hatte ich gestern noch nachträglich Fall 1.2
> bearbeitet. Würdest du da bitte noch einmal drüber
> schauen?
Na gut!
Du hast geschrieben:
> -2x - 1 [mm] \ge [/mm] x - 1 + 1
was bereits falsch ist, denn im Fall 1.2 gilt 2x+1 [mm] \ge [/mm] 0 und x-1 < 0
woraus wir zunächst schließen: -1/2 [mm] \ge [/mm] x < 1 bzw. x [mm] \in [/mm] [-1/2 ; 1 [.
In der Ungleichung musst Du nun logischer Weise |2x+1| = 2x+1 und |x-1| = -x+1 schreiben, wodurch Du erhältst:
2x+1 [mm] \ge [/mm] -x+1+1
und daraus berechnest Du: 3x [mm] \ge [/mm] 1 oder: x [mm] \ge [/mm] 1/3
Insgesamt hast Du also: -1/2 [mm] \ge [/mm] x < 1 [mm] \wedge [/mm] x [mm] \ge [/mm] 1/3,
was (mit Hilfe einer Skizze) zu folgender Lösungsmenge führt:
[mm] L_{1.2} [/mm] = [-1/3 ; 1 [.
So; nun löse noch den Fall 2.2 und Du bist fertig!
mfG!
Zwerglein
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:26 Mi 19.03.2008 | | Autor: | Toni908 |
hallo Erwin,
ich muss dann also mein ergebnis nochmal mit dem was ich vorher in der fallunterscheidung raus hatte überprüfen und somit meine Lösungsmenge einschränken.
-2x - [mm] 1\ge [/mm] -x + 1 + 1
<=> -2x + x [mm] \ge [/mm] 3
<=> [mm] -x\ge [/mm] 3
<=> x [mm] \le [/mm] -3
[mm] L_{2.2} [/mm] = [mm] ]-\infty; [/mm] -3]
[mm] L_{ges} [/mm] =[ -1/3; 1]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:11 Mi 19.03.2008 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, Toni,
> hallo Erwin,
>
> ich muss dann also mein ergebnis nochmal mit dem was ich
> vorher in der fallunterscheidung raus hatte überprüfen und
> somit meine Lösungsmenge einschränken.
>
> -2x - [mm]1\ge[/mm] -x + 1 + 1
> <=> -2x + x [mm]\ge[/mm] 3
> <=> [mm]-x\ge[/mm] 3
> <=> x [mm]\le[/mm] -3
>
> [mm]L_{2.2}[/mm] = [mm]]-\infty;[/mm] -3]
> [mm]L_{ges}[/mm] =[ -1/3; 1]
Nein!
[mm] L_{ges} [/mm] = [mm] L_{1.1} \cup L_{1.2} \cup L_{2.2} [/mm] = [mm] \IR [/mm] \ ] -3 ; 1/3 [
mfG!
Zwerglein
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:36 Sa 03.11.2007 | | Autor: | Toni908 |
hier habe ich ebennfalls Fallunterscheidungen gemacht.
1.Fall
[mm] x²-9\ge0 \Rightarrow x\ge3
[/mm]
1.1
[mm] x-5\ge0 \Rightarrow x\ge5
[/mm]
2.Fall
x² kann nicht negativ sein
[mm] x²-9\le0 \Rightarrow x\le3
[/mm]
2.1
[mm] x-5\le0 \Rightarrow x\le-5
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:45 Sa 03.11.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
> hier habe ich ebennfalls Fallunterscheidungen gemacht.
>
> 1.Fall
> [mm]x²-9\ge0 \Rightarrow x\ge3[/mm]
>
> 1.1
> [mm]x-5\ge0 \Rightarrow x\ge5[/mm]
>
> 2.Fall
> x² kann nicht negativ sein
> [mm]x²-9\le0 \Rightarrow x\le3[/mm]
>
> 2.1
> [mm]x-5\le0 \Rightarrow x\le-5[/mm]
Korrekt, also hast du fünf Intervalle zu beachten.
1. [mm] x\ge5 [/mm]
2. [mm] x\ge3 [/mm] und [mm] x\le5
[/mm]
3. [mm] x\le-5 [/mm]
4. [mm] x\ge-5 [/mm] und [mm] x\le-3
[/mm]
5. [mm] x\le3 [/mm] und [mm] x\ge-3
[/mm]
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:25 Sa 03.11.2007 | | Autor: | Toni908 |
ich hab mir das mal aufgemalt!
dann gerechnet:
also ich habs einfach mal eingesetzt [mm] x\not=5 [/mm] da division durch 5 nicht definiert ist.
also bei x>5 ist es wahr.
für 3 ist es falsch
0/-2 =0 null ist nicht größer als 2
für 4 ist es falsch
-7/1 sind nicht größer als 2
für [mm] x\le-5 [/mm] ist es falsch
-16/10 sind nicht größer als 2
für -4 ist es falsch
-7/9 sind nicht größer als 2
für -3 auch falsch
-0/8=0 ist nicht größer als 2
also muss x>5 sein!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:51 So 04.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Toni!
Auch hier gilt wieder: nicht "irgendwelche Zahlen" einsetzen, sondern anhand der Fallunterscheidungen ausrechnen.
Zuerst sollte man hier mal die Ungleich mit $|x-5| \ > \ 0$ multiplizieren:
[mm] $$\left|x^2-9\right| [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ 2*|x-5|$$
Fall 1: [mm] $x^2-9 [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ 0$ [mm] $\gdw$ [/mm] $|x| \ [mm] \ge [/mm] \ 3$ [mm] $\gdw$ [/mm] $x \ [mm] \le [/mm] \ -3 \ \ [mm] \vee [/mm] \ \ +3 \ [mm] \le [/mm] \ x$
[mm] $\Rightarrow$ $\left|x^2-9\right| [/mm] \ = \ [mm] +\left(x^2-9\right) [/mm] \ = \ [mm] x^2+9$
[/mm]
Fall 1.1: $x-5 \ > \ 0$ ($x-5=0_$ ist ausgeschlossen, da es nicht zur Definitionsmenge gehört) [mm] $\gdw$ [/mm] $x \ > \ 5$
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] $|x-5| \ = \ +(x-5) \ = \ x-5$
Im Fall 1.1 gilt also als Definitionsmenge:
[mm] $$D_{1.1} [/mm] \ = \ [mm] \left\{ \ x \ \le \ -3 \ \ \vee \ \ +3 \ \le \ x \ \right\} [/mm] \ [mm] \cap [/mm] \ [mm] \left\{ \ x \ > \ 5 \ \right\} [/mm] \ = \ [mm] \left\{ \ x \ > \ 5 \ \right\}$$
[/mm]
Damit ergibt sich als zu lösende Ungleichung:
[mm] $$x^2-9 [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ 2*(x-5) \ = \ 2*x-10$$
[mm] $$x^2+2*x+1 [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ 0$$
[mm] $$(x+1)^2 [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ 0$$
Diese Ungleichung ist wegen des [mm] $(...)^2$ [/mm] für alle $x_$ des entsprechenden Definitionsbereiches [mm] $D_{1.1}$ [/mm] erfüllt. Es ergibst sich als entsprechende (Teil-)Lösungsmenge:
[mm] $$\IL_{1.1} [/mm] \ = \ [mm] D_{1.1} [/mm] \ = \ [mm] \left\{ \ x \ > \ 5 \ \right\}$$
[/mm]
Kommen wir damit zum Fall 1.2 ...
Fall 1.2: $x-5 \ < \ 0$ [mm] $\gdw$ [/mm] $x \ < \ 5$
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] $|x-5| \ = \ -(x-5) \ = \ -x+5$
Im Fall 1.2 gilt also als Definitionsmenge:
[mm] $$D_{1.2} [/mm] \ = \ [mm] \left\{ \ x \ \le \ -3 \ \ \vee \ \ +3 \ \le \ x \ \right\} [/mm] \ [mm] \cap [/mm] \ [mm] \left\{ \ x \ < \ 5 \ \right\} [/mm] \ = \ [mm] \left\{ \ x \ \le \ -3 \ \ \vee \ \ +3 \ \le \ x \ < \ 5 \ \right\}$$
[/mm]
Damit ergibt sich als zu lösende Ungleichung:
[mm] $$x^2-9 [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ 2*(-x+5) \ = \ -2*x+10$$
[mm] $$x^2+2*x-19 [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ 0$$
[mm] $$\left(x-1-2*\wurzel{5} \ \right)*\left(x-1+2*\wurzel{5} \ \right) [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ 0$$
[mm] $$\left(x-5.47\right)*\left(x-3.47\right) [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ 0$$
Ein Produkt aus zwei Faktoren ist positiv, wenn beide Faktoren positiv oder beide Faktoren negativ sind. also weitere Fallunterscheidungen ...
Aber nun bist Du langsam wieder dran ...
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:09 Sa 03.11.2007 | | Autor: | thuky |
Wie sieht es für x=1 aus? Um abschätzen zu können ,ob du die Fallunterscheidungen richtig durchgeführt hast,solltest du die beiden Seiten der Gleichung als Funktion in ein Grafikprogramm eingeben.Die Schnittpunkte der Graphen ergeben die Ränder der Intervalle (Alternative:Nullstellen der Differenz der beiden Gleichungsseiten)
|
|
|
|
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Das solltest Du nun einmal mit meinen o.g. Korrekturen mit den zusätzlichen _Fällen abgleichen.
![[aeh]](/images/smileys/aeh.gif "[aeh]"){kind=small}
Was machst Du denn hier? Du musst nun in Abhängigkeit der jeweiligen Fälle die Betragsstriche auflösen und dann die insgesamt 4 Ungleichungen bestimmen.
