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Hallo. Ich habe mal eine schnelle aber wichtige Frage. die Aufgabe lautet, folgende Ungleichung zu lösen: [mm] \bruch{x+3}{x-1} \ge [/mm] x
Zunächst mache ich jetzt folgende Fallunterscheidung:
x-1>0 bzw. x>1
Das führt mich auf: [mm] \bruch{x+3}{x-1} \ge [/mm] x [mm] \to [/mm] x+3 [mm] \ge x^2-x \to [/mm] 0 [mm] \ge x^2-2x-3 [/mm] bzw. [mm] x^2-2x-3 \le [/mm] 0
Mit der p.q. Formel erhalte ich als Nullstellen [mm] x_1=3 [/mm] und [mm] x_2=-1
[/mm]
Ich mache außerdem eine weitere folgende Fallunterscheidung:
x-1<0 bzw. x<0
Das führt mich auf: [mm] \bruch{x+3}{x-1} \ge [/mm] x [mm] \to [/mm] x+3 [mm] \le x^2-x \to [/mm] 0 [mm] \le x^2-2x-3 [/mm] bzw. [mm] x^2-2x-3 \ge [/mm] 0
Mit der p.q. Formel erhalte ich ebenfalls als Nullstellen [mm] x_1=3 [/mm] und [mm] x_2=-1
[/mm]
Ich verstehe nun leider den letzten und alles engtscheidenden Schritt nicht. Wie erkenne ich nun meine Lösung für die Ungleichung. Muss ich die Rechnung noch weiter fortsetzen?
Mit freundlichen Grüßen domenigge135
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:12 Mo 21.04.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo domenigge!
Ein Produkt aus zwei Faktoren ist genau dann negativ, wenn beide Faktoren unterschiedliche Vorzeichen haben ("Minus mal Plus" bzw. "Plus mal Minus").
Gruß
Loddar
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Okay das ist mir klar. Aber in wiefern kann ich das jetzt weiter anwenden?
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Dass du schon mal die beiden Werte [mm] x_{1}=-1 [/mm] und [mm] x_{2}=3 [/mm] raus hast, ist doch schon mal die halbe Miete.
Nun musst du doch nur noch x-beliebige Werte in die Ungleichung einsetzen, die
a) kleiner sind als -1
b) zwischen -1 und 3 liegen
c) größer sind als 3
Dann siehst du doch, für welche Werte die Ungleichung stimmt und für welche nicht.
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Okay das wäre eine Möglichkeit. Aber bei ,,Probieren'' bin ich mir immer so ein bischen unsicher. Deshalb dachte ich, man könnte das vielleicht auch berechnen.
Gut Also wenn ich jetzt die beiden Fälle
[mm] x^2-2x-3 \ge [/mm] 0
[mm] x^2-2x-3 \le [/mm] 0 habe und dann [mm] x_1=3 [/mm] und [mm] x_2=-1 [/mm] daraus berechne, was würdest du denn als Lösung erhalten? Ich soll das als Vereinigung angeben.
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Aufgrund des Bruches - der Nenner darf niemals NULL werden - kann man sehen, dass es noch eine weitere Grenze gibt.
Nämlich [mm] x_{3}=1
[/mm]
Jetzt hast du also drei solcher Grenzen: -1 , 1 und 3
Nun nimm eine Zahl, die kleiner ist als -1: z.B. -10.
Dann erhältst du [mm] \bruch{-10+3}{-10-1}>-10
[/mm]
Nun nimm eine Zahl, die zwischen -1 und 1 liegt: z.B. Null
Dann erhältst du [mm] \bruch{0+3}{0-1}<0
[/mm]
Nun nimm eine Zahl, die zwischen 1 und 3 liegt: z.B. 2
Dann erhältst du [mm] \bruch{2+3}{2-1}>2
[/mm]
Nun nimm eine Zahl, die größer ist als 3: z.B. 10.
Dann erhältst du [mm] \bruch{10+3}{10-1}<10
[/mm]
Nun kannst du ganz klar erkennen, bei welchen Zahlen deine Ungleichung hinhaut und wo nicht.
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Gut das müsste dann, nach deiner Erklärung die Lösung [mm] L=]-\infty;-1]\cup]1;3] [/mm] ergeben.
Aber setze ich jetzt z.B. -2 ein, dann erhalte ich [mm] \bruch{1}{-3}\ge-2 [/mm] und das kann ja nicht stimmen. Deshalb habe ich gedacht, man könnte das vielleicht auch genau berechnen. Die auf der uni wollen das ja meistens exakt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:34 Di 22.04.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo domenigge!
... [mm] $-\bruch{1}{3}$ [/mm] ist doch größer als $-2_$ . Also alles okay!
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:01 Di 22.04.2008 | | Autor: | rabilein1 |
Wie Loddar schon schrieb: Es ist völlig egal, ob man das mit -2 oder -10 probiert. Hauptsache kleiner als Minus Eins.
Es gibt natürlich viele Wege, die nach Rom führen, und rein mathematisch gesehen ist der von mir genannte Weg nicht der Eleganteste, aber meines Erachtens ist er sehr effektiv:
Man setzt anstelle des Ungleichheitszeichens (welches meist dazu führt, dass man alle möglichen und unmöglichen Fall-Unterscheidungen machen muss) ...
also: Man setzt anstelle des Ungleichheitszeichens ein Gleichheitszeichen. Auf diese Weise kriegt man raus, an welchen Stellen eine Veränderung auftritt (Die Ungleichung stimmt - Die Ungleichung stimmt nicht).
Und dann kann man mit irgend einer Zahl zwischen diesen Grenzen prüfen, ob dort die Ungleichung stimmt oder nicht.
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