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Hallo ich habe mal eine wichtige Frage. Die Aufgabe lautet folgende Ungleichung zu berechnen:
[mm] |8x-5|\le|7x+15|
[/mm]
Ich suche mir die kritischen Stellen. Diese sind [mm] \bruch{5}{8} [/mm] und [mm] \bruch{-15}{7}
[/mm]
Wenn ich mir das ganze auf einem Zahlenstrahl angucke, dann erkenne ich, dass ich dafür 3 Fälle brauch.
1. Fall: [mm] x<\bruch{-15}{8}, [/mm] Woher weiß ich denn, dass in diesem Fall sowohl 8x-5<0 und 7x+15<0??? Oder ist das immer so???
2. Fall: [mm] \bruch{-15}{7}
3. Fall [mm] \bruch{5}{8}, [/mm] Woher weiß ich denn, dass in diesem Fall sowohl 8x-5>0 und 7x+15>0??? Oder ist das hier auch immer so???
Ich habe eigentlich nur Probleme eine Entscheidung darüber zu treffen wie sich 8x-5 und 7x+15 in diesen 3 Fällen verhalten. Im ersten Fall bin ich der Meinung habe ich ja für beide immer den negativen Fall. Im 3. bin ich der Meinung habe ich ja für beide immer den positiven Fall. Aber woher weiß ich, welchen der beiden ich im 2. Fall negativ und welchen positiv wähle???
Mit freundlichen Grüßen domenigge135
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:04 Mi 07.05.2008 | | Autor: | MacMath |
Naja du könntest feststellen dass innerhalb der Beträge jeweils lineare Funktionen stehen, beide haben eine positive Steigung da der Koeffizient vor dem x kein negatives Vorzeichen hat. Wenn man sich nun überlegt was "lineare Gleichung" bedeutet sieht man dass sie wohl vor ihrer Nullstelle negativ, und danach positiv sein müssen. Nachvollziehbar?
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Ja es geht.
Wie wäre denn z.B. folgendes Beispiel???
[mm] |8x-5|\le|7x+15|
[/mm]
|8x-5|=8x-5, für 8x-5>0 also [mm] x>\bruch{5}{8}
[/mm]
|8x-5|=-(8x-5), für 8x-5<0 also [mm] x<\bruch{5}{8}
[/mm]
|7x+15|=7x+15, für 7x+15>0 also [mm] x>\bruch{-15}{7}
[/mm]
|7x+15|=-(7x+15), für 7x+15<0 also [mm] x<\bruch{-15}{7}
[/mm]
jetzt wähle ich im 1. Fall: [mm] x<\bruch{-15}{7}<\bruch{5}{8}
[/mm]
Und daraus erkennt man ja, dass beide negativ sein müssen.
jetzt wähle ich im 2. Fall: [mm] \bruch{-15}{7}
Und daraus erkennt man ja, dass 7x+15 positiv sein muss und 8x-5 negativ sein muss.
jetzt wähle ich im 3. fall: [mm] \bruch{-15}{7}<\bruch{5}{8}
Und daraus erkennt man ja, dass beide positiv sein müssen.
Ich hoffe das ist es... 
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:42 Mi 07.05.2008 | | Autor: | MacMath |
Absolut korrekter weg!
Wenn du es nicht aufschreiben musst geht es dennoch schneller sich zu überlegen dass zB 8x-15 eine steigende Gerade repräsentiert.
Übersetze steigend mit "rechts groß, links klein".
Damit ist der term genau dann negtiv wenn x kleiner als die Nullstelle ist.
Da du es in Aufgaben aber eh begründen musst ist in diesem Fall dein Weg vorzuziehen.
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Alles klar da bin ich leider wieder
Ich habe ein Problem mit folgender Ungleichung:
|x+1| [mm] \le [/mm] |x-1|
|x+1|=x+1, für x+1>0
|x+1|=-(x+1), für x+1<0
|x-1|=x-1, für x-1>0
|x-1|=-(x-1), für x-1<0
1. Fall: x<-1<1
|x+1| [mm] \le [/mm] |x-1|
-(x+1) [mm] \le [/mm] -(x-1)
-x-1 [mm] \le [/mm] -x+1
0 [mm] \le [/mm] 2
mit diesem Ergebnis kann ich nichts Anfangen. Ist das ein Widerspruch oder nicht???
2. Fall -1<x<1
|x+1| [mm] \le [/mm] |x-1|
x+1 [mm] \le [/mm] -(x-1)
x+1 [mm] \le [/mm] -x+1
2x [mm] \le [/mm] 0
mit diesem Ergebnis kann ich ebenfalls nichts Anfangen. Ist das ein Widerspruch oder nicht???
3. Fall -1<1<x
|x+1| [mm] \le [/mm] |x-1|
x+1 [mm] \le [/mm] x-1
0 [mm] \le [/mm] -2
mit diesem Ergebnis kann ich ebenfalls nichts Anfangen. Ist das ein Widerspruch oder nicht???
Ich würde jetzt sagen, alles 3 Fälle sind Widersprüche und somit gibt es keine Lösung für diese Ungleichung
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:43 Mi 07.05.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Alles klar da bin ich leider wieder
>
> Ich habe ein Problem mit folgender Ungleichung:
>
> |x+1| [mm]\le[/mm] |x-1|
>
> |x+1|=x+1, für x+1>0
> |x+1|=-(x+1), für x+1<0
> |x-1|=x-1, für x-1>0
> |x-1|=-(x-1), für x-1<0
>
> 1. Fall: x<-1<1
> |x+1| [mm]\le[/mm] |x-1|
> -(x+1) [mm]\le[/mm] -(x-1)
> -x-1 [mm]\le[/mm] -x+1
> 0 [mm]\le[/mm] 2
> mit diesem Ergebnis kann ich nichts Anfangen. Ist das ein
> Widerspruch oder nicht???
Naja, laut Fallunterscheidung gilt: x<-1
Und da [mm] 0\le2 [/mm] eine wahre aussage ist, gilt die Ungleichung für diesen Fall 1.
Also:
[mm] \IL_{1}=\{x<-1\}
[/mm]
>
> 2. Fall -1<x<1
> |x+1| [mm]\le[/mm] |x-1|
> x+1 [mm]\le[/mm] -(x-1)
> x+1 [mm]\le[/mm] -x+1
> 2x [mm]\le[/mm] 0
[mm] \gdw x\le0.
[/mm]
Jetz gilt Laut Fallunterscheidung: -1<x< und nach Lösung der Ungleichung [mm] x\le0 [/mm] Also ist die Schnittmenge beider "Einschränkungen" [mm] -1
Also:
[mm] \IL_{2}=\{-1
>
> 3. Fall -1<1<x
> |x+1| [mm]\le[/mm] |x-1|
> x+1 [mm]\le[/mm] x-1
> 0 [mm]\le[/mm] -2
Naja [mm] 0\le-2 [/mm] ist definitiv falsch, also gilt für x>1: [mm] \IL_{3}=\{\}
[/mm]
Für die Gesamtlösung [mm] \IL_{gesamt} [/mm] suche nun die Vereinigung dieser Teillösungen:
Also: [mm] \IL_{gesamt}=\IL_{1}\cup\IL_{2}\cup\IL_{3}=\{x<-1\}\cup\{-1
Marius
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