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Forum "Lineare Gleichungssysteme" - Ungleichungen
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Ungleichungen: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 23:31 Do 18.11.2010
Autor: dani_123

Aufgabe
Beweise:  [mm] 2+\bruch{1}{an} [/mm] < [mm] 2+\bruch{1}{a_(_n_+_1_)} [/mm]

Bitte, kann mir jemand helfen!

Ich schaffe es einfach nicht diese Ungleichung zu lösen!!

Danke
Dani

        
Bezug
Ungleichungen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:01 Fr 19.11.2010
Autor: Walde

Hi dani_123

ich glaube dir kann nur jemand helfen, wenn du die ganze Aufgabe postest. Zumindest die Definition der Folge [mm] (a_n)_n. [/mm]

LG walde

Bezug
                
Bezug
Ungleichungen: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 00:11 Fr 19.11.2010
Autor: dani_123

Aufgabe
[mm] a_n_+_1.= 2+\bruch{1}{a_n} [/mm]
[mm] Startwert:a_0= [/mm] 2

Okay, sorry!
Also:
Ist eine rekursive Folge. Ich muss beweisen, dass sie beschränkt sowie monoton ist!

Meine überlegung war, dass die obere Schranke 2,5 ist und die Unter 0.
Zudem beweise ich, dass sie monoton fallend ist!

Nur da komme ich nicht weiter denn dann muss ich ja die Ungleichung [mm] a_n_+_1 >a_n_+_2 [/mm] lösen! Mit Vollständiger Induktion.

Oder stimmt da schon mal was nicht?!

Bezug
                        
Bezug
Ungleichungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:46 Fr 19.11.2010
Autor: Walde


> [mm]a_n_+_1.= 2+\bruch{1}{a_n}[/mm]
>  [mm]Startwert:a_0=[/mm] 2
>  Okay, sorry!
>  Also:
>  Ist eine rekursive Folge. Ich muss beweisen, dass sie
> beschränkt sowie monoton ist!
>  
> Meine überlegung war, dass die obere Schranke 2,5 ist und
> die Unter 0.

Bemerkung: 0 ist vielleicht eine Untere Schranke, aber noch keine gute: kleiner als 2 kann die Folge  ja nicht werden, da alle [mm] a_n [/mm] positiv sind und es ja [mm] 2+a_n [/mm] heisst.

>  Zudem beweise ich, dass sie monoton fallend ist!

Das scheint mir nicht zu stimmen. Ich schreib mal die ersten paar Folgenglieder hin um ein Gefühl für die Folge zu bekommnen:

[mm] a_0=2 [/mm]
[mm] a_1=2,5 [/mm]
[mm] a_2=2,4 [/mm]
[mm] a_3=2+\bruch{1}{2,4}=2,41\overline{6} [/mm]
[mm] a_4=2+\bruch{1}{2,41\overline{6}}=2,41379310... [/mm]
[mm] a_5=2+\bruch{1}{2,41379310...}=2,414... [/mm]
[mm] a_6=2+\bruch{1}{2,414...}=2,41379... [/mm]

sieht mir eher aus, also ob sie ganz und gar nicht monoton ist.

>  
> Nur da komme ich nicht weiter denn dann muss ich ja die
> Ungleichung [mm]a_n_+_1 >a_n_+_2[/mm] lösen! Mit Vollständiger
> Induktion.
>  
> Oder stimmt da schon mal was nicht?!

Was man auch folgendermassen einsieht:

hättest du als Ind.Vorraussetzung [mm] a_{n+1} [mm] a_{n+2} [mm] 2+\bruch{1}{a_{n+1}}<2+\bruch{1}{a_n} [/mm]
[mm] \gdw \bruch{1}{a_{n+1}}<\bruch{1}{a_n}, [/mm] und weil alle [mm] a_n [/mm] positiv sind
[mm] \gdw a_{n+1}>a_n, [/mm] was aber genau deiner Ind.Vorr. widerspricht.

Genauso kommst du beim Versuch "monoton wachsend" zu zeigen, auf einen Widerspruch.

Ich kann mir also nicht vorstellen, dass es die Aufgabe sein soll Monotonie zu zeigen...

LG walde

Bezug
                                
Bezug
Ungleichungen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:12 Fr 19.11.2010
Autor: dani_123

Ja stimmt!

Doch in meiner Angabe steht es so! Aber ich werde mir das Morgen nochmals in aller Ruhe anschauen!

Trotzdem danke, durch deine Denkweise ist bei mir ein kleines Lichtchen an gegangen (auch wenn es nur ein kleines ist)!!

Schöne Nacht noch!!
Dani

Bezug
                                        
Bezug
Ungleichungen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 03:01 Fr 19.11.2010
Autor: Walde

Hi Dani,

falls du die Konvergenz zeigen sollst, versuche zu zeigen, dass [mm] (a_n)_n [/mm] eine Cauchy Folge ist.

LG und gute Nacht,

walde



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