Ungleichungen komp. Z. zeigen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo an alle, kann mir vielleicht jemand bei den folgenden Ungleichungen helfen?? Wäre super.
Also:
1) [mm] |1+\overline{a}b|^2=|a+b|^2+(1-|a|^2)((1-|b|^2)
[/mm]
2) |a-b|< |1- [mm] \overline{a}b|, [/mm] falls |a|<1 und |b|<1
3) |a-b|= |1- [mm] \overline{a}b|, [/mm] falls |a|=1 oder |b|=1
4) [mm] 1+2*r*cos(x)+....+2*r^n*cos(n*x)+...= \bruch{1-r^2}{1-2*r*cos(x)+r^2}, [/mm] falls [mm] 0\le [/mm] r < 1
5) [mm] r*sin(x)+...+r^n*sin(n*x)+...=\bruch{r*sin(x)}{1-2*r*cos(x)+r^2}, [/mm] falls [mm] 0\le [/mm] r < 1
Also wäre echt super,wenn mir jemand mal helfen könnte.
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> Hallo an alle, kann mir vielleicht jemand bei den folgenden
> Ungleichungen helfen?? Wäre super.
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> Also:
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> 1) [mm]|1+\overline{a}b|^2=|a+b|^2+(1-|a|^2)((1-|b|^2)[/mm]
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> 2) |a-b|< |1- [mm]\overline{a}b|,[/mm] falls |a|<1 und |b|<1
>
> 3) |a-b|= |1- [mm]\overline{a}b|,[/mm] falls |a|=1 oder |b|=1
>
> 4) [mm]1+2*r*cos(x)+....+2*r^n*cos(n*x)+...= \bruch{1-r^2}{1-2*r*cos(x)+r^2},[/mm]
> falls [mm]0\le[/mm] r < 1
>
> 5)
> [mm]r*sin(x)+...+r^n*sin(n*x)+...=\bruch{r*sin(x)}{1-2*r*cos(x)+r^2},[/mm]
> falls [mm]0\le[/mm] r < 1
>
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> Also wäre echt super,wenn mir jemand mal helfen könnte.
Hallo,
Du erinnerst Dich doch bestimmt noch daran, daß wir hier Lösungsansätze sehen wollen.
Was hast Du bisher erreicht, wo liegt Dein Problem.
Daß mit [mm] \overline{a} [/mm] das Konjugiert komplexe gemeint ist, weißt Du?
gruß v. Angela
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Hi,
ja klar weiß ich das. nur ich bin irgendwie nicht weitergekommen, deswegen habe ich die sachen nicht reingeschrieben. z.b. bei 1)
[mm] |1+\overline{a}b|^2=|a+b|^2+(1-|a|^2)((1-|b|^2) [/mm]
so wenn ich jetzt sage, sei a=x+i*y und b=s+i*g, dann ist [mm] \overline{a}=x-i*y, [/mm] so wenn ich das jetzt einsetze, dann bekomm ich:
[mm] |1+\overline{a}b|^2=|1+(x-i*y)*(s+i*g)|^2=... [/mm] kann man das so machen, oder was mach ich falsch gerade??
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> Hi,
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> ja klar weiß ich das. nur ich bin irgendwie nicht
> weitergekommen, deswegen habe ich die sachen nicht
> reingeschrieben. z.b. bei 1)
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> [mm]|1+\overline{a}b|^2=|a+b|^2+(1-|a|^2)((1-|b|^2)[/mm]
>
> so wenn ich jetzt sage, sei a=x+i*y und b=s+i*g, dann ist
> [mm]\overline{a}=x-i*y,[/mm] so wenn ich das jetzt einsetze, dann
> bekomm ich:
>
> [mm]|1+\overline{a}b|^2=|1+(x-i*y)*(s+i*g)|^2=...[/mm] kann man das
> so machen, oder was mach ich falsch gerade??
Hallo,
ich denke schon, daß Du so weiterkommen könntest, wissen tust Du's, wenn Du's durchziehst bis zum bitteren Ende.
Vielleicht brauchst Du das aber auch gar nicht, sondern kommst hier mit der Kenntnis von [mm] |z|^2=z*\overline{z} [/mm] aus.
gruß v. Angela
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Hmm, ok. aber ich weiß immer noch nicht, was ich falsch mache. schau mal:
[mm] |1+\overline{a}b|^2=|a+b|^2+(1-|a|^2)((1-|b|^2) [/mm] mit [mm] |z|=z\cdot{}\overline{z}, [/mm] ok dann kann man das doch so machen:
[mm] |a+b|^2+(1-|a|^2)(1-|b|^2)=(a+b)(\overline{a}+\overline{b})+(1-(a*\overline{a})^2)(1-(b*\overline{b})^2), [/mm] so dann komm ich aber nicht weiter, wenn ich das ausmultipliziere. bekomme dann:
[mm] a*\overline{a}+b*\overline{b}+a*\overline{b}+b*\overline{a}+1-(b*\overline{b})^2-(a*\overline{a})^2+(a*\overline{a}*b*\overline{b})^4, [/mm] das ist aber nicht [mm] |1+\overline{a}b|^2
[/mm]
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Hallo Steve,
da ist der Wurm drin, es ist [mm] $|z|^2=z\overline{z}$ [/mm] und nicht [mm] $|z|=z\overline{z}$, [/mm] wie Angela schrieb ..
linke Seite: [mm] $|1+\overline{a}b|^2=(1+\overline{a}b)(\overline{1+\overline{a}b})=(1+\overline{a}b)(\overline{1}+\overline{\overline{a}b})=(1+\overline{a}b)(1+a\overline{b})$
[/mm]
[mm] $=1+a\overline{b}+\overline{a}b+ab\overline{a}\overline{b}$
[/mm]
rechte Seite: [mm] $|a+b|^2+(1-|a|^2)(1-|b|^2)=(a+b)(\overline{a+b})+(1-a\overline{a})(1-b\overline{b})=(a+b)(\overline{a}+\overline{b})+(1-a\overline{a})(1-b\overline{b})$
[/mm]
Das multipliziere nun mal noch aus, das wird dann schön passen ...
LG
schachuzipus
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Hi,
ja ok. jetzt hauts hin, besten dank. naja auch euch können fehler unterlaufen ist ja normal  .
und wie könnte ich es bei 2 und 3 machen??
2) |a-b|< |1- $ [mm] \overline{a}b|, [/mm] $ falls |a|<1 und |b|<1
3) |a-b|= |1- $ [mm] \overline{a}b|, [/mm] $ falls |a|=1 oder |b|=1
kann man bei zwei einfach quadrieren und dann die geschichte so zeigen, wie in 1)??
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> und wie könnte ich es bei 2 und 3 machen??
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> 2) |a-b|< |1- [mm]\overline{a}b|,[/mm] falls |a|<1 und |b|<1
>
> 3) |a-b|= |1- [mm]\overline{a}b|,[/mm] falls |a|=1 oder |b|=1
>
> kann man bei zwei einfach quadrieren und dann die
> geschichte so zeigen, wie in 1)??
Hallo,
der Gedanke ist doch naheliegend. Probier's aus, ob's klappt, und wenn nciht mußt Du Dir was anderes ausdenken.
Ich würd's auch erstmal so machen.
Gruß v. Angela
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Hi, komme mal wieder nicht ganz weiter. wollte das jetzt so zeigen:
[mm] |a-b|^2< [/mm] |1- [mm] \overline{a}b|^2, [/mm] falls |a|<1 und |b|<1
so, dann erst wieder die linke seite, da komm ich dann auf
1) [mm] |a-b|^2=a*\overline{a}-a*\overline{b}-b*\overline{a}+b*\overline{b}=a(\overline{a}-\overline{b})+b(\overline{b}-\overline{a})
[/mm]
dann die recht, da kriege ich:
2) |1- [mm] \overline{a}b|^2=1-a*\overline{b}-a*\overline{b}+a*b*\overline{a}*\overline{b}
[/mm]
so, jetzt zeigt mir das aber irgendwie immer noch nicht [mm] |a-b|^2< [/mm] |1- [mm] \overline{a}b|^2....
[/mm]
grüße
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> Hi, komme mal wieder nicht ganz weiter. wollte das jetzt so
> zeigen:
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> [mm]|a-b|^2<[/mm] |1- [mm]\overline{a}b|^2,[/mm] falls |a|<1 und |b|<1
>
> so, dann erst wieder die linke seite, da komm ich dann auf
>
> 1)
> [mm]|a-b|^2=a*\overline{a}-a*\overline{b}-b*\overline{a}+b*\overline{b}=a(\overline{a}-\overline{b})+b(\overline{b}-\overline{a})[/mm]
>
> dann die recht, da kriege ich:
>
> 2) |1-
> [mm]\overline{a}b|^2=1-a*\overline{b}-a*\overline{b}+a*b*\overline{a}*\overline{b}[/mm]
Hallo,
die 2) stimmt ja nicht.
Gruß v. Angela
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hi,
ohh ja, da war ein strich falsch. so müsste es richtig sein:
2) [mm] |1-\overline{a}b|^2=1-a\cdot{}\overline{b}-b\cdot{}\overline{a}+a\cdot{}b\cdot{}\overline{a}\cdot{}\overline{b}.
[/mm]
aber dennoch, kann man jetzt schließen, dass:
[mm] a(\overline{a}-\overline{b})+b(\overline{b}-\overline{a}) [/mm] < [mm] 1-a\cdot{}\overline{b}-b\cdot{}\overline{a}+a\cdot{}b\cdot{}\overline{a}\cdot{}\overline{b}???
[/mm]
grüße
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> hi,
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> ohh ja, da war ein strich falsch. so müsste es richtig
> sein:
>
> 2)
> [mm]|1-\overline{a}b|^2=1-a\cdot{}\overline{b}-b\cdot{}\overline{a}+a\cdot{}b\cdot{}\overline{a}\cdot{}\overline{b}.[/mm]
>
> aber dennoch, kann man jetzt schließen, dass:
>
> [mm]a(\overline{a}-\overline{b})+b(\overline{b}-\overline{a})[/mm] <
> [mm]1-a\cdot{}\overline{b}-b\cdot{}\overline{a}+a\cdot{}b\cdot{}\overline{a}\cdot{}\overline{b}???[/mm]
Hallo,
was hast Du denn versucht bisher?
Ist Dir klar, daß nur noch
[mm] a\cdot{}\overline{a}+b\cdot{}\overline{b}< [/mm] 1+ [mm] a\cdot{}b\cdot{}\overline{a}\cdot{}\overline{b}
[/mm]
zu zeigen ist.
Da laß Dir mal 'nen bißchen was einfallen. (Da hast doch in der Vergangenheit schon viel schwierigere Themen am Wickel gehabt.)
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:43 Mo 02.03.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Hallo an alle, kann mir vielleicht jemand bei den folgenden
> Ungleichungen helfen?? Wäre super.
>
> Also:
>
>[...]
>
> 4) [mm]1+2*r*cos(x)+....+2*r^n*cos(n*x)+...= \bruch{1-r^2}{1-2*r*cos(x)+r^2},[/mm]
> falls [mm]0\le[/mm] r < 1
>
> 5)
> [mm]r*sin(x)+...+r^n*sin(n*x)+...=\bruch{r*sin(x)}{1-2*r*cos(x)+r^2},[/mm]
> falls [mm]0\le[/mm] r < 1
Bei beiden Aufgabe ist es sinnvoll, die Rehen aufzuschreiben.
Also bei 5)
$$ [mm] r*\sin(x)+...+r^{n}*sin(n*x)+... [/mm] $$
$$ [mm] =\summe_{k=1}^{\infty}r^{k}*\sin(k*x) [/mm] $$
$$ [mm] \stackrel{zu Zeigen}{=}\bruch{r*sin(x)}{1-2*r*cos(x)+r^2} [/mm] $$
>
>
> Also wäre echt super,wenn mir jemand mal helfen könnte.
Marius
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Hi Marius, aber das hier zu zeigen, macht mir das leben auch nicht viel einfacher:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}r^{k}\cdot{}\sin(k\cdot{}x) =\bruch{r\cdot{}sin(x)}{1-2\cdot{}r\cdot{}cos(x)+r^2} [/mm] . Wie gehts denn da weiter??? komm da irgenwie nicht drauf.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:27 Mo 02.03.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du hast dort eine Reihe stehen, da gibt es Kriterien, mit denen du prüfen kannst, ob diese konvergieren. Versuche dich doch damit mal vorzuarbeiten.
Marius
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>>> 4) $ [mm] 1+2\cdot{}r\cdot{}cos(x)+....+2\cdot{}r^n\cdot{}cos(n\cdot{}x)+...= \bruch{1-r^2}{1-2\cdot{}r\cdot{}cos(x)+r^2}, [/mm] $ falls $ [mm] 0\le [/mm] $ r < 1
>>> 5) $ [mm] r\cdot{}sin(x)+...+r^n\cdot{}sin(n\cdot{}x)+...=\bruch{r\cdot{}sin(x)}{1-2\cdot{}r\cdot{}cos(x)+r^2}, [/mm] $ falls $ [mm] 0\le [/mm] $ r < 1
Hallo,
da sich Deine Aufgaben um die komplexen Zahhlen ranken, ist es doch naheliegend, hier mal nach Verbindungen zu suchen.
Du solltest wissen, daß r( [mm] \cos\x [/mm] + [mm] i*\sin\x)=e^{ix} [/mm] ist, und wie man dies potenziert.
Wenn Du das weißt, siehst Du, daß die Reihe [mm] \summe [/mm] r^kcos(kx) gerade der Realteil von [mm] \summe r^ke^{ik} [/mm] ist, für den sin analog.
Diese Idee sollte Dir weiterhelfen.
Gruß v. Angela
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