Ungleichungen mit MWS der DR < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:25 Do 06.01.2005 | | Autor: | Kladde |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich soll mit Hilfe des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung folgende Ungleichungen beweisen:
a) x /(1+x) < Ln(1+x) < x mit x > 0
b) 1-x < [mm] e^{-x} [/mm] mit x > 0
Mit Derive hab ich mir die einzelnen Terme und deren Ableitungen zeichnen lassen und festgestellt, dass die Ungleichungen auch für die Ableitungen gelten, welche sich dann viel leichter lösen lassen. Bei b) hab ich z.B. dann
-1 < [mm] -e^{-x}
[/mm]
1 > [mm] e^{-x}
[/mm]
1 > 1 [mm] /(e^{x}) [/mm] , wegen x > 0
[mm] e^{x} [/mm] > 1 , was ja offensichtlich ist mit x > 0
Meine Frage ist nun, was das ganze mit dem Mittelwertsatz zu tun hat. Ich verstehe nicht, wo ich da die Aussagen des MWS benutze. Oder habe ich das komplett falsch gemacht? Bitte helft mir!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:28 Fr 18.05.2007 | | Autor: | E-Storm |
| Aufgabe | Zeige mit Hilfe des MWS der Differentialgleichung, dass
[mm] (1+x)^1/3 [/mm] kleiner gleich 1+ 1/3x für alle x>0 |
Ich habe mir eure Disskussion schon sehr genau angeschaut, bin jedoch immernoch nicht sicher was ich bei meiner Aufgabenstellung zu tun habe.
Ich weiß nicht wie ich die Aufgabe mit dieser Formel
f(b) - f (a) / b - a = f ' (c) lösen kann. Ich würde mich sehr über eine Antwort
freuen, MfG Thomas.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:13 Fr 18.05.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Zeige mit Hilfe des MWS der Differentialgleichung, dass
>
> [mm](1+x)^1/3[/mm] kleiner gleich 1+ 1/3x für alle x>0
> Ich habe mir eure Disskussion schon sehr genau angeschaut,
> bin jedoch immernoch nicht sicher was ich bei meiner
> Aufgabenstellung zu tun habe.
> Ich weiß nicht wie ich die Aufgabe mit dieser Formel
>
> f(b) - f (a) / b - a = f ' (c) lösen kann. Ich würde mich
> sehr über eine Antwort
b=x, a=0, [mm] f'(\xi)=1/3(1+\xi){-2/3}
[/mm]
also [mm] (1+x)^{1/3}=1/3(1+\xi){-2/3}*x+1 [/mm] für [mm] \xi>0 [/mm] gilt :
[mm] (1+\xi){-2/3}<1+\xi [/mm] denn [mm] 1<(1+\xi)*(1+\xi){2/3}
[/mm]
damit solltest du zu Ende kommen.
Du musst wirklich erst die echten Ausdrücke mal hinschreiben, dann das Ziel ansehen, und sehen, mit welcher Abschätzung man dann weiterkommt!
allein dass du nicht gleich f(a)=1 einsetzt verhindert, dass du weiterkommst!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:59 Fr 18.05.2007 | | Autor: | E-Storm |
Ich bedanke mich erstmal für die schnelle gute Antwort, jedoch hab ich bis jetzt versucht die letzte Zeile zu verstehen und ich versteh nicht wie man auf die Relation [mm] 1<(1+\xi) (1+\xi) [/mm] 2/3 kommt und in wiefern ich damit die Aufgabenstellung gezeigt habe.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:22 Sa 19.05.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
du kannst das z.B. so machen:
Definiere [mm] f(x)=(1+x)^{\bruch{1}{3}}.
[/mm]
[mm] Zeige:f(x)\le1+\bruch{1}{3}x [/mm] für alle x>0
Angenommen: es gibt ein x>0, so dass [mm] f(x)>1+\bruch{1}{3}x [/mm] (1)
Dann gibt es nach dem MWS ein [mm] \chsi [/mm] aus (0,x), so dass
[mm] f(Strich)(\chsi)=\bruch{f(x)-f(0)}{x-0} [/mm] f(0)=1
[mm] =\bruch{(1+x)^{\bruch{1}{3}}-1}{x}>\bruch{1+\bruch{1}{3}x-1}{x}=1/3
[/mm]
nach Voraussetztung (1). Also gilt für das [mm] \chsi:
[/mm]
f(Strich)(x)>1/3
Es gilt aber [mm] f(Strich)(x)=\bruch{1}{3}(x+1)^{-\bruch{2}{3}}\le\bruch{1}{3}, [/mm] also hat man einen Widerspruch. (1) kann somit nicht richtig sein und die Behauptung ist gezeigt.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:44 Sa 08.01.2005 | | Autor: | Kladde |
hallo stefan
danke erstmal für deine antwort! bis zu punkt (1) habe ich sie denke ich verstanden, aber zur ungleichung (2) [mm]\frac{x}{1+x} < \frac{x}{1+\xi} < \frac{x}{1+0} = x[/mm] hab ich noch fragen.
bist du darauf gekommen, weil 1 + x > 1 + $ [mm] \xi [/mm] $ ist weil $ [mm] \xi [/mm] $ nicht am rand des intervalls (0,x) liegt und folglich x > $ [mm] \xi [/mm] $?
mir ist nämlich nicht ganz klar, wo du dies ungleichung hernimmst.
daher komme ich bei meiner zweiten aufgabe auch nicht viel weiter. ich habe da zwar jetzt die gleichung $ [mm] e^{-x} [/mm] -1 = [mm] -xe^{- \xi} [/mm] $ , mit der ich dann aber nicht mehr viel anzufangen weiß.
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Bei der zweiten Frage müsstest du aus
1-x < [mm] e^{-x} [/mm] einfach
[mm] e^{\ln(1-x)}< e^{-x} [/mm] machen, und dich aus Stetigkeitsgründen auf
ln(1-x) < -x beschränken können.
(Bitte korrigiert mich, wenn ich da falsch liege)
Bei der ersten Aufgabe folgt die Schlussfolgerung eben wie du schon sagtest daraus, dass x>0 und [mm] \xi \in [/mm] (0,x).
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