Ungleichungsbeweis m. MW-Satz < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hi,
diesmal plagt mich folgendes Problem:
Ich soll die Ungleichung
[mm] \bruch{x}{1+x} [/mm] < ln(1+x) < x für x>0
mit dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung beweisen. Allerdings hab ich zunächst nicht wirklich eine Ahnung, wie ich das eine mit dem andern verbinden soll.
Ich hab es erstma so versucht:
Als Funktion genommen f(x):=ln(1+x)
dann ist f(0)=0 und f(1)=ln(2).
Dann ist laut Mittelwertsatz
[mm] ln(2)=f'(\xi)=\bruch{1}{1+\xi}
[/mm]
An der Stelle denk ich zumindest zu wissen worauf das hinauslaufen soll, nämlich das ich weiß, wenn eine Funktion (ähnlich ln(1+x)) gleich der Ableitung an einer Stelle ist, so dass ich das dann auf die gesuchten Ausdrücke "abschätzen" kann, oder?
Ist das zumindest der richtige Ansatz?
Thx steele
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:31 Mo 27.12.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo steelscout!
Dein Ansatz ist doch schon einmal vielversprechen, wenn auch noch etwas unausgereift.
Also: Wir betrachten für $x>0$ die Funktion
$f(x):= [mm] \ln(1+x)$.
[/mm]
Nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung gibt es zu jedem $x>0$ ein [mm] $\xi \in [/mm] (0,x)$ mit
[mm] $\frac{\ln(1+x)}{x} [/mm] = [mm] \frac{\ln(1+x)-\ln(1)}{x} [/mm] = [mm] \frac{f(x) - f(0)}{x} [/mm] = [mm] f'(\xi) [/mm] = [mm] \frac{1}{1+\xi}$,
[/mm]
also nach Multiplikation mit $x$:
[mm] $\ln(1+x) [/mm] = [mm] \frac{x}{1+\xi}$.
[/mm]
Aus
[mm] $\frac{x}{1+x} [/mm] < [mm] \frac{x}{1+\xi} [/mm] < x$
für alle $x>0$ und alle [mm] $\xi \in [/mm] (0,x)$ folgt die Behauptung.
Liebe Grüße
Stefan
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