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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:37 Mo 10.08.2015 | | Autor: | Vidane |
| Aufgabe | [mm] $$W=\frac{1}{\sqrt{N}} \left[ \omega^{i \cdot j} \right]_{0 \leq i,j \leq N-1} =\frac{1}{\sqrt{N}}\begin{pmatrix}
1 & 1 & \dots & 1 \\
1 & \omega & \dots & \omega^{N-1} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
1 & \omega^{N-1} & \dots & \omega^{(N-1)^2} \end{pmatrix}$$ [/mm] mit [mm] $\omega=e^{2 \pi i / N}$ [/mm] Einheitswurzel. Zusätzlich sei [mm] $J=\begin{pmatrix} 0 & I \\ -I & 0 \end{pmatrix}$ [/mm] mit I Einheitsmatrix.
"Using the complex quantity [mm] $\omega$ [/mm] makes it easier to write down and perform this transformation, but one should not forget that in the real space [mm] $\omega$ [/mm] corresponds to a 2 [mm] $\times$ [/mm] 2 submatrix of the form
$$ [mm] \omega \leftrightarrow \begin{pmatrix}
cos 2 \pi /N & -sin 2 \pi /N \\
sin 2 \pi /N & cos 2 \pi /N \end{pmatrix} $$
Keeping this relationship in mind one sees that for $W^T$ we have to use the conjugate transposed matrix, i.e. $W^T=\overline{W}^t. Thus we have a unitary matrix with $$W^{-1}=W^T$$...
Due to the structure of W we have in R^{2N}
$$ W^T J W = J $$ "
[New Trends for Hamiltonian Systems and Celestial Mechanics, E. A. Lacomba & J. Libre, 1994, S.325]
Guten Abend,
Vielen Dank schonmal, dass ihr hier reinschaut.
Ich bin gerade am Durcharbeiten von diesem Artikel, wie in der Aufgabenstellung zitiert. Leider stehen dort die Beweise so gut wie gar nicht drin, vielleicht sind sie auch trivial. Konkret dazu hätte ich zwei Fragen:
1. Wieso ist W unitär, so wie es dort begründet wird. Ich verstehe, dass jedes dieser $\omega$ zu einer solchen reellen Drehmatrix korrespondiert aber ich könnte nicht sofort unitär folgern.
Ich hätte es über inneres Produkt gemacht, was auch schön funktioniert, denke ich, deshalb ist Frage 1 nicht soo wichtig, würde mich aber trotzdem interessieren.
2. Wieso gilt $W^T J W = J$ ? Dazu habe ich leider keinen richtigen Ansatz, allgemein Ausrechnen scheint mir schwierig. J erfüllt ja die Eigenschaften $J^T=J^{-1}=-J$. Es sei beachtet, dass es in $R^{2N \times 2N}$ sein soll, W selbst ist ja erstmal in $C^{N \times N}$, also muss ich diese reelle Form nehmen.
Erst mal zum Verständnis. Sieht diese reelle Form denn so aus?
$$\frac{1}{\sqrt{N}} \begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 0 & \dots & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 1 & \dots & 0 & 1 \\
1 & 0 & \cos\left( \frac{2 \pi}{N} \right) & -\sin\left( \frac{2 \pi}{N}\right) & \dots & \cos\left( \frac{2 \pi (N-1)}{N} \right) & -\sin\left( \frac{2 \pi (N-1)}{N} \right) \\
0 & 1 & \sin\left( \frac{2 \pi}{N} \right) & \cos\left( \frac{2 \pi}{N} \right) & \dots & \sin\left( \frac{2 \pi (N-1)}{N} \right) & \cos\left( \frac{2 \pi (N-1)}{N} \right) \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
1 & 0 & \cos\left( \frac{2 \pi (N-1)}{N} \right) & -\sin\left( \frac{2 \pi (N-1)}{N} \right) & \dots & \cos\left( \frac{2 \pi (N-1)^2}{N} \right) & -\sin\left( \frac{2 \pi (N-1)^2}{N} \right) \\
0 & 1 & \sin\left( \frac{2 \pi (N-1)}{N} \right) & \cos\left( \frac{2 \pi (N-1)}{N} \right) & \dots & \sin\left( \frac{2 \pi (N-1)^2}{N} \right) & \cos\left( \frac{2 \pi (N-1)^2}{N} \right) \end{pmatrix}$$
Ich bin über jeden Tipp dankbar.
Viele Grüße,
Vidane
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:01 Mo 10.08.2015 | | Autor: | Marc |
Hallo Vidane!
Ich versuche mal meine Gedanken mitzuteilen, und lasse die Frage halb beantwortet, weil es bestimmt noch schöner geht.
> 1. Wieso ist W unitär, so wie es dort begründet wird. Ich
> verstehe, dass jedes dieser [mm]\omega[/mm] zu einer solchen reellen
> Drehmatrix korrespondiert aber ich könnte nicht sofort
> unitär folgern.
> Ich hätte es über inneres Produkt gemacht, was auch
> schön funktioniert, denke ich, deshalb ist Frage 1 nicht
> soo wichtig, würde mich aber trotzdem interessieren.
Man sieht es so, ich weiß allerdings nicht, ob es das schnellste ist:
Betrachte deine ganz zum Schluss aufgestellte Matrix W.
Transponieren vertauscht nur die Minuszeichen vor [mm] $\sin$, [/mm] d.h., wir können uns auf die einzelnen 2x2-Submatrizen beziehen. Wenn dort die Vorzeichen vor dem Sinus vertauscht werden, entspricht das einer Drehung im gegensätzlichen Drehsinn, und das ist ja auch genau die Wirkung des Komplex-Konjugierens. Also entspricht [mm] $\omega^T$ [/mm] (reell) [mm] $\overline{w}$ [/mm] (komplex) und damit auch [mm] $W^T$ [/mm] (reell) [mm] $\overline{W}^T$ [/mm] (komplex).
Für das Unitärsein muss gelten:
[mm] $\overline{W}^T [/mm] W=I$
Das sieht man recht schnell durch Nachrechnen, wenn man beachtet, dass [mm] $\overline{\omega}^N=1=\omega^N$, $\omega\overline{\omega}=1$ [/mm] und [mm] $1+\omega+\omega^2+\ldots+\omega^{N-1}=\frac{\omega^N-1}{\omega-1}$ [/mm] (geometrische Summe).
> 2. Wieso gilt [mm]W^T J W = J[/mm] ? Dazu habe ich leider keinen
> richtigen Ansatz, allgemein Ausrechnen scheint mir
> schwierig. J erfüllt ja die Eigenschaften [mm]J^T=J^{-1}=-J[/mm].
> Es sei beachtet, dass es in [mm]R^{2N \times 2N}[/mm] sein soll, W
> selbst ist ja erstmal in [mm]C^{N \times N}[/mm], also muss ich
> diese reelle Form nehmen.
$W^TJW=J$ kann man mit 1. ja umformen zu $JW=WJ$
Wenn man $W$ in vier gleichgroße quadratische Untermatrizen aufteilt (wie J), also $W= [mm] \begin{pmatrix} W_{11} & W_{12} \\ W_{21} & W_{22} \end{pmatrix}$, [/mm] bekommt man für
$JW= [mm] \begin{pmatrix} 0 & I \\ -I & 0 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} W_{11} & W_{12} \\ W_{21} & W_{22} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} W_{21} & W_{22} \\ -W_{11} & -W_{12} \end{pmatrix}$ [/mm] und für
$WJ= [mm] \begin{pmatrix} W_{11} & W_{12} \\ W_{21} & W_{22} \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 0 & I \\ -I & 0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -W_{12} & W_{11} \\ -W_{22} & W_{21} \end{pmatrix}$
[/mm]
Dass dies identisch ist, sieht man hoffentlich, wenn man...
> Erst mal zum Verständnis. Sieht diese reelle Form denn so
> aus?
> [mm][/mm][mm] \frac{1}{\sqrt{N}} \begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 0 & \dots & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 1 & \dots & 0 & 1 \\
1 & 0 & \cos\left( \frac{2 \pi}{N} \right) & -\sin\left( \frac{2 \pi}{N}\right) & \dots & \cos\left( \frac{2 \pi (N-1)}{N} \right) & -\sin\left( \frac{2 \pi (N-1)}{N} \right) \\
0 & 1 & \sin\left( \frac{2 \pi}{N} \right) & \cos\left( \frac{2 \pi}{N} \right) & \dots & \sin\left( \frac{2 \pi (N-1)}{N} \right) & \cos\left( \frac{2 \pi (N-1)}{N} \right) \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
1 & 0 & \cos\left( \frac{2 \pi (N-1)}{N} \right) & -\sin\left( \frac{2 \pi (N-1)}{N} \right) & \dots & \cos\left( \frac{2 \pi (N-1)^2}{N} \right) & -\sin\left( \frac{2 \pi (N-1)^2}{N} \right) \\
0 & 1 & \sin\left( \frac{2 \pi (N-1)}{N} \right) & \cos\left( \frac{2 \pi (N-1)}{N} \right) & \dots & \sin\left( \frac{2 \pi (N-1)^2}{N} \right) & \cos\left( \frac{2 \pi (N-1)^2}{N} \right) \end{pmatrix}[/mm][mm][/mm]
... diese Matrix noch weiter vereinfacht. Und zwar können ja nur N verschiedene Dreh-Untermatrizen auftreten. Z.B. könnte man in deiner Matrix W ganz rechts unten die Einheitsmatrix wieder [mm] $\omega$ [/mm] schreiben.
> Ich bin über jeden Tipp dankbar.
Vielleicht reicht das ja schon, es gibt da jedenfalls noch einiges an Struktur in W zu entdecken, womit die Überlegungen oben hoffentlich einfacher werden.
Viele Grüße
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:46 Mo 10.08.2015 | | Autor: | Vidane |
Vielen Dank für deine Antwort.
1. ist jetzt komplett klar.
Über 2. muss ich noch nachdenken, der Ansatz ist sehr gut. Ich überlege noch, wie ich das jetzt hinbekomme. Du hast Recht, da lässt sich noch viel vereinfachen in der Matrix.
Ich werde mich nochmal melden, falls ich noch Schwierigkeiten haben. (Wenn, dann wahrscheinlich morgen.)
Dankeschön und viele Grüße.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 13:08 Di 11.08.2015 | | Autor: | Vidane |
So, ich habe nochmal drüber nachgedacht und bin nun so weit:
W kann ich vereinfachen, z.B. [mm] \omega^{N-1}=\omega^{-1} [/mm] usw.
und komme so auf mein umgeformtes W:
[mm] W=\frac{1}{\sqrt{N}}\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & \dots & 1 & 1 \\
1 & \omega & \omega^2 & \dots & \omega^{-2} &\omega^{-1} \\
1 & \omega^2 & \omega^4 & \dots &\omega^{-4} & \omega^{-2} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
1 & \omega^{-2} & \omega^{-4} & \dots & \omega^4 & \omega^2 \\
1 & \omega^{-1} & \omega^{-2} & \dots & \omega^2 & \omega
\end{pmatrix}$$
[/mm]
Und es ergibt sich tatsächlich eine Art Struktur der Blockmatrizen (Bisymmetrie wenn man man die 0-te Zeile und 0-Spalte weglässt), jedoch sehe ich nicht die gewünschte.
Ich habe es dann versucht, mir an einem Beispiel zu verdeutlichen, sollte ja wohl für alle N gelten, zumindest wird es nirgends spezifiziert.
Also wählen wir mal ein N=2, d.h. [mm] \omega=e^{2 \pi i /2}=-1
[/mm]
[mm] W=\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}
[/mm]
und die reelle Form wäre
[mm] W=\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\
1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}
[/mm]
Und traurigerweise gilt nicht mal hier die Aussage. Oder erkennt jemand einen Fehler? Es gilt bei dieser Matrix zumindest [mm] W^T=W^{-1}.
[/mm]
Ich vermute also jetzt erst mal, dass meine aufgestellte reelle Form falsch war, dass man nicht einfach so jedes [mm] \omega [/mm] durch seine Matrix ersetzen darf.
Jemand eine Idee vielleicht? Ich denke auch mal weiter und melde mich wieder, falls mir noch etwas einfällt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:02 Mi 12.08.2015 | | Autor: | Marc |
Hallo Vidane
> Ich habe es dann versucht, mir an einem Beispiel zu
> verdeutlichen, sollte ja wohl für alle N gelten, zumindest
> wird es nirgends spezifiziert.
> Also wählen wir mal ein N=2, d.h. [mm]\omega=e^{2 \pi i /2}=-1[/mm]
>
> [mm]W=\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}[/mm]
>
> und die reelle Form wäre
> [mm]W=\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\
1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Und traurigerweise gilt nicht mal hier die Aussage. Oder
> erkennt jemand einen Fehler? Es gilt bei dieser Matrix
> zumindest [mm]W^T=W^{-1}.[/mm]
Bei mir ist $W^TJW=J$ und auch $JW=WJ$...? Kann natürlich sein, dass ich mich vertan hab.
Interessant dürfte noch der Fall N=3 (bzw. N ungerade) werden, da die "mittleren" Drehmatrizen in zwei bzw. vier Blöcken liegen...
Viele Grüße
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:40 Mi 12.08.2015 | | Autor: | Vidane |
Okay, das wäre natürlich fabelhaft. Ich habe es mal in Matlab geworfen und seltsamerweise bekomme ich heraus, dass [mm] $W^T [/mm] J W = - J$. So nahe am Ziel argh, muss ich nochmal drüberschauen.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:53 Mi 12.08.2015 | | Autor: | Marc |
Hallo Vidane,
stimmt, das hatte ich auch raus und nicht bemerkt, dass es -J war.
Hast du nochmal die Quelle verglichen? Steht da wirklich "$W^TJW=J$"?
Sonst bin ich jetzt auch überfragt bzw. übermüdet 
Viele Grüße
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:43 Mi 12.08.2015 | | Autor: | Vidane |
Ja, es steht leider wirklich da, der Autor, Dieter Schmidt, hat es auch in einem anderen Paper von ihm implizit benutzt, aber nicht bewiesen.
Für N=3 käme auch ziemlicher Schmarrn raus und kein -J.
Trotzdem vielen Dank für deine Hilfe. Dann überlege ich mal weiter. Meine Vermutung ist, dass diese reelle Form anders aussieht. Vielleicht sollte ich explizit die Eigenwerte berechnen von der imaginären Form W und dann in einer reellen Jordan-Normalform die Drehmatrizen anordnen.
Ich versuche es mal, vielleicht fällt dir oder jemand anders noch eine Idee ein.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:38 Do 13.08.2015 | | Autor: | Vidane |
Guten Tag,
Vielleicht stoßt ja mal noch jemand auf meine Frage, wie man das Produkt $WJ=JW$ beweist.
Nachdem ich in diesem Forum die Frage gestellt habe und nicht weiterkam, habe ich woanders noch gefragt, nämlich hier:
![[]](/images/popup.gif) http://math.stackexchange.com/questions/1395535/show-that-w-is-a-symplectic-matrix-i-e-wt-j-w-j
Der Beweis war dann doch sehr intuitiv und geht über eine lineare Abbildung, wie man auch eine komplexe Zahl auf ihre reelle Matrix abbildet, also für w=a+ib [mm] \in \mathbb{C} [/mm] und z=x+iy [mm] \sim \binom{x}{y} [/mm] gilt ja
w [mm] \mapsto [/mm] wz = (a+ib)(x+iy)=ax-by+i(bx+ay) [mm] \sim \begin{pmatrix} ax-by \\ bx+ay \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}
[/mm]
Viele Grüße,
Vidane
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