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| Aufgabe | Sei f(x)= Ax²+ 2Bx+ C A,B,C elemente aus R, A>0.
Zeigen Sie die Äquivalenz der beiden Aussagen:
a) f(x) >= 0 für alle reellen x
b) B² <= A C |
Wie genau soll ich an diese Aufgabe heran gehen? Gibt es Axiome für Unitäre Räume?
Hat Teilaufgabe b etwas mit der Dreiecksungleichung zu tun?
Vielen Dank für Eure Hilfe
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:45 Di 18.01.2011 | | Autor: | felixf |
Moin,
> Sei f(x)= Ax²+ 2Bx+ C A,B,C elemente aus R, A>0.
wenn es sich bei R hier um [mm] $\IR$, [/mm] also die reellen Zahlen handelt, dann hat die Aufgabe nichts mit unitaeren Raeumen zu tun, sondern schlichtweg mit quadratischer Ergaenzung.
> Zeigen Sie die Äquivalenz der beiden Aussagen:
>
> a) f(x) >= 0 für alle reellen x
> b) B² <= A C
> Wie genau soll ich an diese Aufgabe heran gehen? Gibt es
> Axiome für Unitäre Räume?
>
> Hat Teilaufgabe b etwas mit der Dreiecksungleichung zu
> tun?
Es gibt keine Teilaufgabe b). Du sollst eine ![[]](/images/popup.gif) Aequivalenz zeigen.
LG Felix
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Hallo Felix,
vielen Dank für deine Antwort. Ja es handelt sich um die die reellen Zahlen...
wenn ich mit Hilfe der quadratischen Ergänzung vorgehe, habe ich zum Schluss folgendes:
f(x)= A [mm] (x+\bruch{B}{A})^2+(C-\bruch{B^2}{2*A})
[/mm]
ich weiß nicht recht wie ich nun die Äquivalenz von a) und b) zeigen soll...
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Hallo mathematicious!
> Hallo Felix,
>
> vielen Dank für deine Antwort. Ja es handelt sich um die
> die reellen Zahlen...
>
> wenn ich mit Hilfe der quadratischen Ergänzung vorgehe,
> habe ich zum Schluss folgendes:
>
> f(x)= A [mm](x+\bruch{B}{A})^2+(C-\bruch{B^2}{2*A})[/mm]
Das gilt nur unter der zusätzlichen Voraussetzungen $B=0$. 
Nach der Korrektur ist auch die Äquivalenz nicht mehr so schwer, oder?
>
> ich weiß nicht recht wie ich nun die Äquivalenz von a)
> und b) zeigen soll...
LG mathfunnel
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Hallo...
hm ich stehe leider noch ziemlich auf dem Schlauch.
Wenn B=0 gesetzt wird, dann:
f(x)= Ax+C ....
oder
A*x² =-C (das war mein 2ter versuch etwas brauchbares zu erhalten. Entstanden aus Ax²+2Bx= -C)
oder soll ich komplett anders vorgehen?
f(x) ableiten und dann mit der pq formel weiter arbeiten?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:47 Mi 19.01.2011 | | Autor: | fred97 |
Du hattest:
>
> $f(x)= [mm] A(x+\bruch{B}{A})^2+(C-\bruch{B^2}{2\cdot{}A}) [/mm] $
Das ist aber nicht ganz richtig. Korrekt:
$f(x)= [mm] A(x+\bruch{B}{A})^2+(C-\bruch{B^2}{A}) [/mm] $
1. Sei f(x) [mm] \ge [/mm] 0 für alle reellen x . Dann ist [mm] f(-\bruch{B}{A}) \ge [/mm] 0. Was folgt ?
2. Sei [mm] B^2 \le [/mm] A C. Sind denn dann nicht alle Summanden in
[mm] A(x+\bruch{B}{A})^2+(C-\bruch{B^2}{A})
[/mm]
[mm] \ge [/mm] 0 ????
FRED
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Vielen Dank.
Also zu 2. Wenn b² <= a*c ist müssen alle summanden positiv sein, denn b² selbst wird nie negativ und da es kleiner a*c ist, kann a*c höchstens null ergeben... das macht sinn :)
zu 1.
f(x) = B/ A und A muss positiv sein, und A darf niemals den Wert 0 annehmen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:34 Mi 19.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Vielen Dank.
>
> Also zu 2. Wenn b² <= a*c ist müssen alle summanden
> positiv sein, denn b² selbst wird nie negativ und da es
> kleiner a*c ist, kann a*c höchstens null ergeben... das
> macht sinn :)
>
> zu 1.
>
> f(x) = B/ A und A muss positiv sein, und A darf niemals den
> Wert 0 annehmen?
Was soll das denn ?
Berechne doch mal $ [mm] f(-\bruch{B}{A}) [/mm] $
FRED
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f( [mm] \bruch{-b}{a}) [/mm] = [mm] a(\bruch{-b}{a}+\bruch{b}{a})^2+ C(\bruch{-b^2}{a})
[/mm]
0= c- [mm] B^2/A
[/mm]
[mm] B^2= [/mm] c*a
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:38 Mi 19.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> f( [mm]\bruch{-b}{a})[/mm] = [mm]a(\bruch{-b}{a}+\bruch{b}{a})^2+ C(\bruch{-b^2}{a})[/mm]
>
> 0= c- [mm]B^2/A[/mm]
> [mm]B^2=[/mm] c*a
Das ist ja furchtbar !
FRED
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entschuldige, ich habe ignoriert das es eine ungleichung ist
als ergebnis habe ich dann
B²<= A*C
kann ich nun behaupten, dass wenn das gilt alle Summanden in
f(X) positv sein müssen? Wie begründe ich sowas "richtig"?
Vielen Dank für die bisherige Hilfe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:59 Mi 19.01.2011 | | Autor: | fred97 |
Wir haben:
$ f(x)= [mm] A(x+\bruch{B}{A})^2+(C-\bruch{B^2}{A}) [/mm] $
Ist nun [mm] B^2 \le [/mm] AC, so ist (wegen A>0): [mm] B^2/A \le [/mm] C und damit ist der 2. Summand oben rechts [mm] \ge [/mm] 0
Der erste ist das auch, wegen [mm] A(...)^2
[/mm]
FRED
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