Unstetigkeitsstelle < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:01 Di 14.02.2012 | | Autor: | meely |
| Aufgabe | Der Funktionsausdruck g(x) := [mm] f(x^{ − 1}) [/mm] ist an der Stelle x = 0 nicht wohldefiniert. Untersuchen Sie das Verhalten von g(x) in der Nähe von x = 0. Welche Art von Unstetigkeit liegt vor?
(HebbareUnstetigkeit/Funktionswert? Pol? Sprungstelle/Sprunghöhe?)
[mm] f(x)=\frac{e^{1+x}}{1+e^{x}} [/mm] |
Hallo ihr Lieben :)
Hab wieder mal ein kleines Problemchen bei dem ihr mir sicher helfen könnt :)
also bis jetzt habe ich mal gezeigt:
x=0 muss eine Sprungstelle von [mm] f(x^{-1})=g(x) [/mm] sein da:
[mm] g(x)=\frac{e*e^{1/x}}{1+e^{1/x}}=\frac{e}{\frac{1}{e^{1/x}} +1}
[/mm]
und [mm] g(0+)=\limes_{x\rightarrow\0+}\frac{e}{\frac{1}{e^{1/x}} +1}=e
[/mm]
[mm] g(0-)=\limes_{x\rightarrow\0-}\frac{e}{\frac{1}{e^{1/x}}+1} [/mm] =0
Somit kennen wir auch die Sprunghöhe, die natürlich e ist.
Meine Frage nun an euch: Ist das überhaupt richtig?
... und: Gibt es irgendeine Art "Kochrezept" wie man solche Unstetigkeitsstellen allgemein untersuchen kann und sofort erkennt um was es sich handelt (Sprungstelle, Pol,...)?
Würde mich sehr freuen wenn ihr mir helfen könntet :)
Liebe Grüße eure Meely :)
PS: IN DER ANGABE STEHT [mm] f(x^{1}) [/mm] anstelle von [mm] f(x^{-1}) [/mm] - NATÜRLICH GILT [mm] f(x^{-1}). [/mm] DARSTELLUNG FUNKTIONIERT IRGENDWIE NICHT.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:19 Di 14.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> Der Funktionsausdruck g(x) := [mm]f(x^{ − 1})[/mm] ist an der
> Stelle x = 0 nicht wohldefiniert. Untersuchen Sie das
> Verhalten von g(x) in der Nähe von x = 0. Welche Art von
> Unstetigkeit liegt vor?
> (HebbareUnstetigkeit/Funktionswert? Pol?
> Sprungstelle/Sprunghöhe?)
> [mm]f(x)=\frac{e^{1+x}}{1+e^{x}}[/mm]
>
> Hallo ihr Lieben :)
>
> Hab wieder mal ein kleines Problemchen bei dem ihr mir
> sicher helfen könnt :)
>
> also bis jetzt habe ich mal gezeigt:
>
> x=0 muss eine Sprungstelle von [mm]f(x^{-1})=g(x)[/mm] sein da:
>
> [mm]g(x)=\frac{e*e^{1/x}}{1+e^{1/x}}=\frac{e}{\frac{1}{e^{1/x}} +1}[/mm]
>
> und
> [mm]g(0+)=\limes_{x\rightarrow\0+}\frac{e}{\frac{1}{e^{1/x}} +1}=e[/mm]
>
> [mm]g(0-)=\limes_{x\rightarrow\0-}\frac{e}{\frac{1}{e^{1/x}}+1}[/mm]
> =0
>
> Somit kennen wir auch die Sprunghöhe, die natürlich e
> ist.
>
> Meine Frage nun an euch: Ist das überhaupt richtig?
Ja
>
> ... und: Gibt es irgendeine Art "Kochrezept" wie man solche
> Unstetigkeitsstellen allgemein untersuchen kann und sofort
> erkennt um was es sich handelt (Sprungstelle, Pol,...)?
leider nein.
FRED
>
> Würde mich sehr freuen wenn ihr mir helfen könntet :)
>
> Liebe Grüße eure Meely :)
>
> PS: IN DER ANGABE STEHT [mm]f(x^{1})[/mm] anstelle von [mm]f(x^{-1})[/mm] -
> NATÜRLICH GILT [mm]f(x^{-1}).[/mm] DARSTELLUNG FUNKTIONIERT
> IRGENDWIE NICHT.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:40 Di 14.02.2012 | | Autor: | meely |
Danke für deine schnelle Antwort :)
Eine frage habe ich leider noch: wie erkennt man Hebbare Unstetigkeit und deren Funktionswert? bin gerade etwas durcheinander gekommen.
Liebe Grüße eure Meely :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:45 Di 14.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> Danke für deine schnelle Antwort :)
>
> Eine frage habe ich leider noch: wie erkennt man Hebbare
> Unstetigkeit und deren Funktionswert? bin gerade etwas
> durcheinander gekommen.
Nimm an, Du hast eine Funktion f, die an einer Stelle [mm] x_0 [/mm] eine Definitionslücke hat.
Existiert der Grenzwert [mm] \limes_{x\rightarrow x_0}f(x), [/mm] so ist die Lücke hebbar.
Setzt man dann [mm] f(x_0):= \limes_{x\rightarrow x_0}f(x), [/mm] so ist f in [mm] x_0 [/mm] stetig (fortgesetzt)
FRED
>
> Liebe Grüße eure Meely :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:05 Di 14.02.2012 | | Autor: | meely |
Hallo und danke nochmal für die Antwort :)
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> Nimm an, Du hast eine Funktion f, die an einer Stelle [mm]x_0[/mm]
> eine Definitionslücke hat.
>
> Existiert der Grenzwert [mm]\limes_{x\rightarrow x_0}f(x),[/mm] so
> ist die Lücke hebbar.
>
> Setzt man dann [mm]f(x_0):= \limes_{x\rightarrow x_0}f(x),[/mm] so
> ist f in [mm]x_0[/mm] stetig (fortgesetzt)
>
wenn ich dich richtig verstanden habe kann ich zb eine funktion [mm] f(x)=\frac{(x-1)(x+2)}{x-1} [/mm] die an [mm] x_0=1 [/mm] nicht wohldefiniert ist.
also schreibe ich nun [mm] f(x)=\frac{(x-1)(x+2)}{x-1}=(x+2)
[/mm]
nun den limes:
[mm] \limes_{x\rightarrow\x_0}(x+2)=3
[/mm]
und wenn ich nun in [mm] f(x_0):= \limes_{x\rightarrow x_0}f(x) [/mm] einsetze folgt:
[mm] f(x)=f(1)=\limes_{x\rightarrow\x_0}(x+2)=3
[/mm]
...oder ist das kompletter Blödsinn?
> FRED
Liebe Grüße Meely :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:13 Di 14.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo und danke nochmal für die Antwort :)
>
> >
> > Nimm an, Du hast eine Funktion f, die an einer Stelle [mm]x_0[/mm]
> > eine Definitionslücke hat.
> >
> > Existiert der Grenzwert [mm]\limes_{x\rightarrow x_0}f(x),[/mm] so
> > ist die Lücke hebbar.
> >
> > Setzt man dann [mm]f(x_0):= \limes_{x\rightarrow x_0}f(x),[/mm] so
> > ist f in [mm]x_0[/mm] stetig (fortgesetzt)
> >
>
> wenn ich dich richtig verstanden habe kann ich zb eine
> funktion [mm]f(x)=\frac{(x-1)(x+2)}{x-1}[/mm] die an [mm]x_0=1[/mm] nicht
> wohldefiniert ist.
Lass das "wohl" weg.
f ist in [mm] x_0=1 [/mm] nicht definiert.
>
> also schreibe ich nun [mm]f(x)=\frac{(x-1)(x+2)}{x-1}=(x+2)[/mm]
Ja das gilt für alle x [mm] \ne [/mm] 1.
>
> nun den limes:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow x_0}(x+2)=3[/mm]
Stimmt.
>
> und wenn ich nun in [mm]f(x_0):= \limes_{x\rightarrow x_0}f(x)[/mm]
> einsetze folgt:
Nicht "einsetzen" !
>
> [mm]f(x)=f(1)=\limes_{x\rightarrow\x_0}(x+2)=3[/mm]
Wir definieren:
[mm]f(1):=\limes_{x\rightarrow\x_0}f(x)=3[/mm]
Damit hast Du f stetig in [mm] x_0=1 [/mm] fortgesetzt.
FRED
>
> ...oder ist das kompletter Blödsinn?
>
>
> > FRED
>
> Liebe Grüße Meely :)
>
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:16 Di 14.02.2012 | | Autor: | meely |
> > Hallo und danke nochmal für die Antwort :)
> >
> > >
> > > Nimm an, Du hast eine Funktion f, die an einer Stelle [mm]x_0[/mm]
> > > eine Definitionslücke hat.
> > >
> > > Existiert der Grenzwert [mm]\limes_{x\rightarrow x_0}f(x),[/mm] so
> > > ist die Lücke hebbar.
> > >
> > > Setzt man dann [mm]f(x_0):= \limes_{x\rightarrow x_0}f(x),[/mm] so
> > > ist f in [mm]x_0[/mm] stetig (fortgesetzt)
> > >
> >
> > wenn ich dich richtig verstanden habe kann ich zb eine
> > funktion [mm]f(x)=\frac{(x-1)(x+2)}{x-1}[/mm] die an [mm]x_0=1[/mm] nicht
> > wohldefiniert ist.
>
> Lass das "wohl" weg.
>
>
>
> f ist in [mm]x_0=1[/mm] nicht definiert.
> >
> > also schreibe ich nun [mm]f(x)=\frac{(x-1)(x+2)}{x-1}=(x+2)[/mm]
>
> Ja das gilt für alle x [mm]\ne[/mm] 1.
>
>
> >
> > nun den limes:
> >
> > [mm]\limes_{x\rightarrow x_0}(x+2)=3[/mm]
>
> Stimmt.
>
>
> >
> > und wenn ich nun in [mm]f(x_0):= \limes_{x\rightarrow x_0}f(x)[/mm]
> > einsetze folgt:
>
> Nicht "einsetzen" !
>
>
> >
> > [mm]f(x)=f(1)=\limes_{x\rightarrow\x_0}(x+2)=3[/mm]
>
> Wir definieren:
>
> [mm]f(1):=\limes_{x\rightarrow\x_0}f(x)=3[/mm]
>
> Damit hast Du f stetig in [mm]x_0=1[/mm] fortgesetzt.
>
> FRED
> >
> > ...oder ist das kompletter Blödsinn?
> >
> >
> > > FRED
> >
> > Liebe Grüße Meely :)
> >
> >
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Vielen vielen lieben Dank FRED :) Hast mir sehr geholfen. Bei den richtigen "Ausdrücken" habe ich leider noch probleme.
Liebe Grüße Meely :D
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