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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:32 Sa 27.05.2006 | | Autor: | still86 |
| Aufgabe | Es sei (G, ·) eine Gruppe und A [mm] \subset [/mm] G. Die Menge:
erz(A) := { [mm] a_{1} [/mm] · . . . · [mm] a_{n} [/mm] : n [mm] \in [/mm] N, [mm] a_{i} \in [/mm] A oder [mm] a_{i} [/mm] ^{−1} [mm] \in [/mm] A}
heißt die von A erzeugte Untergruppe.
(a) Zeigen Sie, dass erz(A) die kleinste Untergruppe von G ist, die A
enthält, d.h. Sie müssen folgende beiden Aussagen beweisen:
(i) erz(A) ist eine Untergruppe von G.
(ii) Ist U [mm] \subset [/mm] G eine Untergruppe von G, die A enthält, dann gilt
[mm] erz(A)\subset [/mm] U.
(b) Wie sieht erz(A) aus, wenn A einelementig ist ? |
Hallo, vielleicht könnt ihr mir bei der Aufgabe weiterhelfen. Ich weiß nicht wie ich rangehen soll. Danke.
Thomas
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Hi Thomas!
Steht in der Aufgabe nicht noch irgendwo, dass A nicht leer ist?
Ansonsten stimmt die Aussage nämlich nicht.
(a) (i) du musst zeigen:
(1) [mm] erz(A)\not= \emptyset [/mm] (hier braucht man, dass A nicht leer ist)
(2) erz(A) abgeschlossen, also [mm] g_1,g_2\in{}erz(A) \Rightarrow g_1\cdot{}g_2\in{}erz(A)
[/mm]
(3) [mm] \forall{}g\in{}erz(A) [/mm] existiert in erz(A) ein Inverses Element
(ii) überleg dir welche Elemente auf Grund der Abgeschlossenheit in
einer Untergruppe, die A enthält, enthalten sein müssen.
(b) berechne einfach mal erz({a})
Ich würd dir empfehlen mit (b) anzufangen, dann sieht du schonmal wie die Menge überhaupt aussieht.
MFG Verena
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:28 Sa 27.05.2006 | | Autor: | still86 |
Genau hier liegt mein Problem. Wie muss ich diese Aussagen für den vorliegenden Fall zeigen? Mir gelingt der Übergang nicht.
Vielen Dank für eure Hilfe.
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Zum Beispiel:
[mm] g\in{}erz(A) [/mm] ist von der Form [mm] g=a_1\cdot{}...\cdot{}a_n, [/mm] wobei [mm] a_i\in{}A [/mm] oder [mm] a_i^{-1}\in{}A. [/mm]
[mm] g^{-1}:=a_n^{-1}\cdot{}...\cdot{}a_1^{-1}.
[/mm]
Das [mm] g^{-1}\in{}erz(A) [/mm] und [mm] g^{-1} [/mm] invers zu g müsstest du noch zeigen.
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