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Untergruppe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:56 Mi 17.10.2012
Autor: AntonK

Aufgabe
Zeigen Sie, dass U=( [mm] \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in SL_2(\IZ) [/mm]  mit b und c gerade) eine Untergruppe von [mm] SL_2(\IZ) [/mm] ist.

Hallo Leute,

bin jetzt einfach mal hergegangen und habe gesagt, da ja die 0 eine gerade Zahl ist, somit das Inverse in U liegt, außerdem hat ja jeder Matrix aus [mm] SL_2 [/mm] die Determinante 1, somit gilt auch das Inverse.

Soweit in Ordnung?

Jetzt habe ich aber ein Problem bei der Abgeschlossenheit:

[mm] \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} e & f \\ g & h \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} ae+bg & af+bh \\ ce+dg & cf+dh \end{pmatrix} [/mm]

Sowohl af+bh und ce+dg sind gerade, da die einzelnen Produkte gerade sind und somit abgeschlossen. Kann man das so machen?

Danke schonmal!

        
Bezug
Untergruppe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:04 Mi 17.10.2012
Autor: fred97


> Zeigen Sie, dass U=( [mm]\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in SL_2(\IZ)[/mm]  mit b und c
> gerade) eine Untergruppe von [mm]SL_2(\IZ)[/mm] ist.
>  Hallo Leute,
>  
> bin jetzt einfach mal hergegangen und habe gesagt, da ja
> die 0 eine gerade Zahl ist, somit das Inverse in U liegt,

Hä ??  

Du mußt zeigen, das mit [mm] A:=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in [/mm] U auch [mm] A^{-1} [/mm] in U ist.


> außerdem hat ja jeder Matrix aus [mm]SL_2[/mm] die Determinante 1,
> somit gilt auch das Inverse.
>  
> Soweit in Ordnung?
>  
> Jetzt habe ich aber ein Problem bei der Abgeschlossenheit:
>  
> [mm]\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} e & f \\ g & h \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} ae+bg & af+bh \\ ce+dg & cf+dh \end{pmatrix}[/mm]
>  
> Sowohl af+bh und ce+dg sind gerade, da die einzelnen
> Produkte gerade sind und somit abgeschlossen. Kann man das
> so machen?

Die Abgeschlossenheit ist O.K.

FRED

>  
> Danke schonmal!


Bezug
                
Bezug
Untergruppe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:09 Mi 17.10.2012
Autor: AntonK

Naja, das neutrale Element ist ja die Einheitsmatrix, die ist aber ein Element von U, da b=c=0 gerade sind und die 0 ebenfalls eine gerade Zahl ist.

Und Inversen gibt es in jedem Fall, da die [mm] SL_2 [/mm] die Determinanten 1 hat und somit zu jeder Matrix ein Inverses existiert.

Bezug
                        
Bezug
Untergruppe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:16 Mi 17.10.2012
Autor: schachuzipus

Hallo AntonK,


> Naja, das neutrale Element ist ja die Einheitsmatrix, die
> ist aber ein Element von U, da b=c=0 gerade sind und die 0
> ebenfalls eine gerade Zahl ist. [ok]
>  
> Und Inversen gibt es in jedem Fall, da die [mm]SL_2[/mm] die
> Determinanten 1 hat und somit zu jeder Matrix ein Inverses
> existiert.

Naja, die ist ja erstmal "nur" in [mm] $Sl_2(\IZ)$ [/mm]

Wieso ist denn die Inverse zu so einem [mm] $A=\pmat{a&2k\\2l&d}, k,l\in\IZ$ [/mm] auch in U?

Das musst du nachweisen ...

Gruß

schachuzipus


Bezug
                                
Bezug
Untergruppe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:42 Sa 20.10.2012
Autor: AntonK

Ah, ich denke ich habe es jetzt, danke euch.

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