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| Aufgabe | Sei (G,.) eine Gruppe, und H [mm] \subseteq [/mm] G. Dann heißt (H,.) Untergruppe
von (G,.), wenn (H,.) ebenfalls eine Gruppe ist. Zeigen Sie die Äquivalenz folgender
Aussagen:
(i) (H,.) ist Untergruppe von (G,.).
(ii) Für zwei beliebige Elemente [mm] a,b\in [/mm] H gilt: sowohl [mm] a^{-1} \in [/mm] H als auch ab [mm] \in [/mm] H.
(iii) Für zwei beliebige Elemente a,b [mm] \in [/mm] H gilt: [mm] a^{-1}b \in [/mm] H. |
Hallo zusammen,
ich bräuchte mal den einen oder anderen kleinen Hinweis zum Lösen dieser Aufgabe da ich nicht weiß ob meine Herangehensweise richtig ist. Als Erstes möchte ich zeigen dass aus (i) die zweite Aussage also (ii) folgt. Laut (i) ist H eine Untergruppe was bedeutet dass die Verknüpfung von zwei beliebigen Elementen wieder ein Element aus H ist. Auch gibt es zu jedem Element aus H ein inverses Element was wiederum in H liegt. Die Existenz eines neutralen Elements ergibt sich ja auch aus (i). In Aussage (ii) sind doch jetzt eben zwei dieser definierenden Eigenschaften enthalten, also folgt doch (ii) automatisch aus (i) oder? Kann ich das so begründen? Wie sieht es dann mit der Rückrichtung von (ii) nach (i) aus, oder versteh ich die Aufgabe grad falsch? Bin dankbar für jede Hilfe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo
> Als Erstes möchte ich zeigen
> dass aus (i) die zweite Aussage also (ii) folgt.
ok
>Laut (i)
> ist H eine Untergruppe was bedeutet dass die Verknüpfung
> von zwei beliebigen Elementen wieder ein Element aus H ist.
> Auch gibt es zu jedem Element aus H ein inverses Element
> was wiederum in H liegt.
ok
> Die Existenz eines neutralen
> Elements ergibt sich ja auch aus (i).
Zum neutralen Element musst Du Dich hier nicht äußern.
>In Aussage (ii) sind
> doch jetzt eben zwei dieser definierenden Eigenschaften
> enthalten, also folgt doch (ii) automatisch aus (i) oder?
> Kann ich das so begründen?
Ja, [mm] (i)\Rightarrow [/mm] (ii) ist damit gezeigt.
>Wie sieht es dann mit der
> Rückrichtung von (ii) nach (i) aus, oder versteh ich die
> Aufgabe grad falsch? Bin dankbar für jede Hilfe.
>
Ja, jetzt könnte man die Rückrichtung beweisen; und dann das Ganze mit (iii) auch.
Kleiner Trick, der Arbeit spart: Zeige (i) [mm] \Rightarrow [/mm] (ii) [mm] \Rightarrow [/mm] (iii) [mm] \Rightarrow [/mm] (i)
Gruß
korbinian
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Hallo korbinian,
also wenn ich die Äquivalenz in der Reihenfolge (i)->(ii)->(iii)->(i) zeige muss ich die Rückrichtungen nicht mehr zeigen? Sonst hätte ich gedacht dass ich zb jeweils (ii)->(iii) und (iii)->(ii) zeigen muss und das für jede mögliche Kombination von den Aussagen.
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Hallo
> also wenn ich die Äquivalenz in der Reihenfolge
> (i)->(ii)->(iii)->(i) zeige muss ich die Rückrichtungen
> nicht mehr zeigen?
richtig
>Sonst hätte ich gedacht dass ich zb
> jeweils (ii)->(iii) und (iii)->(ii) zeigen muss und das
> für jede mögliche Kombination von den Aussagen.
Wenn Du die "Kette" (i)->(ii)->(iii)->(i) beweist, hast Du ja alle Kombinationen gezeigt. Die meiste über "Umwege": zb zeigst Du (ii)->(i) über den "Umweg" (ii)->(iii)->(i)
Gruß
korbinian
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Ah ok, noch eine Frage hätte ich: Ich habe gezeigt dass (ii) aus (i) folgt. Wenn ich jetzt zeige dass (iii) aus (i) folgt darf ich daraus folgern dass (iii) auch aus (ii) folgt weil ich mir nicht so sicher bin wie ich (iii) aus (ii) folgern kann ohne Zuhilfenahme von (i).
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Hallo,
nein, das darfst Du nicht. Wenn Du es mit Folgepfeilen schreibst, siehst Du es leichter.
Gruß
korbinian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:56 Mi 23.10.2013 | | Autor: | Cracker47 |
Hallo,
ja das klingt einleuchtend. Hab auch grad gesehen dass man (i) nicht braucht um von (ii) auf (iii) zu kommen. Danke für die Hilfe!
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