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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:01 So 28.11.2010 | | Autor: | dfx |
| Aufgabe | a) Es seien [mm](A, \*)[/mm] eine Gruppe und [mm]a[/mm] ein Element aus [mm]A[/mm]. Zeigen Sie: Die Menge [mm]\langle a \rangle := \{a^n | n \in \IZ \}[/mm] ist eine Untergruppe von [mm]A[/mm] (dabei sind [mm]a^0 := e, a^k := a \* ... \* a[/mm] (für [mm]k \in \IN[/mm]) und [mm]a^{-k} := (a^{-1})^k[/mm] ).
b) [mm]\langle a \rangle[/mm] enthält genau dann nur endlich viele Elemente, wenn ein [mm]k \in \IN[/mm] existiert mit [mm]a^k = e[/mm].
Die kleinste natürliche Zahl, die das erfüllt, nennt man in diesem Fall die Ordnung von [mm]a[/mm]. Berechnen Sie die Ordnungen von [mm][2], [7][/mm] in [mm] \IZ /8 \IZ[/mm] sowie in [mm] \IZ / 11 \IZ [/mm]. |
Hallo,
in der Aufgabenstellung befinden sich die ersten zwei Teilaufgaben einer Aufgabe, die ich diese Woche bearbeitet habe. Jetzt sind allerdings noch ein paar Fragen aufgetaucht, während wir in der Lerngruppe unsere Lösungen verglichen haben.
Bei der a) habe ich eine Lösung gesehen bei der einmal [mm]k=\infty[/mm] und dann [mm]k<\infty[/mm] betrachtet worden sind. Allerdings hatte ich mir überlegt, ich habe [mm]k, l \in \IZ[/mm], mache drei Fälle für [mm]k, l \in \IN[/mm], [mm]k, l \in \IZ_{-}[/mm] und [mm]k \in \IZ_{-}[/mm],[mm]l \in \IN[/mm]. So habe ich letztendlich gezeigt, dass [mm]a^{k+l}[/mm] in allen drei Fällen möglich ist und so die [mm]\langle a \rangle[/mm] abgeschlossen ist, d.h. [mm]a^{k},a^{l} \in \langle a \rangle \Rightarrow a^{k+l} \in \langle a \rangle[/mm].
Nun zur b) hatten wir ebenfalls unterschiedliche Lösungen. Ich hatte [mm]\langle a \rangle[/mm] bestimmt, anfangs mit den Zweierpotenzen, dann mit Rest mal zwei weitergerechnet bis [mm]1[/mm] als neutrales übrigblieb. Andere hatten Gruppentafeln gemacht, bemerkenswerterweise in Bezug auf die Addition, haben dann alle Verknüpfungen gezählt, die [mm][2][/mm] ergeben, dies dann als Ordnung angegeben. Jetzt bin ich mir unsicher, wie ich die Aufgabe b) überhaupt verstehen soll, da ja keine konkrete Gruppe angegeben ist. Hingegen nehm ich sie als Ringe, dann müsste ich doch beide Gruppen betrachten? Mittlerweile denke ich eigentlich, ich lag mit meiner Vorgehensweise schon richtig. Allerdings ergeben sich in der Betrachtung von [mm][2][/mm] in [mm]\IZ / 8 \IZ[/mm] Probleme, wo ich nicht weiß, wie ich damit umgehen soll. Vielleicht rechnet das jemand mal vor.
Ich freu mich über jede Antwort oder Mitteilung.
Gruss, dfx
PS: Aller Voraussicht nach werde ich erst morgen früh Antworten, da ich abends wohl eher nicht mehr sehr aufnahmefähig bin, wenn ich mich schon Stunden mit den Aufgaben beschäftigt habe. 
1. Revision:
Zum Problem [mm][2][/mm] in [mm]\IZ / 8 \IZ[/mm] hatte ich gerade eine Idee. Und zwar ist doch
[mm]\langle a \rangle = \{2,4,0,...\}\Rightarrow[/mm] Die Ordnung von [mm][2][/mm] in [mm]\IZ / 8 \IZ[/mm] ist unendlich.
Oder seh ich das falsch?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:18 Mo 29.11.2010 | | Autor: | Lippel |
Hallo,
> a) Es seien [mm](A, \*)[/mm] eine Gruppe und [mm]a[/mm] ein Element aus [mm]A[/mm].
> Zeigen Sie: Die Menge [mm]\langle a \rangle := \{a^n | n \in \IZ \}[/mm]
> ist eine Untergruppe von [mm]A[/mm] (dabei sind [mm]a^0 := e, a^k := a \* ... \* a[/mm]
> (für [mm]k \in \IN[/mm]) und [mm]a^{-k} := (a^{-1})^k[/mm] ).
> b) [mm]\langle a \rangle[/mm] enthält genau dann nur endlich viele
> Elemente, wenn ein [mm]k \in \IN[/mm] existiert mit [mm]a^k = e[/mm].
> Die
> kleinste natürliche Zahl, die das erfüllt, nennt man in
> diesem Fall die Ordnung von [mm]a[/mm]. Berechnen Sie die Ordnungen
> von [mm][2], [7][/mm] in [mm]\IZ /8 \IZ[/mm] sowie in [mm]\IZ / 11 \IZ [/mm].
>
> Hallo,
>
> in der Aufgabenstellung befinden sich die ersten zwei
> Teilaufgaben einer Aufgabe, die ich diese Woche bearbeitet
> habe. Jetzt sind allerdings noch ein paar Fragen
> aufgetaucht, während wir in der Lerngruppe unsere
> Lösungen verglichen haben.
> Bei der a) habe ich eine Lösung gesehen bei der einmal
> [mm]k=\infty[/mm] und dann [mm]k<\infty[/mm] betrachtet worden sind.
> Allerdings hatte ich mir überlegt, ich habe [mm]k, l \in \IZ[/mm],
> mache drei Fälle für [mm]k, l \in \IN[/mm], [mm]k, l \in \IZ_{-}[/mm] und [mm]k \in \IZ_{-}[/mm],[mm]l \in \IN[/mm].
> So habe ich letztendlich gezeigt, dass [mm]a^{k+l}[/mm] in allen
> drei Fällen möglich ist und so die [mm]\langle a \rangle[/mm]
> abgeschlossen ist, d.h. [mm]a^{k},a^{l} \in \langle a \rangle \Rightarrow a^{k+l} \in \langle a \rangle[/mm].
Was heißt "dass [mm] $a^{k+l}$ [/mm] in allen drei Fällen möglich ist"?
Eigentlich musst du doch die Untergruppenkriterien nachrechnen, d.h.
1. $<a>$ ist nicht leer
2. Sind $b,c [mm] \in [/mm] <a>$ muss auch $bc [mm] \in [/mm] <a>$ sein.
3. Für $b [mm] \in [/mm] <a>$ muss auch [mm] $b^{-1}$ [/mm] in <a> sein.
Wie kanst du das nun zeigen:
1. Ist klar oder? $a [mm] \in [/mm] <a> [mm] \Rightarrow [/mm] <a>$ nicht leer.
2. $b,c [mm] \in [/mm] <a> [mm] \Rightarrow \exists [/mm] k,l [mm] \in \IZ: a^k=b, a^l=c$...
[/mm]
Überlege dir was daraus für $bc$ folgt.
Eine Fallunterscheidung wie du sie oben gemacht hast, braucht man eigentlich nicht.
3. $b [mm] \in [/mm] <a> [mm] \Rightarrow \exists [/mm] k [mm] \in \IZ: a^k=b$
[/mm]
Jetzt überelge dir was das Inverse zu b ist und warum es auch in $<a>$ liegt.
>
> Nun zur b) hatten wir ebenfalls unterschiedliche Lösungen.
> Ich hatte [mm]\langle a \rangle[/mm] bestimmt, anfangs mit den
> Zweierpotenzen, dann mit Rest mal zwei weitergerechnet bis
> [mm]1[/mm] als neutrales übrigblieb. Andere hatten Gruppentafeln
> gemacht, bemerkenswerterweise in Bezug auf die Addition,
> haben dann alle Verknüpfungen gezählt, die [mm][2][/mm] ergeben,
> dies dann als Ordnung angegeben. Jetzt bin ich mir
> unsicher, wie ich die Aufgabe b) überhaupt verstehen soll,
> da ja keine konkrete Gruppe angegeben ist. Hingegen nehm
> ich sie als Ringe, dann müsste ich doch beide Gruppen
> betrachten? Mittlerweile denke ich eigentlich, ich lag mit
> meiner Vorgehensweise schon richtig. Allerdings ergeben
> sich in der Betrachtung von [mm][2][/mm] in [mm]\IZ / 8 \IZ[/mm] Probleme, wo
> ich nicht weiß, wie ich damit umgehen soll. Vielleicht
> rechnet das jemand mal vor.
> Ich freu mich über jede Antwort oder Mitteilung.
Bei der b) musst du zuerst zwei Dinge zeigen. Achte auf das "genau dann" in der Aufgabenstellung:
1. $<a>$ enthält nur endlich viele Elemente [mm] $\Rightarrow \exists [/mm] k [mm] \in \IN: a^k=e$
[/mm]
2. [mm] $\exists [/mm] k [mm] \in \IN: a^k=e \Rightarrow [/mm] <a>$ enthält nur endlich viele Elemente
Zu 1.: Nehme an es gäbe kein solches k. Was kannst du dann folgern? Führe die Annahme zu einem Widerspruch.
Zu 2.: Zeige, dass für alle $n [mm] \in \IZ$ [/mm] gilt: [mm] a^{n+k} [/mm] = [mm] a^n. [/mm] Daraus kannst du dann schließen, dass $<a>$ nur endlich viele Elemente besitzt.
>
> Gruss, dfx
>
> PS: Aller Voraussicht nach werde ich erst morgen früh
> Antworten, da ich abends wohl eher nicht mehr sehr
> aufnahmefähig bin, wenn ich mich schon Stunden mit den
> Aufgaben beschäftigt habe.
>
> 1. Revision:
> Zum Problem [mm][2][/mm] in [mm]\IZ / 8 \IZ[/mm] hatte ich gerade eine Idee.
> Und zwar ist doch
> [mm]\langle a \rangle = \{2,4,0,0,0,...\}\Rightarrow[/mm] Die
> Ordnung von [mm][2][/mm] in [mm]\IZ / 8 \IZ[/mm] ist unendlich.
> Oder seh ich das falsch?
[mm] $\IZ/8\IZ$ [/mm] und [mm] $\IZ/11\IZ$ [/mm] sind additive Gruppen (betrachtest du die Multiplikation so hat die 0 beispielsweise kein Inverses), also musst du die Addition als Verknüpfung heranziehen, nicht die Multiplikation!
Versuche es damit nochmal.
Viele Grüße, Lippel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:09 Mo 29.11.2010 | | Autor: | dfx |
> > a) Es seien [mm](A, \*)[/mm] eine Gruppe und [mm]a[/mm] ein Element aus [mm]A[/mm].
> > Zeigen Sie: Die Menge [mm]\langle a \rangle := \{a^n | n \in \IZ \}[/mm]
> > ist eine Untergruppe von [mm]A[/mm] (dabei sind [mm]a^0 := e, a^k := a \* ... \* a[/mm]
> > (für [mm]k \in \IN[/mm]) und [mm]a^{-k} := (a^{-1})^k[/mm] ).
> > b) [mm]\langle a \rangle[/mm] enthält genau dann nur endlich
> viele
> > Elemente, wenn ein [mm]k \in \IN[/mm] existiert mit [mm]a^k = e[/mm].
> >
> Die
> > kleinste natürliche Zahl, die das erfüllt, nennt man in
> > diesem Fall die Ordnung von [mm]a[/mm]. Berechnen Sie die Ordnungen
> > von [mm][2], [7][/mm] in [mm]\IZ /8 \IZ[/mm] sowie in [mm]\IZ / 11 \IZ [/mm].
> >
Guten Morgen,
erstmal danke Lippel für die Antwort, konnte sie gestern noch lesen und habe den letzten Tipp noch in die Tat umgesetzt. Dazu gleich...
> Was heißt "dass [mm]a^{k+l}[/mm] in allen drei Fällen möglich
> ist"?
In der Aufgabenstellung fehlt ein "underbrace". Ich versuche das gerade mal einzufügen.
[mm]a^k := \underbrace{a \* ... \* a}_{k Faktoren}[/mm]
Genau so. Ja, damit habe ich in der Fallunterscheidung hantiert. Aber du hast schon recht, man braucht es nicht, da man ja die Existenz von [mm]a^{k+l}[/mm] in [mm]\langle a \rangle[/mm] zeigen möchte.
> Eigentlich musst du doch die Untergruppenkriterien
> nachrechnen, d.h.
> 1. [mm][/mm] ist nicht leer
> 2. Sind [mm]b,c \in [/mm] muss auch [mm]bc \in [/mm] sein.
> 3. Für [mm]b \in [/mm] muss auch [mm]b^{-1}[/mm] in <a> sein.
>
> Wie kanst du das nun zeigen:
> 1. Ist klar oder? [mm]a \in \Rightarrow [/mm] nicht leer.
> 2. [mm]b,c \in \Rightarrow \exists k,l \in \IZ: a^k=b, a^l=c[/mm]...
> Überlege dir was daraus für [mm]bc[/mm] folgt.
> Eine Fallunterscheidung wie du sie oben gemacht hast,
> braucht man eigentlich nicht.
> 3. [mm]b \in \Rightarrow \exists k \in \IZ: a^k=b[/mm]
> Jetzt
> überelge dir was das Inverse zu b ist und warum es auch in
> [mm][/mm] liegt.
Also hier habe ich zuerst nachgewiesen, es gibt ein neutrales Element in der Untergruppe, dann dass Inverse existieren. Daraufhin habe ich mit [mm]a^k[/mm] und [mm]a^l[/mm] untersucht wie sich diese ausgeschriebene Schreibweise verhält, wenn [mm]k[/mm] negativ und [mm]l[/mm] positiv ist. Dabei wollte ich ja auf die Folgerung hinaus, dass man in jedem Fall die Faktoren [mm]k, l[/mm] addieren kann, aber mir ist auch schon aufgefallen, damit ist noch nicht gesagt, dass dann auch [mm]a^{k+l}[/mm] in [mm]\langle a \rangle[/mm] liegt.
> Bei der b) musst du zuerst zwei Dinge zeigen. Achte auf das
> "genau dann" in der Aufgabenstellung:
> 1. [mm][/mm] enthält nur endlich viele Elemente [mm]\Rightarrow \exists k \in \IN: a^k=e[/mm]
>
> 2. [mm]\exists k \in \IN: a^k=e \Rightarrow [/mm] enthält nur
> endlich viele Elemente
>
> Zu 1.: Nehme an es gäbe kein solches k. Was kannst du dann
> folgern? Führe die Annahme zu einem Widerspruch.
> Zu 2.: Zeige, dass für alle [mm]n \in \IZ[/mm] gilt: [mm]a^{n+k}[/mm] =
> [mm]a^n.[/mm] Daraus kannst du dann schließen, dass [mm][/mm] nur endlich
> viele Elemente besitzt.
Das habe ich bisher vollkommen übersehen. Da habe ich mich eben schonmal drangesetzt und bekomme das sicher noch mit deinen Tipps auf die Schnelle hin.
> [mm]\IZ/8\IZ[/mm] und [mm]\IZ/11\IZ[/mm] sind additive Gruppen (betrachtest
> du die Multiplikation so hat die 0 beispielsweise kein
> Inverses), also musst du die Addition als Verknüpfung
> heranziehen, nicht die Multiplikation!
> Versuche es damit nochmal.
Hmm, das hätte ich wohl wissen müssen. Eine Liste mit allen [mm]\IZ / n \IZ[/mm] und solchen Infos findet man nicht leicht, oder? Aber mit deiner Begründung sollte es nicht schwer sein, sich eine zu machen.
Wie man es schreibt, bin ich mir dennoch nicht sicher.
z.B.: [mm][2][/mm] in [mm]\IZ / 8 \IZ[/mm]
[mm]\langle a \rangle = \{2,4,6,0\}[/mm]
So [mm]ord(2) = 4[/mm] oder [mm][2]^4 = [0] = 4[/mm] oder vielleicht [mm]| \langle a \rangle | = ord(2) = 4[/mm]
> Viele Grüße, Lippel
Schönen Tag, dfx
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:52 Mo 29.11.2010 | | Autor: | Lippel |
Hallo,
> > > a) Es seien [mm](A, \*)[/mm] eine Gruppe und [mm]a[/mm] ein Element aus [mm]A[/mm].
> > > Zeigen Sie: Die Menge [mm]\langle a \rangle := \{a^n | n \in \IZ \}[/mm]
> > > ist eine Untergruppe von [mm]A[/mm] (dabei sind [mm]a^0 := e, a^k := a \* ... \* a[/mm]
> > > (für [mm]k \in \IN[/mm]) und [mm]a^{-k} := (a^{-1})^k[/mm] ).
> > > b) [mm]\langle a \rangle[/mm] enthält genau dann nur endlich
> > viele
> > > Elemente, wenn ein [mm]k \in \IN[/mm] existiert mit [mm]a^k = e[/mm].
> >
> >
> > Die
> > > kleinste natürliche Zahl, die das erfüllt, nennt man in
> > > diesem Fall die Ordnung von [mm]a[/mm]. Berechnen Sie die Ordnungen
> > > von [mm][2], [7][/mm] in [mm]\IZ /8 \IZ[/mm] sowie in [mm]\IZ / 11 \IZ [/mm].
> >
> >
>
> Guten Morgen,
>
> erstmal danke Lippel für die Antwort, konnte sie gestern
> noch lesen und habe den letzten Tipp noch in die Tat
> umgesetzt. Dazu gleich...
>
> > Was heißt "dass [mm]a^{k+l}[/mm] in allen drei Fällen möglich
> > ist"?
> In der Aufgabenstellung fehlt ein "underbrace". Ich
> versuche das gerade mal einzufügen.
> [mm]a^k := \underbrace{a \* ... \* a}_{k Faktoren}[/mm]
>
> Genau so. Ja, damit habe ich in der Fallunterscheidung
> hantiert. Aber du hast schon recht, man braucht es nicht,
> da man ja die Existenz von [mm]a^{k+l}[/mm] in [mm]\langle a \rangle[/mm]
> zeigen möchte.
>
> > Eigentlich musst du doch die Untergruppenkriterien
> > nachrechnen, d.h.
> > 1. [mm][/mm] ist nicht leer
> > 2. Sind [mm]b,c \in [/mm] muss auch [mm]bc \in [/mm] sein.
> > 3. Für [mm]b \in [/mm] muss auch [mm]b^{-1}[/mm] in <a> sein.
> >
> > Wie kanst du das nun zeigen:
> > 1. Ist klar oder? [mm]a \in \Rightarrow [/mm] nicht
> leer.
> > 2. [mm]b,c \in \Rightarrow \exists k,l \in \IZ: a^k=b, a^l=c[/mm]...
>
> > Überlege dir was daraus für [mm]bc[/mm] folgt.
> > Eine Fallunterscheidung wie du sie oben gemacht hast,
> > braucht man eigentlich nicht.
> > 3. [mm]b \in \Rightarrow \exists k \in \IZ: a^k=b[/mm]
> >
> Jetzt
> > überelge dir was das Inverse zu b ist und warum es auch in
> > [mm][/mm] liegt.
>
> Also hier habe ich zuerst nachgewiesen, es gibt ein
> neutrales Element in der Untergruppe, dann dass Inverse
> existieren. Daraufhin habe ich mit [mm]a^k[/mm] und [mm]a^l[/mm] untersucht
> wie sich diese ausgeschriebene Schreibweise verhält, wenn
> [mm]k[/mm] negativ und [mm]l[/mm] positiv ist. Dabei wollte ich ja auf die
> Folgerung hinaus, dass man in jedem Fall die Faktoren [mm]k, l[/mm]
> addieren kann, aber mir ist auch schon aufgefallen, damit
> ist noch nicht gesagt, dass dann auch [mm]a^{k+l}[/mm] in [mm]\langle a \rangle[/mm]
> liegt.
Wenn du dir nochmal die Definition von $<a>$ anschaust, dann siehst du, dass du eigentlich nur zeigen musst, dass $k+l [mm] \in \IZ$, [/mm] dann folgt schon dass [mm] $a^{k+l} \in [/mm] <a>$. Das ist vollkommen klar, man muss es nur so sauber aufschreiben.
Schreibe es auch für das Inverse so deutlich auf:$b [mm] \in [/mm] <a> [mm] \Rightarrow \exists [/mm] k [mm] \in \IZ: a^k=b \Rightarrow a^{-k}$ [/mm] ist das Inverse zu [mm] $a^k$, [/mm] weil....
>
> > Bei der b) musst du zuerst zwei Dinge zeigen. Achte auf das
> > "genau dann" in der Aufgabenstellung:
> > 1. [mm][/mm] enthält nur endlich viele Elemente [mm]\Rightarrow \exists k \in \IN: a^k=e[/mm]
>
> >
> > 2. [mm]\exists k \in \IN: a^k=e \Rightarrow [/mm] enthält nur
> > endlich viele Elemente
> >
> > Zu 1.: Nehme an es gäbe kein solches k. Was kannst du dann
> > folgern? Führe die Annahme zu einem Widerspruch.
> > Zu 2.: Zeige, dass für alle [mm]n \in \IZ[/mm] gilt: [mm]a^{n+k}[/mm] =
> > [mm]a^n.[/mm] Daraus kannst du dann schließen, dass [mm][/mm] nur endlich
> > viele Elemente besitzt.
>
> Das habe ich bisher vollkommen übersehen. Da habe ich mich
> eben schonmal drangesetzt und bekomme das sicher noch mit
> deinen Tipps auf die Schnelle hin.
>
> > [mm]\IZ/8\IZ[/mm] und [mm]\IZ/11\IZ[/mm] sind additive Gruppen (betrachtest
> > du die Multiplikation so hat die 0 beispielsweise kein
> > Inverses), also musst du die Addition als Verknüpfung
> > heranziehen, nicht die Multiplikation!
> > Versuche es damit nochmal.
>
> Hmm, das hätte ich wohl wissen müssen. Eine Liste mit
> allen [mm]\IZ / n \IZ[/mm] und solchen Infos findet man nicht
> leicht, oder? Aber mit deiner Begründung sollte es nicht
> schwer sein, sich eine zu machen.
> Wie man es schreibt, bin ich mir dennoch nicht sicher.
>
> z.B.: [mm][2][/mm] in [mm]\IZ / 8 \IZ[/mm]
> [mm]\langle a \rangle = \{2,4,6,0\}[/mm]
>
> So [mm]ord(2) = 4[/mm] oder [mm][2]^4 = [0] = 4[/mm] oder vielleicht [mm]| \langle a \rangle | = ord(2) = 4[/mm]
Richtig.
Viele Grüße, Lippel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:22 Mo 29.11.2010 | | Autor: | dfx |
Seas,
es hat alles gepasst, denke ich. Die Fallunterscheidung erschien mir letztendlich selbst nur noch als bloße Illustration. Letztendlich zählt bloß [mm]k,l \in \IZ[/mm], [mm]k+l \in \IZ[/mm] und [mm]-k \in \IZ[/mm]. Damit ist es begründet. Nur habe ich den ersten Teil der b) als gegeben hingenommen und nur die Ordnungen bestimmt.
Falls doch noch Fragen aufkommen sollten, dann frühstens am Freitag. Bis dahin wird der Zettel jetzt korrigiert. 
Noch einen guten Start in die Woche.
Gruss, dfx
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