Untergruppe von GL2(R) < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
[mm] G:=\pmat{ cos(x) & -sin(x) \\ sin(x) & cos(x) }
[/mm]
Ich muss zeigen, dass die Menge G bezüglich der Matrixmultiplikation eine Untergruppe von GL2(R) ist.
Ich hab es hinbekommen, die 3 Kriterien einer Untergruppe ( das neutrale Element, inverse Element, und die Verknüpfung sind Element G ) zu zeigen.
Doch meine Frage ist:
z.B: das Neutrale Element von GL2(R) ist ja [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] und das kann ich erzielen indem ich x=0 setze, aber cos(x)=1 hat mehrere Lösungen und zwar [mm] x=0+2\pi [/mm] , das würde heißen, dass das neutrale Element ja nicht eindeutig ist, was dem zufolge ein Widerspruch bedeutet, da das neutrale Element ja eindeutig sein soll.
genau so die Inverse : für [mm] A=\pmat{ cos(a) & -sin(a) \\ sin(a) & cos(a) }
[/mm]
ist [mm] B=\pmat{ cos(-a) & -sin(-a) \\ sin(-a) & cos(-a) } [/mm] die inverse Matrix , aber C = [mm] \pmat{ cos(-a+2\pi) & -sin(-a+2\pi) \\ sin(-a+2\pi) & cos(-a+2\pi) } [/mm] hat ja die gleiche Werte wie B, also wäre hier auch die Inverse nicht eindeutig
meine Frage lautet : Ist dann G dennoch eine Untergruppe von GL2(R) ?
danke im Voraus für jede Bemühung .
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:43 So 02.12.2012 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Es ist egal, welche x-Werte du einsetzt. Für x=0 kriegst du die Einheitsmatrix, ok. Für [mm] x=2\pi [/mm] kriegst du aber auch die Einheitsmatrix. Es muss ja die Einheitsmatrix selbst eindeutig sein, und das ist sie auch. Die x-Werte sind dabei egal.
Das ist, als wenn man sagen würde, dass sie 1 in den reellen Zahlen nicht eindeutig ist, weil ja 2-1=1 und 3-2=1 und 4-3=1 usw.
Wichtig ist nur, was raus kommt, und das ist immer 1. Genau so ist es bei deinen matrizen, nur dass man statt einer Differenz einen etwas komplizierteren Ausdruck mit Sinus und Kosinus hat.
|
|
|
| |
|
Danke dir für die schnelle Antwort,
Also heißt es das G eine Untergruppe von GL2(R) ist ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:56 So 02.12.2012 | | Autor: | Teufel |
Jo, wenn du die ganzen Untergruppenkriterien nachgewiesen hast, dann ist das so!
|
|
|
| |
|
weil in der aufgabenstellung folgender Satz steht:
''Wenn nicht,welche Eigenschaften sind noch erfullt?''
und das lässt mich etwas zweifeln
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:43 So 02.12.2012 | | Autor: | Teufel |
Ja, aber der Satz kann dir ja egal sein, weil eben alles gilt. Du kannst ja deine Lösung mal posten, wenn du dir nicht ganz sicher bist.
|
|
|
|
