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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:19 So 11.11.2012 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | G:= [mm] \{ \pmat{ 1 & 0 \\ b & A }: b \in \IK^k , A \in GL_k (\IK) \}
[/mm]
ist eine Untergruppe von [mm] GL_{k+1} (\IK) [/mm] |
Hallo
Der Satz steht in meinen SKriptum, ich verstehe aber nicht warum das eine Untergruppe ist, also wollte ich es nachrechnen.
b [mm] \in \IK^k [/mm] bedeutet doch b [mm] \in M_{k \times 1} (\IK) [/mm] oder?
1)Sei B, C [mm] \in [/mm] G d.h. [mm] B=\pmat{ 1 & 0 \\ b & A } [/mm] mit b [mm] \in \IK^k [/mm] , A [mm] \in GL_k (\IK)
[/mm]
und C= [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ c & A' } [/mm] mit c [mm] \in \IK^k [/mm] , A' [mm] \in GL_k (\IK)
[/mm]
B * C = [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ b+A c& AA' }
[/mm]
Wenn A [mm] \in GL_k (\IK), [/mm] A' [mm] \in GL_k (\IK) [/mm] ist auch AA' [mm] \in GL_k (\IK)
[/mm]
Und b + c A [mm] \in M_{k \times 1} (\IK) [/mm]
2) Sei B [mm] \in [/mm] G
d.h. [mm] B=\pmat{ 1 & 0 \\ b & A } [/mm] mit b [mm] \in \IK^k [/mm] , A [mm] \in GL_k (\IK)
[/mm]
ZuZeigen [mm] B^{-1} \in [/mm] G
Mittels der Adjunkten und der Determinanten einer Matrix berechnet sich deren Inverse nach folgender Formel:
[mm] B^{-1} [/mm] = [mm] \frac{1}{\det(B)}\operatorname{adj} [/mm] (B)
Aber hier ist das denke ich zu kompliziert um anzuwenden..
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Nimm die Matrix, die du in 1) für [mm]BC[/mm] erhalten hast und vergleiche Sie blockweise mit
[mm]\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & E \end{pmatrix}[/mm]
wo [mm]E[/mm] die k×k-Einheitsmatrix ist. Dann kannst du die Inverse konkret angeben.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:02 Mo 12.11.2012 | | Autor: | sissile |
Danke stimmt, so kommt man sehr schnell drauf.
De Möglichkeit hatte ich ganz vergessen.
LG
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