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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:43 Fr 23.10.2009 | | Autor: | muesmues |
| Aufgabe | | Geben Sie eine Unterguppe der Ordnung 20 in der symmetrischen Gruppe [mm] S_{5} [/mm] an. |
Ich habe das Problem, dass ich entweder zu viele oder zu wenige Elemente der Untergruppe haben.
Nehm ich (1,2,3) und die Vertauschungen, (1,2), (2,3), (1,3), und (4,5) und die Identität komme ich auf zu wenige,
Nehm ich die 4 dazu werden es zu viele.
Oder habe ich mich vertan?
Danke für eure Hilfe!
LG
PS: Ich habe die Frage auch in keinem anderem Forum gestellt!!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:04 So 25.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Geben Sie eine Unterguppe der Ordnung 20 in der
> symmetrischen Gruppe [mm]S_{5}[/mm] an.
> Ich habe das Problem, dass ich entweder zu viele oder zu
> wenige Elemente der Untergruppe haben.
> Nehm ich (1,2,3) und die Vertauschungen, (1,2), (2,3),
> (1,3), und (4,5) und die Identität komme ich auf zu
> wenige,
Was willst du mit $(1 ,2, 3)$? Dann ist die Untergruppenordnung durch 3 teilbar, und kann niemals 20 sein!
> Nehm ich die 4 dazu werden es zu viele.
Was meinst du mit 4?
> Oder habe ich mich vertan?
Fang doch mal mit $(1, 2, 3, 4, 5)$ an: das Element (oder ein dazu konjugiertes) muss sowieso enthalten sein, da alle Elemente der Ordnung 5 in [mm] $S_5$ [/mm] 5-Zykel sein muessen. Und dann brauchst du ein Element der Ordnung 2 (ob es ein Element der Ordnung 4 tut ist fraglich: dies reicht nur, wenn es mit dem Element der Ordnung 5 kommutiert, dann hat die von Beiden erzeugte Untergruppe genau $20 = 4 [mm] \cdot [/mm] 5$ Elemente -- wenn sie nicht kommutieren, hat es echt mehr Elemente). (Wenn du dir das genauer ueberlegst: ein Element der Ordnung 4 kann in [mm] $S_5$ [/mm] nicht mit einem Element der Ordnung 5 kommutieren -- du musst also $(1, 2, 3, 4, 5)$ und ein Element der Ordnung 2 nehmen.)
Ein Element der Ordnung 2 waere nun $(1, 2)$ oder $(2, 3)$ etc. -- allerdings: eine Transposition wie $(1, 2)$ zusammen mit $(1 ,2, 3, 4, 5)$ erzeugt bereits die ganze Gruppe [mm] $S_5$. [/mm] Das ist also keine gute Idee. Damit musst du ein Element der Ordnung 2 nehmen, welches keine Transposition ist: etwa $(1, 2) (3, 4)$.
Probier's doch mal damit!
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:57 So 25.10.2009 | | Autor: | muesmues |
ich hatte mir nun überlegt ob die untergruppe wie folgt aussehen kan:
id, (1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4), (1,2,4), (1,3,4), (1,4,2), (1,4,3), (1,3,2), (2,3,1) ; (4,3,2), (4,2,3), (1,2,4,3), (1,3,2,4), (1,4,3,2), (1,3,4,2), (1,4,2,3).
wären genau 20 elemente.
aber laut deiner antwort ginge das ja nicht.
Müsste ich wenn ich es so mache wie dus vorschlägst, (1,2,3,4,5) und die VErtauschungen nehmen und dann noch (1,2)(3,4), (1,2)(4,5) usw.??? dann finde ich aber schon wieder zu viele.
oder nehm ich nur (1,2)(3,4); (1,2)(4,5), (1,2)(3,5) usw? dann komm ich aber mal wieder auf 13 elemente...
brauche dringend nochmal einen tipp...
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Hallo
> ich hatte mir nun überlegt ob die untergruppe wie folgt
> aussehen kan:
>
> id, (1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4), (1,2,4),
> (1,3,4), (1,4,2), (1,4,3), (1,3,2), (2,3,1) ; (4,3,2),
> (4,2,3), (1,2,4,3), (1,3,2,4), (1,4,3,2), (1,3,4,2),
> (1,4,2,3).
>
> wären genau 20 elemente.
>
> aber laut deiner antwort ginge das ja nicht.
Es gibt den wichtigen Satz (Satz von Lagrange), dass die Ordnung eines Elements einer Gruppe die Gruppenordnung teilt. Also müssen alle Elemente Ordnung 1, 2, 4, 5, 10 oder 20 haben.
Finde also zuerst mal alle Elemente, die das erfüllen. Dann schauen wir weiter :)
(Das würde ich auf jeden Fall machen.. wüsste sonst nicht wie ich Elemente ausschliessen sollte)
(Ich denke, die mit Ordnung 4, 10 und 20 kannst du dir sparen.. also bleiben übrig das neutrale Element mit Ordnung 1, sowie die Elemente mit Ordnung 5 und 2!)
Grüsse, Amaro
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:07 So 25.10.2009 | | Autor: | muesmues |
wie ist das mit den ordnungen der elemente? den satz kann ich im skript zwar finden aber irgendwie keinen beweis und gar nichts dazu. außerdem fehlen zu manchen abkürzungen leider die erklärungen und die vorlesung war nichtr wirklich hilfreich zu diesem thema...
bitte um hilfe!!! vielleicht kannst du mir einen ansatz schreiben...
BITTE!!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:13 So 25.10.2009 | | Autor: | muesmues |
also ich habs versucht so is es ja nicht :
id, (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (2,3), (2,4), (2,5), (3,4), (3,5), (4,5),
(1,2,5,3,4), (1,2,4,5,3), (1,3,4,5,2),(1,3,4,2,5), (1,3,2,5,4), ((1,3,5,2,4), ((1,3,5,4,2),(1,4,5,2,3),(1,4,5,3,2),(1,4,3,5,2), (14,3,2,5), (1,4,2,5,3), (1,4,2,3,5)
so dies wären aber 24 elemente... habe ich welche doppelt? oder stimmt dies nun auch nicht...
ich verzweifel an der aufgabe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 So 25.10.2009 | | Autor: | Arcesius |
Hallo
> also ich habs versucht so is es ja nicht :
>
> id, (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (2,3), (2,4), (2,5), (3,4),
> (3,5), (4,5),
> (1,2,5,3,4), (1,2,4,5,3), (1,3,4,5,2),(1,3,4,2,5),
> (1,3,2,5,4), ((1,3,5,2,4),
> ((1,3,5,4,2),(1,4,5,2,3),(1,4,5,3,2),(1,4,3,5,2),
> (14,3,2,5), (1,4,2,5,3), (1,4,2,3,5)
>
> so dies wären aber 24 elemente... habe ich welche doppelt?
> oder stimmt dies nun auch nicht...
>
Ne, so gehts nicht. Du darfst die Transpositionen nicht verwenden, da sie wie erwähnt mit (12345) schon die ganze Gruppe erzeugen.
Versuchs mit dem Tipp von Felix und verwende die Elemente (12)(34) usw..
Güsse, Amaro
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Hallo
Nun, die Ordnung eines Elements ist die Ordnung der Untergruppe, die das Element aufspannt.
Nehmen wir beispielsweise das Element (12). Was ist [mm] (12)^{2}? [/mm] Genau, das neutrale Element. Also ist die Ordnung von (12) gleich 2, da 2 das kleinste n ist, für welches [mm] (12)^{n} [/mm] = id ist.
Das neutrale Element hat die Ordnung 1.
Also haben alle Transpositionen Ordnung 2.
Dreier-Zykel (z.B (123)) haben was für eine Ordnung?
Und vierer-Zykel?
Und fünfer-Zykel?
usw..
Aber vielleicht geht es einfacher.. ich besuche zur Zeit auch die Algebra-Vorlesung, vielleicht fehlt mir auch etwas :)
Grüsse, Amaro
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:36 So 25.10.2009 | | Autor: | muesmues |
????
äähhh...
3er zyklus: ordnung 6 ???
satz von lagrange sagt bei uns folgendes.:
" Es sei H eine Untergruppe der endlichen Gruppe G. Dann Teilt die Ordnung
l H l von H die Ordnung lGl der Gruppe G.
das wars. leider ist unser skript nicht besonders gut...vielleicht hast du doch noch eine idee für mich. ich kanns einfach net ;-(
lg
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Hallo
> ????
>
> äähhh...
>
> 3er zyklus: ordnung 6 ???
>
Wie kommste darauf? ^^
Nee... die Ordnung einer zyklischen Permutation [mm] (x_{1},...,x_{k}) [/mm] ist k. Somit ist die ordnung von 3er-Zykel 3. Die kannste also vergessen, denn sie teilen nicht die Gruppenordnung.
>
> satz von lagrange sagt bei uns folgendes.:
> " Es sei H eine Untergruppe der endlichen Gruppe G. Dann
> Teilt die Ordnung
> l H l von H die Ordnung lGl der Gruppe G.
Ja, aber insbesondere teilt die Ordnung eines Elementes die Gruppenordnung. Dies ist die zweite Aussage.
>
> das wars. leider ist unser skript nicht besonders
> gut...vielleicht hast du doch noch eine idee für mich. ich
> kanns einfach net ;-(
>
> lg
Also, schreibe einfach mal deine 5er-Zykel auf und die Elemente von Ordnung 2, die so aussehen: (12)(34), (12)(..),...
Das sollten die Elemente sein, die für diese Aufgabe in Frage kommen!
(Ich hoffe stark, wir bewegen uns nicht ich die falsche Richtung.. aber ich denke, dann hätte jemand Stellung genommen und was gesagt ;))
Grüsse, Amaro
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:17 So 25.10.2009 | | Autor: | muesmues |
(1,2,5,3,4), (1,2,4,5,3), (1,3,4,5,2),(1,3,4,2,5),(1,3,2,5,4), ((1,3,5,2,4),
(1,3,5,4,2),(1,4,5,2,3),(1,4,5,3,2),(1,4,3,5,2),(14,3,2,5), (1,4,2,5,3), (1,4,2,3,5)
das müssten doch die elemente der 5er zyklen sein oder?
dann kommen also noch (1,2)(3,4), (1,2)(4,5), (1,2)(3,5), (1,3)(2,4),(1,3)(2,5), (1,3)(4,5),(1,4)(2,3),(1,4)(2,5),(1,4)(3,5),(1,5)(2,3),(1,5)(2,4);(1,5)(3,4) und die id dazu...
wären aber dann mehr als 20. kannst du mal schauen ob irgendwelche doppelt sind?
grüße
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Hallo
> (1,2,5,3,4), (1,2,4,5,3),
> (1,3,4,5,2),(1,3,4,2,5),(1,3,2,5,4), ((1,3,5,2,4),
>
> (1,3,5,4,2),(1,4,5,2,3),(1,4,5,3,2),(1,4,3,5,2),(14,3,2,5),
> (1,4,2,5,3), (1,4,2,3,5)
>
> das müssten doch die elemente der 5er zyklen sein oder?
>
> dann kommen also noch (1,2)(3,4), (1,2)(4,5), (1,2)(3,5),
> (1,3)(2,4),(1,3)(2,5),
> (1,3)(4,5),(1,4)(2,3),(1,4)(2,5),(1,4)(3,5),(1,5)(2,3),(1,5)(2,4);(1,5)(3,4)
> und die id dazu...
>
> wären aber dann mehr als 20. kannst du mal schauen ob
> irgendwelche doppelt sind?
>
> grüße
Gut.. jetzt wollen wir also ne Gruppe damit basteln.
Wir wissen: [mm] (1,2,3,4,5)^{5} [/mm] = id. Also nehmen wir mal diese Elemente in die Gruppe hinein, + deine Elemente von Ordnung 2.
Bisher haben wir also:
G = [mm] {id,(1,2,3,4,5),(1,2,3,4,5)^{2},(1,2,3,4,5)^{3},(1,2,3,4,5)^{4},(1,2)(3,4),(1,2)(4,5),(1,2)(3,5),(1,3)(2,4),(1,3)(2,5),(1,3)(4,5),(1,4)(2,3),(1,4)(2,5),(1,4)(3,5),(1,5)(2,3),(1,5)(2,4);(1,5)(3,4), ... }
[/mm]
Das sind bisher 17 Elemente. Es fehlen also 3.
Was aber natürlich noch erfüllt sein muss.. die Gruppe muss abgeschlossen sein.. ist das der Fall?
Jetzt gerade kann ich nicht weiter helfen.. sollte mir was einfallen, melde ich mich.. :)
Viel Erfolg noch!
Grüsse, Amaro
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ist die [mm] (1,2,3,4,5)^2 [/mm] ist also (1,2,3,4,5) [mm] \circ [/mm] (1,2,3,4,5) richtig?
was is denn mit den vertauschungen (1,2,5,3,4), (1,2,4,5,3), (1,3,4,5,2),(1,3,4,2,5),(1,3,2,5,4), ((1,3,5,2,4),
(1,3,5,4,2),(1,4,5,2,3),(1,4,5,3,2),(1,4,3,5,2),(14,3,2,5), (1,4,2,5,3), (1,4,2,3,5) ?
die kann ich vermutlich aus den anderen herstellen oder?
was ist den mit den verknüfungen [mm] (1,2,3,4,5)^2 \circ (1,2,3,4,5)^2 [/mm] ? oder ist das das gleich wie (1,2,3,4,5) ^4 ???
dankeschön für deine hilfe! ich hatte bis grad echt aufm schlauch gestanden. aber wenn man drüber "redet" find ichs immer leichter.
grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Di 27.10.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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