Untergruppen der Diedergruppe < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:46 Sa 25.06.2011 | | Autor: | Diophant |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie alle Untergruppen von [mm] D_4. [/mm] |
Hallo,
ich arbeite mich derzeit (in kleinen Häppchen  ) durch das Buch Algebraische Strukturen von ![[]](/images/popup.gif) S. Lang durch. In einer Aufgabe zur Diedergruppe sollen die Untergruppen derselben bestimmt werden, nachdem gezeigt wurde, dass die Gruppe zwei Erzeugende X, Y besitzt mit
[mm] X^4=Y^2=1 [/mm] und [mm] XY=Y^{3}X
[/mm]
Lang behauptet dort, es gäbe 8 Utergruppen inkl. der trivialen und [mm] D_4 [/mm] selbst. Ich bekomme aber schon alleine 8 Untergruppen mit den Ordnungen 2 und 4 heraus:
Ordnung 2:
[mm] -\left\{1,Y\right\}
[/mm]
[mm] -\left\{1,XY\right\}
[/mm]
[mm] -\left\{1,X^2\right\}
[/mm]
[mm] -\left\{1,X^{2}Y\right\}
[/mm]
[mm] -\left\{1,X^{3}Y\right\}
[/mm]
Ordnung 4:
[mm] -\left\{1,X,X^2,X^3\right\}
[/mm]
[mm] -\left\{1,X^2,XY,X^{3}Y\right\}
[/mm]
[mm] -\left\{1,X^2,Y,X^{2}Y\right\}
[/mm]
Wer hat jetzt Recht? Habe ich hier irgendwelche Untegruppen drin, die gar keine sind oder ist es vielleicht ein Übersetzungsfehler (vielleicht soll es ja eigentlich heißen, dass es 8 Untegruppen gibt ohne die triviale und [mm] D_4 [/mm] selbst)?
Vielen Dank im Voraus für jeden Tipp!
Gruß, Diophant
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:05 Sa 25.06.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Bestimmen Sie alle Untergruppen von [mm]D_4.[/mm]
>
> ich arbeite mich derzeit (in kleinen Häppchen ) durch
> das Buch Algebraische Strukturen von
> S. Lang durch. In
> einer Aufgabe zur Diedergruppe sollen die Untergruppen
> derselben bestimmt werden, nachdem gezeigt wurde, dass die
> Gruppe zwei Erzeugende X, Y besitzt mit
>
> [mm]X^4=Y^2=1[/mm] und [mm]XY=Y^{3}X[/mm]
Das hintere soll wohl $X Y = Y [mm] X^3$ [/mm] heissen :)
> Lang behauptet dort, es gäbe 8 Utergruppen inkl. der
> trivialen und [mm]D_4[/mm] selbst. Ich bekomme aber schon alleine 8
> Untergruppen mit den Ordnungen 2 und 4 heraus:
>
> Ordnung 2:
> [mm]-\left\{1,Y\right\}[/mm]
> [mm]-\left\{1,XY\right\}[/mm]
> [mm]-\left\{1,X^2\right\}[/mm]
> [mm]-\left\{1,X^{2}Y\right\}[/mm]
> [mm]-\left\{1,X^{3}Y\right\}[/mm]
>
> Ordnung 4:
> [mm]-\left\{1,X,X^2,X^3\right\}[/mm]
> [mm]-\left\{1,X^2,XY,X^{3}Y\right\}[/mm]
> [mm]-\left\{1,X^2,Y,X^{2}Y\right\}[/mm]
>
> Wer hat jetzt Recht?
Du.
> Habe ich hier irgendwelche Untegruppen
> drin, die gar keine sind oder ist es vielleicht ein
> Übersetzungsfehler (vielleicht soll es ja eigentlich
> heißen, dass es 8 Untegruppen gibt ohne die triviale und
> [mm]D_4[/mm] selbst)?
Es handelt sich entweder um einen Uebersetzungsfehler oder um einen uebersetzen Fehler, was genau weiss ich grad nicht. Aber [mm] $D_4$ [/mm] hat definitiv 8 nicht-triviale Untergruppen; siehe dazu auch hier.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:18 Sa 25.06.2011 | | Autor: | Diophant |
Hallo Felix,
ja klar, da hast du meinen Tippfehler auch gleich mitentdeckt (es heißt natürlich [mm] XY=YX^3).
[/mm]
Ich komme ja eher aus dem Ingenieur-Fach und habe daher früher mit der Algebra nie so viel am Hut gehabt. Aber das ganze fängt gerade an, mich immer mehr zu faszinieren, da kommt also so ein klitzekleines Erfolgserlebnis gerade recht. Danke für deine Antwort!
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:55 Sa 25.06.2011 | | Autor: | felixf |
Moin Diophant!
> ja klar, da hast du meinen Tippfehler auch gleich
> mitentdeckt (es heißt natürlich [mm]XY=YX^3).[/mm]
Bei [mm] $Y^2 [/mm] = 1$ macht [mm] $Y^3$ [/mm] nicht so viel Sinn, und das daraus resultierende $X Y = Y X$ haette daraus keine [mm] $D_4$ [/mm] sondern [mm] $\IZ/4\IZ \times \IZ/2\IZ$ [/mm] gemacht
> Ich komme ja eher aus dem Ingenieur-Fach und habe daher
> früher mit der Algebra nie so viel am Hut gehabt. Aber das
> ganze fängt gerade an, mich immer mehr zu faszinieren, da
Das freut mich zu hoeren :) Es ging mir ein bisschen aehnlich, ich fand vorm Studium Programmieren ganz toll und wollte eigentlich auch in die Richtung gehen, hab dann aber spontan Mathematik studiert und war irgendwann sehr froh, dass aus Informatik nur ein Nebenfach geworden ist, da ich Algebra doch sehr viel faszinierender fand :)
Dir noch viel Spass mit der abstrakten Algebra!
LG Felix
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