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Untermannigfaltigkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:51 Mi 25.05.2016
Autor: Skyrula

Aufgabe
Zeigen Sie, dass [mm] M:=\{(x,y,z)\in\IR^3|z^2-xy=1\} [/mm] eine nichtkompakte zweidimensionale Untermannigfaltigkeit des [mm] \IR^3 [/mm] ist.

Hallo, ich komme hier absolut nicht weiter, aber ich weiß nicht nichts. Es wäre sehr hilfreich, falls jemand einen kleinen Denkanstoß in die Richtige Richtung geben könnte.

Danke euch

        
Bezug
Untermannigfaltigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:03 Mi 25.05.2016
Autor: fred97


> Zeigen Sie, dass [mm]M:=\{(x,y,z)\in\IR^3|z^2-xy=1\}[/mm] eine
> nichtkompakte zweidimensionale Untermannigfaltigkeit des
> [mm]\IR^3[/mm] ist.
>  Hallo, ich komme hier absolut nicht weiter, aber ich weiß
> nicht nichts. Es wäre sehr hilfreich, falls jemand einen
> kleinen Denkanstoß in die Richtige Richtung geben
> könnte.

Dass M nicht kompakt ist sieht man leicht: M ist nicht beaschränkt. Begründe dies !

Was sind die definierenden Eigenschaften von "zweidimensionale Untermannigfaltigkeit des [mm]\IR^3[/mm] " ?

FRED

>  
> Danke euch


Bezug
                
Bezug
Untermannigfaltigkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:35 Mi 25.05.2016
Autor: Skyrula

Zur Kompaktheit von M lässt sich sagen, dass M durch den Term [mm] z^2 [/mm] nach unten beschränkt ist, da [mm] z^2 [/mm] eine Parabelförmige nach oben geöffnete Funktion ist. Der Term -xy verschiebt die Schranke zwar, verändert aber nichts and der Existenz der Schranke.

Richtig?

Bezug
                        
Bezug
Untermannigfaltigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:01 Mi 25.05.2016
Autor: fred97


> Zur Kompaktheit von M lässt sich sagen, dass M durch den
> Term [mm]z^2[/mm] nach unten beschränkt ist, da [mm]z^2[/mm] eine
> Parabelförmige nach oben geöffnete Funktion ist. Der Term
> -xy verschiebt die Schranke zwar, verändert aber nichts
> and der Existenz der Schranke.

Mit Verlaub, aber das ist großer Unsinn !

M ist nicht beschränkt, denn für jedes n [mm] \in \IN [/mm] ist

   $(n, [mm] -\bruch{1}{n},0) \in [/mm] M$

FRED

>  
> Richtig?


Bezug
                                
Bezug
Untermannigfaltigkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:00 Mi 25.05.2016
Autor: Skyrula

Ich verstehe das leider nicht so ganz. Kann ich den Gradienten von f [mm] (x,y,z)=z^2-xy-1 [/mm] bilden, diesen gleich null setzen und damit zeigen das f nur in einer Seite beschränkt und damit nicht kompakt ist?

Komme da für das extremum auf (0,0,0)


Bezug
                                        
Bezug
Untermannigfaltigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:18 Mi 25.05.2016
Autor: fred97


> Ich verstehe das leider nicht so ganz. Kann ich den
> Gradienten von f [mm](x,y,z)=z^2-xy-1[/mm] bilden, diesen gleich
> null setzen und damit zeigen das f nur in einer Seite
> beschränkt und damit nicht kompakt ist?

Das ist doch alles Unsinn !

Dir scheint der Beschränktheitsbegriff nicht klar zu sein. Wie willst Du dann mit Mannigfaltigkeiten klarkommen ?

Annahme: M ist beschränkt. Dann gibt es ein c>0 mit

  $ ||(x,y,z)|| [mm] \le [/mm] c $ für alle (x,y,z) [mm] \in [/mm] M,

$||*||$ ist die euklidische Norm auf [mm] \IR^3. [/mm]

Für n [mm] \in \IN [/mm] ist, das hab ich Dir schon gesagt, [mm] a_n:=(n,- \bruch{1}{n},0) \in [/mm] M, somit haben wir

  [mm] ||a_n||= \wurzel{n^2+\bruch{1}{n^2}} \le [/mm] c für jedes n [mm] \in \IN. [/mm]

Quadriert man und mult. man mit [mm] n^2 [/mm] durch, so kommt

   [mm] n^4+1 \le c*n^2 [/mm]  für alle n [mm] \in \IN. [/mm]

Das letzte ist aber ganz sicher blanker Unsinn.

Fazit: M ist nicht beschränkt, und damit auch nicht kompakt.

FRED

>  
> Komme da für das extremum auf (0,0,0)
>  


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