Untermannigfaltigkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:11 Sa 05.01.2008 | | Autor: | max3000 |
| Aufgabe | Die Funktionen [mm] f_1,f_2,f_3:\IR^4\rightarrow\IR [/mm] seien definiert durch
[mm] f_1(x):=x_2x_4-x_1^2
[/mm]
[mm] f_2(x):=x_1x_3-x_2^2
[/mm]
[mm] f_3(x):=x_1x_2-x_3x_4
[/mm]
a) Warum ist [mm] M:=\{x\in\IR^4;x_1,x_2,x_3,x_4>0,f_1(x)=f_2(x)=f_3(x)=0\}
[/mm]
eine Untermannigfaltigkeit von [mm] \IR^4? [/mm] Welche Dimension hat M? |
Hi.
Ich habe dieses Thema irgendwie noch nicht einmal ansatzweise verstanden
und weiß gar nicht, wie ich hier rangehen soll. Wir hatten in der Vorlesung einen Satz, wo wir 3 Aussagen kennengelernt haben, die äquivalent dazu sind, dass M eine k-dimensionale Untermannigfaltigkeit ist.
a) M lokal Nullstellenmenge bzw M lokal durch Nebenbedingungen definiert:
[mm] \forall a\in [/mm] M [mm] \exists [/mm] offene Umgebung U, [mm] g:U\rightarrow\IR^{(n-k)} [/mm] stetig diffbar. rang(g'(x))=n-k für alle [mm] x\in [/mm] U, mit [mm] M\cap U=\{x\in U;g(x)=0\}
[/mm]
b) M lokal Graph
Es gibt für alle a* aus M eine stetig diffbare Abbildung f mit
[mm] f(a_1,...,a_k)=(a_{k+1},...,a_n) [/mm] für jedes a aus der Umgebung von a*und [mm] (a_1,...,a_k)\in U_1 [/mm] und [mm] (a_{k+1},...,a_n)\in U_2
[/mm]
mit [mm] M\cap(U_1\cross U_2)=gr(f)
[/mm]
c) lokale Parametrisierung
[mm] \exists [/mm] offene Umgebung U von a, offene Teilmenge [mm] T\subseteq\IR^k [/mm] und reguläre Abbildung [mm] \phi:T\rightarrow\IR^n [/mm] mit [mm] \phi(T)=M\cap [/mm] U.
Das waren jetzt die Möglichkeiten, die mir zur verfügung stehen, ich weiß aber nicht, welche sich hier anbietet. Kann mir bitte jemand helfen?
Gruß
Max
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:15 So 06.01.2008 | | Autor: | max3000 |
| Aufgabe | | b) Geben sie eine globale Parametrisierung an. |
Hi.
Also ich habs jetzt doch einigermaßen gelöst.
Und zwar bin ich mir nicht sicher, ob das wirklich richtig ist. Ich poste es mal:
f ist ohne Zweifel erst mal stetig differenzierbar.
Hab dann die Jacobimatrix (Funktionalmatrix oder Ableitung) bestimmt:
[mm] Jf(x)=\pmat{-2x_1 & x_4 & 0 & x_2 \\ x_3 & -2x_2 & x_1 & 0 \\ x_2 & x_1 & -x_4 & -x_3}
[/mm]
und hab diese auf ihren Rang untersucht, indem ich geschaut habe, wie viele linear unabhängige Zeilen es gibt. Fakt ist, Zeile 1 und 2 sind linear unabhängig, wegen den Nullen und der Definition von [mm] x_1,...,x_4.
[/mm]
Die 3. Zeile ist eine Linearkomination aus den anderen 2 Zeilen, da hab ich eine Linearkombination gefunden.
Mit a) (letzter Post) folgt dann, dass es eine 2-dimensionale UM des [mm] \IR^4 [/mm] ist.
Zu Aufgabe b hab ich mir angeschaut, wie [mm] f_1, f_2 [/mm] und [mm] f_3 [/mm] definiert ist, und da komm ich nach umstellen auf
[mm] x_1=\wurzel{x_2x_4}
[/mm]
[mm] x_3=\bruch{\wurzel{x_2x_4}x_2}{x_4}
[/mm]
Nach eventueller umnummerierung habe ich für jedes [mm] (x_2,x_4) [/mm] eine Umgebung [mm] U_1 [/mm] und für jedes [mm] (x_1,x_3) [/mm] eine Umgebung [mm] U_2 [/mm] und mit der berechneten Vorschrift oben eine Abbildung
[mm] \phi:U_1\rightarrow U_2
[/mm]
mit
[mm] \phi(x_2,x_4)=\vektor{\wurzel{x_2x_4} \\ \bruch{\wurzel{x_2x_4}x_2}{x_4}}
[/mm]
Damit wäre ich dann auch bei einer 2-dimensionalen UM.
[mm] \phi [/mm] soll nur noch stetig diffbar sein, das ist erfüllt. Der [mm] Rang(\phi')=k=2 [/mm] ist auch erfüllt und [mm] \phi [/mm] muss injektiv sein, hab ich noch nicht nachgeprüft und [mm] \phi^{-1} [/mm] stetig. Das sieht mir irgendwie nach Satz der lokalen Invertierbarkeit aus.
Ist das überhaupt eine Parametrisierung, die ich hier vorgenommen hab?
Ich denke ja nur eine lokale, und es wurde nach einer globalen gefragt.
Aber da das für alle [mm] x\in [/mm] M gilt, sollte es ja ganz einfach auf ganz M zurückzuführen sein.
Hat jemand eventuell Verbesserungsvorschläge?
Wäre nett wenn jemand sein Statement dazu abgeben könnte ^^.
Gruß
Max
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:24 Sa 12.01.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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hallo
Wenn wir M genauer betrachten, wissen wir, dass alle Koordinaten positiv sein müssen, was uns nicht wirklich weiterhilft und die folgenden 3 Bedingungen:
1)
[mm] x_1 [/mm] = [mm] x_2 \cdot x_4 \Rightarrow x_4 [/mm] = [mm] \bruch{x_1^2}{x_2}
[/mm]
2)
[mm] x_2=x_1 \cdot x_3 \Rightarrow x_3 [/mm] = [mm] \bruch{x_2^2}{x_1}
[/mm]
3)
[mm] x_3 \cdot x_4 [/mm] = [mm] x_1 \cdot x_2, [/mm] welche jedoch auch aus 1) & 2) folgt. und somit unbrauchbar ist, bzw. nicht beachtet werden sollte.
Nun zu meiner bevorzugten Variante c), Paramatrisierung.
Sei T [mm] \subseteq \IR^2, [/mm] oder genauer T := {(t,s)|t,s [mm] \in \IR [/mm] und t,s>0} und definiere die reguläre Abbildung [mm] \psi(x,y)=(x,y,\bruch{y^2}{x},\bruch{x^2}{y}).
[/mm]
Dann sieht man auch, dass es eine 2 dim. Untermannigfaltigkeit sein muss.
Ich hoffe, dass hat dir ein wenig geholfen
gruss und freud Epikur
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(Korrektur) oberflächlich richtig  | | Datum: | 18:06 So 06.01.2008 | | Autor: | max3000 |
Klar hat mir das weitergeholfen.
Danke.
Aber das was ich gemacht habe mit [mm] \phi [/mm] ist doch auch eine Parametrisierung oder? Vielleicht nur nicht in der richtigen Schreibweise, aber wenn ich [mm] x_2 [/mm] und [mm] x_4 [/mm] nach s und t umbenenne würde ich ja auch draufkommen.
Ich denke so langsam verstehe ich dieses Thema.
Jetzt muss ich nur noch wissen, was mir das bringt, wenn ich weiß, dass M eine Untermanigfaltigkeit ist. Kommt sicherlich nächste Vorlesung.
Schönen Gruß
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