Untermannigfaltigkeit < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:53 Di 10.01.2012 | | Autor: | chesn |
| Aufgabe | | Sei T die Menge aller [mm] z=(z_1,...z_n)\in \IC^n [/mm] (identifiziert mit [mm] \IR^{2n}) [/mm] mit [mm] |z_1|^2=...=|z_n|^2=1. [/mm] Zeigen Sie, dass T eine n-dimensionale Untermannigfaltigkeit von [mm] \IR^{2n} [/mm] ist. |
Hallo!
Leider habe ich mit dem Begriff der Untermannigfaltigkeit noch größere Probleme.. wie gehe ich an sowas ran? Habe viel gelesen wo mit einer Nullstellenmenge und dem Satz vom regulären Wert gearbeitet wurde, verstehe das alles aber nicht so ganz..
Vielen Dank!
Gruß
chesn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:00 Mi 11.01.2012 | | Autor: | chesn |
Da leider noch niemand geantwortet hat und die Frage bald überfällig ist, habe ich einfach mal etwas rumprobiert.. wäre super wenn jemand sagen könnte ob ich in die richtige Richtung denke! :)
zuerst einmal habe ich überlegt, dass z=x+yi für [mm] z\in\IC [/mm] also [mm] |z|=\wurzel{x^2+y^2} [/mm] und damit ist
[mm] |z|^2=x^2+y^2
[/mm]
Es gilt ja [mm] |z_i|^2=1 [/mm] also [mm] x^2+y^2=1 \gdw x^2+y^2-1=0
[/mm]
Damit würde ich jetzt eine Nullstellenmenge berechnen.. nach y aufgelöst erhält man [mm] y=\pm \wurzel{1-x^2} [/mm] und wähle ein
[mm] g(x,y)=f(x,\wurzel{1-x^2})=x^2+(\wurzel{1-x^2})^2-1
[/mm]
Naja bis hierhin wäre ich erstmal sehr dankbar wenn mir jemand verrät ob das totaler Blödsinn ist oder eben doch nicht bevor ich weiter mache.. :]
Gruß
chesn
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Hallo,
> Da leider noch niemand geantwortet hat und die Frage bald
> überfällig ist, habe ich einfach mal etwas rumprobiert..
> wäre super wenn jemand sagen könnte ob ich in die
> richtige Richtung denke! :)
>
> zuerst einmal habe ich überlegt, dass z=x+yi für [mm]z\in\IC[/mm]
> also [mm]|z|=\wurzel{x^2+y^2}[/mm] und damit ist
>
> [mm]|z|^2=x^2+y^2[/mm]
>
> Es gilt ja [mm]|z_i|^2=1[/mm] also [mm]x^2+y^2=1 \gdw x^2+y^2-1=0[/mm]
>
> Damit würde ich jetzt eine Nullstellenmenge berechnen..
> nach y aufgelöst erhält man [mm]y=\pm \wurzel{1-x^2}[/mm] und
> wähle ein
>
> [mm]g(x,y)=f(x,\wurzel{1-x^2})=x^2+(\wurzel{1-x^2})^2-1[/mm]
>
> Naja bis hierhin wäre ich erstmal sehr dankbar wenn mir
> jemand verrät ob das totaler Blödsinn ist oder eben doch
> nicht bevor ich weiter mache.. :]
>
was du bis jetzt gemacht hast, ist richtig, ich bin mir nur nicht sicher, ob du auf diese weise die aufgabe für beliebiges $n$ lösen kannst ($n=1$ ist kein problem).
ich vermute, dass man die aufgabe besser über reguläre werte in den griff bekommt. du kannst doch eine abbildung definieren
[mm] $F:\mathbb{R}^{2n}\to \mathbb{R}^{n}$
[/mm]
durch
[mm] $F(x_1,y_1,\ldots,x_n,y_n):= (x_1^2+y_1^2,\ldots,x_n^2+y_n^2)$ [/mm]
die zu untersuchende menge ist dann [mm] $F^{-1}(1,1,\ldots,1)$. [/mm] du musst also zeigen, dass [mm] $(1,1,\ldots,1)$ [/mm] ein regulärer wert ist.
gruss
matthias
> Gruß
> chesn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:54 Mi 11.01.2012 | | Autor: | chesn |
Hallo! Danke erstmal für den Tipp!
Um zu zeigen, dass (1,1,...,1) ein regulärer Wert ist, muss ich zunächst das Differential von F berechnen.. aber wie sehen dann die partiellen Ableitungen aus?
[mm] \bruch{\partial F}{\partial (x_1,y_1)}=(2x_1+2y_1,x_2^2+y_2^2,...,x_n^2+y_n^2) [/mm] kommt mir komisch vor..
Weiss nicht, ob ich das soweit schon richtig verstanden habe, aber weiter müsste ich dann zeigen, dass die zugehörige Jacobi-Matrix surjektiv ist, d.h. in allen Punkten [mm] x\in f^{-1}(1,...,1) [/mm] den Rang n hat, richtig?
Danke schonmal!
Gruß
chesn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:18 Mi 11.01.2012 | | Autor: | chesn |
Also wie sehen die partiellen Ableitungen aus? Das müsste ich erstmal wissen um weiter zu machen..
kann da jemand helfen??
Dankeschön!
Gruß
chesn
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> Hallo! Danke erstmal für den Tipp!
>
> Um zu zeigen, dass (1,1,...,1) ein regulärer Wert ist,
> muss ich zunächst das Differential von F berechnen.. aber
> wie sehen dann die partiellen Ableitungen aus?
>
> [mm]\bruch{\partial F}{\partial (x_1,y_1)}=(2x_1+2y_1,x_2^2+y_2^2,...,x_n^2+y_n^2)[/mm]
> kommt mir komisch vor..
>
nein, das stimmt auch nicht. du musst schon getrennt nach den [mm] x_i [/mm] und den [mm] y_i [/mm] ableiten, z.B.
[mm]\bruch{\partial F}{\partial x_1}=(2x_1,0,\ldots,0)[/mm]
und analog
[mm]\bruch{\partial F}{\partial y_1}=(2y_1,0,\ldots,0)[/mm]
> Weiss nicht, ob ich das soweit schon richtig verstanden
> habe, aber weiter müsste ich dann zeigen, dass die
> zugehörige Jacobi-Matrix surjektiv ist, d.h. in allen
> Punkten [mm]x\in f^{-1}(1,...,1)[/mm] den Rang n hat, richtig?
genau.
gruss
matthias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:09 Mi 11.01.2012 | | Autor: | chesn |
Ahh.. okay. Wenn ich zu lang dran sitze fange ich oft an Unfug zu machen. :)
Meine Jacobi-matrix würde dann in etwa so aussehen:
[mm] J_f=\pmat{2x_1 & 2y_1 & 0 & 0 &... & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2x_2 & 2y_2 & ... & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & ... & 2x_n & 2y_n}
[/mm]
Dann kann ich durch verrechnen der Spalten ja z.B. sämtliche Spalten mit einem [mm] y_i [/mm] eliminieren und erhalte n Nullspalten,
damit hat die entstandene Matrix für [mm] x_i \not= [/mm] 0 den Rang 2n-n=n.
Für x [mm] \in f^{-1}(1,...,1) [/mm] also ist der Rang der Matrix n und (1,...,1) ist ein regulärer Wert von f.
Also ist nach Satz vom regulären Wert [mm] T=f^{-1}(1,...,1) [/mm] eine n-dimensionale Untermannigfaltigkeit des [mm] \IR^{2n}.
[/mm]
Hab ich es jetzt?? Vielen Dank nochmal! :)
Gruß
chesn
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Hallo,
> Ahh.. okay. Wenn ich zu lang dran sitze fange ich oft an
> Unfug zu machen. :)
> Meine Jacobi-matrix würde dann in etwa so aussehen:
>
> [mm]J_f=\pmat{2x_1 & 2y_1 & 0 & 0 &... & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2x_2 & 2y_2 & ... & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & ... & 2x_n & 2y_n}[/mm]
>
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> Dann kann ich durch verrechnen der Spalten ja z.B.
> sämtliche Spalten mit einem [mm]y_i[/mm] eliminieren und erhalte n
> Nullspalten,
> damit hat die entstandene Matrix für [mm]x_i \not=[/mm] 0 den Rang
> 2n-n=n.
nicht ganz. du musst argumentieren, dass jeweils 2 spalten immer eine separate dimension erzeugen. Nimm die ersten beiden spalten: [mm] x_1 [/mm] kann auch gleich null sein, aber in diesem Falle ist [mm] y_1 [/mm] definitv ungleich null (denn [mm] $x_1^2+y_1^2=1$) [/mm] und somit erzeugen diese beiden spalten die durch [mm] $\lambda\cdot e_1$ [/mm] gegebene Dimension in [mm] $\mathbb{R}^n$.
[/mm]
>
> Für x [mm]\in f^{-1}(1,...,1)[/mm] also ist der Rang der Matrix n
> und (1,...,1) ist ein regulärer Wert von f.
Jep.
>
> Also ist nach Satz vom regulären Wert [mm]T=f^{-1}(1,...,1)[/mm]
> eine n-dimensionale Untermannigfaltigkeit des [mm]\IR^{2n}.[/mm]
>
Genau.
> Hab ich es jetzt?? Vielen Dank nochmal! :)
>
Bitte! 
gruss
matthias
> Gruß
> chesn
>
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