Untermannigfaltigkeiten < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:57 Di 13.01.2004 | | Autor: | Steewie |
Hallo!
Ich habe mal wieder ein kleines Problem. Und zwar geht es um folgendes:
Ich möchte zeigen, dass die nxn Matrizen mit det=0 eine bzw. keine Untermannigfaltigkeit der nxn Matrizen sind.
In meiner Vorlesung hatten wir unter anderen folgende Def. eine UMF:
"UMF als Nullstellenmenge"
M sei die UMF. Für alle xo aus M existiert eine Umgebung U des [mm] R^n [/mm] mit f sei eine Funktion von U in den [mm] R^n-k [/mm] stetig diffbar, rg Df(xo)=n-k mit [mm] kerf=M\cap [/mm] U.
Kann man diese Definition dafür gebrauchen?
ich hatte mir überlegt, dass man die Determinantenabb als f nimmt, also
f geht von den nxn Matrizen in die reellen Zahlen und es gilt f(A)=detA=0.
Dann wäre ja der Kern von f genau die Matrizen mit det=0.
Jetzt muss ich dann doch nur noch überprüfen, ob rg Df(A)= [mm] n^2-1 [/mm] ist.
also, Df(A)B= tr(bA^-1)detA (hatten wir irgendwann mal in der Vorlesung)
so und wenn detA immer =0 ist, dann ist doch Df(A)B auch immer =0.
Kann man jetzt daraus folgern, dass die detA=0 Matrizen keine UMF der nxn Matrizen sind? (der Rang von Df(A) wäre jetzt doch 0, oder?
Würde mich freuen, wenn ihr mir dabei helfen könntet
Viele Grüße, Steffi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:46 Di 13.01.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Steffi!
> Ich möchte zeigen, dass die nxn Matrizen mit det=0 eine
> bzw. keine Untermannigfaltigkeit der nxn Matrizen sind.
Keine!
> In meiner Vorlesung hatten wir unter anderen folgende Def.
> eine UMF:
> "UMF als Nullstellenmenge"
> M sei die UMF. Für alle xo aus M existiert eine Umgebung U
> des [mm] R^n [/mm] mit f sei eine Funktion von U in den [mm] R^n-k [/mm] stetig
> diffbar, rg Df(xo)=n-k mit [mm] kerf=M\cap [/mm] U.
> Kann man diese Definition dafür gebrauchen?
Hmmh. Es ist ja nur ein hinreichendes Kriterium. Sprich: Wenn [mm]0[/mm] ein regulärer Wert ist (also wenn alle [mm]x \in f^{-1}(0)[/mm] regulär sind) ist, dann ist [mm]f^{-1}(0)[/mm] eine Untermannigfaltigkeit. Die Umkehrung folgt nicht unmittelbar.
> ich hatte mir überlegt, dass man die Determinantenabb als f
> nimmt, also
> f geht von den nxn Matrizen in die reellen Zahlen und es
> gilt f(A)=detA=0.
> Dann wäre ja der Kern von f genau die Matrizen mit
> det=0.
Okay.
> Jetzt muss ich dann doch nur noch überprüfen, ob rg Df(A)=
> [mm] n^2-1 [/mm] ist.
Ja. Wenn es das wäre, dann wäre [mm]det(A)^{-1}(0)[/mm] eine [mm]n²-1[/mm]-dimensionale Untermannigfaltigkeit des [mm]\IR^{n^2}[/mm].
> also, Df(A)B= tr(bA^-1)detA (hatten wir irgendwann mal in
> der Vorlesung)
Der Satz ist mir natürlich bekannt.
> so und wenn detA immer =0 ist, dann ist doch Df(A)B auch
> immer =0.
Richtig! <-Blödsinn!  (Stefan)
> Kann man jetzt daraus folgern, dass die detA=0 Matrizen
> keine UMF der nxn Matrizen sind? (der Rang von Df(A) wäre
> jetzt doch 0, oder?
Naja, das Problem von oben: [mm]D(det)(A)[/mm] ist für [mm]A[/mm] mit[mm]det(A)=0[/mm] nicht surjektiv (d.h. der Rang von [mm]D(det)(A)[/mm]
ist gleich 0, wie du richtigerweise schreibst, also ist [mm]0[/mm] kein regulärer Wert von [mm]det[/mm].)
Wir können also nicht schließen, dass [mm]\{A \in Mat(n\times n,\IR\, :\, det(A)=0\}[/mm] eine Untermannigfaltigkeit ist.
Leider können wir aber auch nicht schließen, dass [mm]\{A \in Mat(n\times n,\IR)\, :\, det(A)=0\}[/mm] keine Untermannigfaltigkeit ist.
(Oder aber, ich übersehe gerade etwas. Nur meiner Meinung ist das mit dem regulären Wert nur hinreichend, aber nicht notwendig. Aber ohne Lehrbücher kann ich das nicht genau von hier aus überprüfen.)
Ich glaube also, das muss man anders machen. Wie habt ihr denn sonst gezeigt, dass etwas keine Untermannigfaltigkeit ist?
Alles Gute
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:34 Di 13.01.2004 | | Autor: | Steewie |
Hi Stefan,
hab nur ein Beispiel gefunden, in dem wir gezeigt haben, dass eine Menge keine UMF ist, und zwar folgendes:
Die menge waren die winkelhalbierenden im [mm] R^2. [/mm] Begründung dafür war, dass man keinen Diffeomorphismus finden kann, so dass die Umgebung des Schnittpunktes lokal gerade gebogen werden kann(War auch eine Definition der UMF).
Leider kann ich mir die detA=0 Matrizen nicht so gut vorstellen, vielleicht gibt es da auch irgendwie einen Schnittpunkt oder sowas ähnliches, so dass man keinen Diffeo finden kann....
Ausserdem ist mir gerade aufgefallen, dass Ddet(A)B= tr(BA^-1)det A ja sowieso nur für iinvertierbare Matrizen definiert ist, also nicht für deta=o-Matrizen.
Liebe Grüße, Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:03 Di 13.01.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Steffi.
> Die menge waren die winkelhalbierenden im [mm] R^2. [/mm] Begründung
> dafür war, dass man keinen Diffeomorphismus finden kann, so
> dass die Umgebung des Schnittpunktes lokal gerade gebogen
> werden kann(War auch eine Definition der UMF).
Okay, das sind die Standardbeispiele, die man aber nur so geometrisch-anschaulich begründet.
> Leider kann ich mir die detA=0 Matrizen nicht so gut
> vorstellen, vielleicht gibt es da auch irgendwie einen
> Schnittpunkt oder sowas ähnliches, so dass man keinen
> Diffeo finden kann....
Ich mir auch nicht.
> Ausserdem ist mir gerade aufgefallen, dass Ddet(A)B=
> tr(BA^-1)det A ja sowieso nur für iinvertierbare Matrizen
> definiert ist, also nicht für deta=o-Matrizen.
Das macht aber nichts. Dann gilt ja immer noch:
[mm]D(det(A))(BA) = (trB)det(A)[/mm]
oder nicht? Doch, ich denke schon.
Trotzdem kann man dann nicht mehr so leicht folgern, dass [mm]D(det(A))[/mm] nicht surjektiv ist, denn [mm]D(det(A))[/mm] ist ja zunächst nur auf dem Bild der Abbildung
[mm] B \mapsto BA[/mm]
gleich [mm]0[/mm].
Hmmh, das macht mich jetzt stutzig. Ist es etwa doch eine Untermannigfaltigkeit? Ich bin da nicht mehr so wirklich drin, muss ich zugeben. Du hättest mich mal im Studium fragen sollen...
Alles Gute
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:58 Mi 14.01.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Steffi,
also, ich weiß es nach wie vor nicht. Weiß es jemand anderes hier?
Wenn nicht, dann bleibt nur das folgende zu tun:
Schreib mal den Beweis von
[mm]D(\det(A))B= tr(BA^{-1})\det A[/mm]
hier ins Forum. Vielleicht kann man daran sehen, was mit [mm]D(\det(A))B[/mm] im Falle [mm]\det(A)=0[/mm] passiert.
Oder aber wir müssen mal in einem anderen (in dieser Hinsicht kompetenterem) Mathe-Forum (oder einer Mathe-Newsgroup) nachfragen. Eventuell mache ich das.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:12 Mi 14.01.2004 | | Autor: | Steewie |
Hi Stefan,
hab diese Frage in einem Prüfungsprotokoll gefunden. Ich habe gestern abend eine mail an den Verfasser des Protokolls geschrieben. Ich hoffe mal, dass er antwortet und mir sagt, wie dieser verflixte Beweis geht. Mach mich jetzt auch auf den Weg in die Uni. Sollte ich nichts rausbekommen, werde ich mich nachher noch einmal mit dem Beweis von det melden.
Liebe Grüße, Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:36 Mi 14.01.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo,
ich habe die Frage jetzt mal bei
http://www.matheplanet.com
gestellt. Dort sind sehr viele ausgezeichnete Mathematiker, die mitten in ihrem Studium stehen und mit Analysis III sicherlich besser vertraut sind als ich zur Zeit.
Sollte ich dort eine Antworte bekommen, versuche ich sie dann anschließend hier verständlich darzustellen.
Es würde mich freuen, wenn du dich wieder meldest, sobald du mehr weißt.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:42 Mi 14.01.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Steffi,
was ich noch fragen wollte: Kann es sein, dass es sich um ein sehr altes Prüfungsprotokoll handelt, was ca. 10 Jahre alt ist? Denn ich habe schwach in Erinnerung, dass mir die Frage bei meiner Vordiplomsvorbereitung damals auch untergekommen ist. Oder aber die Frage wird häufiger gestellt. Bei wem machst du denn deine Analysis-Vordiplomprüfung? Du machst sie doch noch in Bonn, oder?
Alles Gute
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:06 Fr 16.01.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Steffi,
ich hoffe deine Prüfung war noch nicht.
Ich habe das Probleme jetzt jedenfalls gelöst. Nein, eigentlich nicht ich, sondern Patrick, der hier auch Mitglied beim Matheraum ist. Ich hatte ihn angerufen.
Hier die Lösung:
Schauen wir uns den Tangentialraum von det in 0 einmal an. Die Elemente können wir uns als Keime differenzierbarer Abbildungen vorstellen. Dann liegen alle Keime der Abbildungen
[mm]t\mapsto \left( \begin{array}{cccc}0 & 0 & \ldots & 0\\
\vdots & \ddots & \vdots & \vdot \\
0 & 0 & \ldots & 0\\
0 & t & 0 & 0\\
0 & 0 & \ldots & 0\\
\vdots & \ddots & \vdots & \vdot \\
0 & 0 & \ldots & 0\\
\end{array}\right)[/mm]
(eine Matrix mit lauter Nullen, nur an einer Stelle steht ein t)
im Tangentialraum. Davon gibt es [mm]n^2[/mm] Keime, deren Bilder ganz in [mm] det^{-1}(0)[/mm] verlaufen und deren Ableitungen in 0, also:
[mm]\left( \begin{array}{cccc}0 & 0 & \ldots & 0\\
\vdots & \ddots & \vdots & \vdot \\
0 & 0 & \ldots & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & \ldots & 0\\
\vdots & \ddots & \vdots & \vdot \\
0 & 0 & \ldots & 0\\
\end{array}\right)[/mm]
alle linear unabhängig sind.
Es müsste sich bei [mm]det^{-1}(0)[/mm] also um eine Untermannigfaltigkeit des [mm]\IR^{n^2}[/mm] der Dimension [mm]n^2[/mm] handeln. Dies geht nur, wenn [mm]det^{-1}(0)[/mm] offen ist, was offenbar nicht der Fall ist.
Viel Erfolg!!!
Stefan
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