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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:51 Do 08.10.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo zusammen!
Ich habe hier noch ein Beispiel zu Unterräumen.
Wir haben einen K-Vektorraum V und zwei Unterräume [mm] $U_1,U_2 \in [/mm] V$.
Nun ist die Frage, ob [mm] $U_1 \cup U_2$ [/mm] wieder ein Unterraum ist.
Die Antwort ist:
"Im Allgemeinen Nein! Da für [mm] $x_1 \in U_1, x_2 \in U_2$ [/mm] im Allgemeinen nicht [mm] $x_1+x_2 \in U_1 \cup U_2$.
[/mm]
Man prüfe: Für [mm] $x_1 \in U_1-(U_1 \cap U_2),x_2 \in U_2-(U_1 \cap U_2)$ [/mm] gilt [mm] $x_1+x_2 \not\in U_1 \cup U_2$."
[/mm]
Diese Antwort versteh ich nicht.
Zum einen den ersten Teil:
Wenn ich prüfen will, ob [mm] $U_1 \cup U_2$ [/mm] ein Unterraum ist, dann muss ich für die Abgeschlossenheit der Addition doch zwei Elemente aus [mm] $U_1 \cup U_2$ [/mm] miteinander verknüfen. Also müsste ich doch zeigen:
[mm] $\forall [/mm] x [mm] \in U_1 \cup U_2, [/mm] y [mm] \in U_1 \cup U_2 \Rightarrow [/mm] x+y [mm] \in U_1 \cup U_2$
[/mm]
Warum nimmt unser Prof dafür x aus [mm] U_1 [/mm] und y aus [mm] U_2 [/mm] ?
Und zum zweiten:
Also ich versteh gar nicht, warum ich die Abgeschlossenheit der Addition jetzt plötzlich noch mit x und y aus eingeschränkten Mengen prüfen soll. Und auch hier hab ich das Problem, warum x und y aus zwei Verschiedenen Mengen kommen ![[nixweiss]](/images/smileys/nixweiss.gif "[nixweiss]")
Also das Prinzip bei der Abgeschlossenheit (bei Addition) war doch:
Nimm zwei Elemente aus der Menge, von der man prüfen soll, ob es ein Unterraum ist, verknüpfe sie miteinander und prüfe, ob das Ergebnis wieder in der Menge liegt.
Kann mir jemand weiterhelfen?
LG, Nadine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:02 Do 08.10.2009 | | Autor: | fred97 |
Vielleicht hilft Dir dieses Beispiel:
Der Vektorraum sei der [mm] \IR^2, [/mm] es sei [mm] U_1 [/mm] = { [mm] \vektor{x \\ 0}: [/mm] x [mm] \in \IR [/mm] } und
[mm] U_2 [/mm] = { [mm] \vektor{0 \\ y}: [/mm] y [mm] \in \IR [/mm] }.
Dann siehst Du sofort, dass $ [mm] U_1 \cup U_2 [/mm] $ kein Unterraum ist ($ [mm] U_1 \cup U_2 [/mm] $ ist die Vereinigung der Koordinatenachsen)
Sei [mm] x_1 [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] und [mm] x_2 [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 1}.
[/mm]
Dann: [mm] x_1,x_2 \in [/mm] $ [mm] U_1 \cup U_2 [/mm] $ , aber [mm] x_1+x_2 \notin [/mm] $ [mm] U_1 \cup U_2 [/mm] $
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:14 Do 08.10.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Fred!
Danke für deine Antwort.
Ja, so graphisch kann ich mir das vorstellen.
Was ich nicht verstehe, ist dass unser Prof zum Prüfen der Abgeschlossenheit der Addition [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] aber nicht aus der Vereinigung der Unterräume wählt, sondern seperat.
Du hast es ja auch aus der Vereingung gewählt:
> Sei [mm]x_1[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 0}[/mm] und [mm]x_2[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 1}.[/mm]
>
> Dann: [mm]x_1,x_2 \in[/mm] [mm]U_1 \cup U_2[/mm] , aber [mm]x_1+x_2 \notin[/mm] [mm]U_1 \cup U_2[/mm]
In deinem Beispiel ist dabei jetzt zufällig auch [mm] x_1 [/mm] nur aus [mm] U_1 [/mm] (was ja Teil der Vereinigung ist) und [mm] x_2 [/mm] nur aus [mm] U_2 [/mm] , aber es gibt doch bestimmt auch Vereinigungen von Unterräumen, wo man das nicht so trennen kann, oder?
LG, Nadine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:19 Do 08.10.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred!
>
> Danke für deine Antwort.
>
> Ja, so graphisch kann ich mir das vorstellen.
>
> Was ich nicht verstehe, ist dass unser Prof zum Prüfen der
> Abgeschlossenheit der Addition [mm]x_1[/mm] und [mm]x_2[/mm] aber nicht aus
> der Vereinigung der Unterräume wählt, sondern seperat.
Wenn [mm] x_1 \in U_1 [/mm] und [mm] x_2 \in U_2, [/mm] dann sind doch beide auch in der Vereinigung !!
Die Wahl , die Dein Prof. getroffen hat dient dafür, dass eben i.a. die Summe nicht mehr in der Vereinigung ist.
FRED
>
> Du hast es ja auch aus der Vereingung gewählt:
>
> > Sei [mm]x_1[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 0}[/mm] und [mm]x_2[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 1}.[/mm]
> >
> > Dann: [mm]x_1,x_2 \in[/mm] [mm]U_1 \cup U_2[/mm] , aber [mm]x_1+x_2 \notin[/mm] [mm]U_1 \cup U_2[/mm]
>
> In deinem Beispiel ist dabei jetzt zufällig auch [mm]x_1[/mm] nur
> aus [mm]U_1[/mm] (was ja Teil der Vereinigung ist) und [mm]x_2[/mm] nur aus
> [mm]U_2[/mm] , aber es gibt doch bestimmt auch Vereinigungen von
> Unterräumen, wo man das nicht so trennen kann, oder?
>
> LG, Nadine
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:15 Do 08.10.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Fred!
> > Was ich nicht verstehe, ist dass unser Prof zum Prüfen der
> > Abgeschlossenheit der Addition [mm]x_1[/mm] und [mm]x_2[/mm] aber nicht aus
> > der Vereinigung der Unterräume wählt, sondern seperat.
>
> Wenn [mm]x_1 \in U_1[/mm] und [mm]x_2 \in U_2,[/mm] dann sind doch beide auch
> in der Vereinigung !!
Ach du meinst, weil die beiden einzelnen Unterräume Teilmengen der Vereinigung sind?
Also [mm]x_1 \in U_1[/mm] und [mm] $U_1 \subset U_1 \cup U_2$ [/mm] , daraus folgt [mm]x_1 \in U_1 \cup U_2[/mm].
Und genauso für [mm] x_2 [/mm] ?
LG, Nadine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:12 Do 08.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Nadine!
> > > Was ich nicht verstehe, ist dass unser Prof zum Prüfen der
> > > Abgeschlossenheit der Addition [mm]x_1[/mm] und [mm]x_2[/mm] aber nicht aus
> > > der Vereinigung der Unterräume wählt, sondern seperat.
> >
> > Wenn [mm]x_1 \in U_1[/mm] und [mm]x_2 \in U_2,[/mm] dann sind doch beide auch
> > in der Vereinigung !!
>
> Ach du meinst, weil die beiden einzelnen Unterräume
> Teilmengen der Vereinigung sind?
>
> Also [mm]x_1 \in U_1[/mm] und [mm]U_1 \subset U_1 \cup U_2[/mm] , daraus
> folgt [mm]x_1 \in U_1 \cup U_2[/mm].
Ja.
> Und genauso für [mm]x_2[/mm] ?
Ja.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:53 Do 08.10.2009 | | Autor: | Pacapear |
Vielen Dank!
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